khối đa diện lăn

63

khối đa diện lăn

V.E.MATIZEN

Bất chấp cảnh báo nghiêm ngặt (xem trình bảo vệ màn hình), bạn có thể đã phải lật các hộp, tức là cuộn chúng qua các cạnh. Hoạt động đơn giản này không hữu ích đối với một nhà toán học vì nó dẫn đến điều thú vị bài toán sau đây. Chúng ta hãy đặt một khối đa diện lồi lên trên mặt của nó (không chú ý đến trạng thái của nó có ổn định hay không). Hãy cuộn khối đa diện qua một số cạnh của nó để cuối cùng nó trở lại mặt ban đầu. Kết quả là một bề mặt đa diện ở một góc nào đó. Độ lớn của góc này là bao nhiêu?

Hãy bắt đầu với trường hợp đơn giản nhất, khi khối đa diện cuộn theo chiều kim đồng hồ qua tất cả các cạnh nổi lên từ một số đỉnh của nó O. hình 1 hiển thị vết của khối đa diện trên mặt phẳng. Từ hình rõ ràng là khối đa diện bề mặt theo hướng dương (tức là ngược chiều kim đồng hồ) một góc bằng hiệu 2π và tổng các góc phẳng ở đỉnh. Sự khác biệt này có một cái tên đặc biệt - độ cong của đỉnh (tại sao lại gọi như vậy?

Hình 1.

63

64

Hình 2.

bạn có thể học từ bài viết “Về độ cong” của S. L. Tabachnikov, đăng trên tạp chí số này). Vì vậy, trong trường hợp đơn giản nhất, góc quay bằng độ cong của đỉnh. Có lẽ, trong trường hợp chung, độ lớn của phép quay có liên quan đến độ cong của các đỉnh của khối đa diện?

Hãy chuyển sang trường hợp tổng quát. Để khối đa diện được mô tả ở hình 2 lăn qua các cạnh $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$ (chúng ta đang nhìn khối đa diện từ bên ngoài). Bằng cách nối điểm giữa của các cạnh này, chúng ta có được một đường viền khép kín - mũi tên màu xanh lam trên hình 2.

Điều kiểm 1. Chứng minh rằng góc quay của khối đa diện chỉ phụ thuộc vào đường viền chứ không phụ thuộc vào mũi tên nào của đường viền được xét trước.

Chúng ta sẽ giả sử rằng các mũi tên đường viền biểu thị các góc giữa các cạnh có điểm giữa mà chúng nối với nhau. Các góc này được coi là dương nếu mũi tên thể hiện chuyển động quay quanh điểm giao nhau của các cạnh (hoặc phần mở rộng của chúng) theo hướng dương, tức là ngược chiều kim đồng hồ và âm nếu theo hướng âm. Góc giữa các cạnh $P_i$ và $P_j$ được ký hiệu là $\hat{P}_i\hat{P}_j$. Khi đó các góc $\hat{P}_2\hat{P}_3, \hat{P}_3\hat{P}_4, \hat{P}_4\hat{P}_5$ và $\hat{P}_5\hat{P}_1$ trên hình 2 là dương và góc $\hat{P}_1\hat{P}_2$ là âm.

Chúng ta hãy xây dựng một tuyên bố sơ bộ:

Độ lặp lại của khối đa diện khi nó được cuộn qua các cạnh $P_1, P_2, ..., P_k$ bằng $-(\hat{P}_1\hat{P}_2 + \hat{P}_2\hat{P}_3 + ... + \hat{P}_{k-1}\hat{P}_k + \hat{P}_k\hat{P}_1)$.

(1)

Để chứng minh điều này, chúng ta hãy vẽ một vết của khối đa diện trên mặt phẳng khi lăn - hình 3. Hãy lưu ý rằng khi in dấu trên mặt phẳng, các mũi tên màu xanh đặt hướng. Chúng ta hãy nhìn vào điều này hình. Góc quay của khối đa diện bằng góc giữa các đường thẳng $P_1$ và $P'_1$. Việc chuyển đổi từ $P_1$ sang $P'_1$ là kết quả của phép biến đổi số nguyên

$$P_1 \rightarrow P_2 \rightarrow P_3 \rightarrow P_4 \rightarrow P_5 \rightarrow P'_1.$$

Mỗi phép biến đổi trong một số nguyên là một phép quay quanh giao điểm của các cạnh liền kề $P_i$ và $P_{i+1}$ một góc bằng $-\hat{P}_i\hat{P}_{i+1}$ (dấu trừ là do trong quá trình in hướng quay bị đảo ngược). Vì vậy, quá trình chuyển đổi từ $P_1$ sang $P'_1$ là sự kết hợp của các lượt rẽ ở các góc $-\hat{P}_i\hat{P}_{i+1}$.

Chúng ta hãy lợi dụng thực tế rằng thành phần của các phép quay theo góc $\alpha_1, ..., \alpha_k$ là một phép quay theo tổng góc $\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_k$, nếu $\alpha_1 + ... + \alpha_k \neq 2\pi n$, hoặc một bản dịch song song, nếu $\alpha_1 + ... + \alpha_k = 2\pi n$. Nếu bạn không quen với tính chất phép quay này, hãy thử chứng minh nó hoặc đọc cách chứng minh trong bài viết của E. G. Gottman “Biến đổi hình học” («Kvant», 1989, số 2). Theo tính chất này, góc giữa đường thẳng $P_1$ và $P'_1$ bằng $-(\hat{P}_1\hat{P}_2 + \hat{P}_2\hat{P}_3 + ... + \hat{P}_k\hat{P}_1)$, điều này chứng tỏ khẳng định (1).

Bây giờ chúng ta hãy thử tính tổng các góc $\hat{P}_i\hat{P}_{i+1}$ với độ cong của các đỉnh của khối đa diện. Chúng ta cắt bề mặt của khối đa diện thành hình 2 dọc theo đường viền màu xanh, rồi lần lượt cắt vùng bên trong của đường viền dọc theo các cạnh nằm bên trong

65

đường viền. Một số phần kết quả được hiển thị trên hình 4. Chúng tôi phác thảo từng đỉnh của khối đa diện bên trong đường viền trên hình 2 theo hướng âm bằng các mũi tên màu đỏ; những mũi tên này cũng được hiển thị trên hình 4.

Chúng ta hãy nhìn vào một trong những phần. Tổng giá trị của góc đồng bộ và góc đỏ là bao nhiêu? Chúng ta hãy biểu thị bằng $m$ số cạnh, tức là số đoạn thẳng trên ranh giới của mảnh này. Khi đó tổng của góc đồng và góc đỏ bằng $\pi(2-m)$.

Bài tập 2. Chứng minh khẳng định này. Gợi ý: Tổng các góc của $m$-giác là $\pi(m-2)$.

Do đó, góc xanh của mỗi quân bằng $\pi(2-m)$—a, trong đó $a$ là tổng các góc màu đỏ của quân này. Tóm tắt tất cả các phần, chúng ta thấy rằng tổng của tất cả các góc đồng bộ bằng $\pi(2-m)+\pi(2-m)+\dots-(a_1+a_2+\dots)$.

Ở đây $m_1, m_2, \dots$ là số cạnh của các quân cờ tương ứng, và $a_1, a_2, \dots$ là tổng các góc màu đỏ của các quân cờ này. Lưu ý rằng tổng $a_1+a_2+\dots$ bao gồm tất cả các góc màu đỏ ở các đỉnh của khối đa diện bên trong đường viền xoay một lần.

Tổng các góc đỏ ở một đỉnh bằng độ cong của nó trừ 2π (bạn có nhớ rằng không có góc đỏ nào theo hướng âm không?). Do đó, tổng $a_1+a_2+\dots$ bằng tổng độ cong của các đỉnh bên trong đường viền không có bội số của 2π. Con số này không ảnh hưởng đến số lần quay nên chúng tôi loại bỏ nó. Vì vậy, $a_1+a_2+\dots$ là tổng độ cong của các đỉnh của khối đa diện nằm bên trong đường viền trên hình 2.

Bây giờ chúng ta sẽ xử lý các số hạng $\pi(2-m)+\pi(2-m)+\dots$ trong biểu thức (2). Mỗi cạnh được tính hai lần trong tổng này, vì sau khi cắt bề mặt của khối đa diện, mỗi cạnh xuất hiện hai lần như một ranh giới của các mảnh trên hình4.

Do đó, tất cả các tổng này đều là bội số của 2π và không ảnh hưởng đến độ lớn của phép quay mà chúng ta quan tâm. Do đó, công thức (2) có nghĩa là tổng các góc đồng bộ đối diện với tổng độ cong của các đỉnh của khối đa diện bên trong đường cong quay.

Vẫn còn phải nhớ lại phát biểu (1) rằng góc của bề mặt của khối đa diện mà chúng ta quan tâm đối diện với tổng các góc đồng bộ. Chúng tôi đã đi đến kết luận cuối cùng:

hãy nhắc lại rằng nó lăn dọc theo một đường bao khép kín bằng tổng độ cong của các đỉnh của nó nằm bên trong đường bao.

Bài tập 3. Xét hai đỉnh liền kề của khối đa diện được mô tả ở hình 5. Chứng minh rằng việc lăn qua các cạnh $P_1, P_2, P_3$, sau đó qua các cạnh $P_1, P_4, P_5$, rồi qua các cạnh $P_3, P_2, P_1$, và cuối cùng qua các cạnh $P_5, P_4, P_1$ dẫn đến sự mở rộng lại song song của khối đa diện.

Thật thú vị khi nghiên cứu tập hợp các khối đa diện hoàn hảo khi nó được lăn ra khỏi một số vị trí ban đầu có thể có. Tập hợp này có tính đối xứng phong phú và có thể có cấu trúc khác - đối với một số khối đa diện, nó là rời rạc, nhưng đối với những khối đa diện khác, nó là liên tục. Người ta có thể liệt kê tất cả các khối đa diện, giống như một khối lập phương hoặc một khối tứ diện đều, “in” một mẫu trên một mặt phẳng đều. Nhưng đây là chủ đề cho một cuộc trò chuyện khác…