Перекатывание многогранников

Квант 1989, №5 с. 63-65 Тег I5GK

В. Э. МАТИЗЕН

Несмотря на строгое предупреждение (см. заставку), вам, наверное, приходилось кантовать ящики, т. е. перекатывать их через ребра. Это немудренное занятие небесполезно для математика, поскольку приводит к следующей интерсной задаче. Поставим выпуклый многогранник на его грань (не обращая внимание на то, будет ли его состояние устойчивым). Покатим многогранник через некоторые его ребра так, чтобы в конце концов он вернулся на исходную грань. В результате многогранник поверхности на некоторый угол. Чему равна величины этого угла?

Начнем с самого простого случая, когда многогранник перекатывается по часовой стрелке через все ребра, выходящие из какой-нибудь его вершины O. На рисунке 1 изображен след многогранника на плоскости. Из рисунка видно, что многогранник поверхности в положительной направлении (т. е. против часовой стрелки) на угол, равный разности 2π и суммы плоских углов при вершине. Эта разность имеет специальное название — кривизна вершины (почему она так называется,

Рис. 1.

Рис. 2.

вы можете узнать из статьи С. Л. Табачникова «О кривизне», опубликованной в этом номере журнала). Итак, в простейшем случае угол поворота равен кривизне вершины. Наверное, и в общем случае величины поворота связана с кривизнами вершин многогранника?

Перейдем к общему случае. Пусть многогранник, изображенный на рисунке 2, перекатывается через ребра $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$ (мы смотрим на многогранник снаружи). Соединив середины этих ребер, мы получим замкнутый контур — сине стрелки на рисунке 2.

Управление 1. Докажите, что угол, на котором повернется многогранник, зависит только от контур, но не от того, какую стрелку контур считать первой.

Будем считать, что стрелки контур показывают углы между ребрами, середины которых они соединяют. Эти углы считаются положительными, если стрелка показывает поворот вокруг точки пересечения ребер (или их продолжений) в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки, и отрицательными — если в отрицательном. Угол между ребрами $P_i$ и $P_j$ обозначаем через $\hat{P}_i\hat{P}_j$ . Тогда углы $\hat{P}_2\hat{P}_3, \hat{P}_3\hat{P}_4, \hat{P}_4\hat{P}_5$ и $\hat{P}_5\hat{P}_1$ на рисунке 2 положительные, а угол $\hat{P}_1\hat{P}_2$ — отрицательный.

Сформулируем предварительное утверждение:

угод повторта многогранника при его перекатыании через ребра $P_1, P_2, ..., P_k$ равен $-(\hat{P}_1\hat{P}_2 + \hat{P}_2\hat{P}_3 + ... + \hat{P}_{k-1}\hat{P}_k + \hat{P}_k\hat{P}_1)$ .

(1)

Для доказательства нарисуем на плоскости след многогранника при перекатынии — рисунок 3. Обратите внимание, что при отпечатьании на плоскости сине стрелки помещали направление. Посмотрим на этот рисунок. Угол поворота многогранника равен углу между прямыми $P_1$ и $P'_1$ . Переход от $P_1$ к $P'_1$ — это результат целочипки преобразования

$P_1 \rightarrow P_2 \rightarrow P_3 \rightarrow P_4 \rightarrow P_5 \rightarrow P'_1.$

Каждеое преобразование в целочке — поворот вокруг точки пересечения соседних ребер $P_i$ и $P_{i+1}$ на угол, равный $-\hat{P}_i\hat{P}_{i+1}$ (знак минус — из-за того, что при отпечатьании направление поворота меняется на противоположное). Итак, переход от $P_1$ к $P'_1$ — композиция поворотов на углы $-\hat{P}_i\hat{P}_{i+1}$ .

Воспользовемся тем, что композиция поворотов на углы $\alpha_1, ..., \alpha_k$ — поворот на суммарный угол $\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_k$ , если $\alpha_1 + ... + \alpha_k \neq 2\pi n$ , либо параллельный перенос, если $\alpha_1 + ... + \alpha_k = 2\pi n$ . Если вы не знакомы с этим свойством поворотов, попробуйте его доказать или прочитайте доказательство в стате Э. Г. Готмана «Геометрические преобразования» («Квант», 1989, № 2). Согласно этому свойствау, угол между прямыми $P_1$ и $P'_1$ равен $-(\hat{P}_1\hat{P}_2 + \hat{P}_2\hat{P}_3 + ... + \hat{P}_k\hat{P}_1)$ , что и доказывает утверждение (1).

Попробуем теперь сначала сумму углов $\hat{P}_i\hat{P}_{i+1}$ с кривизнами вершин многогранника. Разрежем поверхность многогранника на рисунке 2 по синему контуру, а внутреннюю область контур в свою очередь разрежем по ребрам, лежащим внутри

контура. Некоторые из получившихся кусков показаны на рисунке 4. Каждый вершину многогранника внутри контура на рисунке 2 обведем в отрицательном направлении красными стрелками; эти стрелки изображены и на рисунке 4.

Рассмотрим один из кусков. Чему равна суммарная величины синх и красных углов? Обозначим через $m$ число ребер, т. е. число прямойных отрезков на границе этого куска. Тогда сумма синх и красных углов равна $\pi(2-m)$ .

Упражнение 2. Докажите это утверждение. Подсказка сумма углов $m$ -угольника равна $\pi(m-2)$ .

Следовательно, синний угол каждой из кусков равен $\pi(2-m)$ —а, где $a$ — сумма красных углов этого куска. Суммиру по всем кускам, получим, что сумма всех синх углов равна $\pi(2-m)+\pi(2-m)+\dots-(a_1+a_2+\dots)$ .

Здесь $m_1, m_2, \dots$ — числа ребер соответствующих кусков, а $a_1, a_2, \dots$ — суммы красных углов этих кусков. Заметим, что в сумму $a_1+a_2+\dots$ по одному разу входят все красные углы при вершинах многогранника внутри контура поворота.

Сумма красных углов при одной вершине равна ее кривизне минус 2π (вы не забыли, что красные углы отсутствуют в отрицательном направлении?). Поэтому сумма $a_1+a_2+\dots$ равна сумме кривизн вершин внутри контура без некоторого числа, кратного 2π. Это число не сказывается на величины поворота, поэтому мы его отбрасываем. Итак, $a_1+a_2+\dots$ — это сумма кривизн вершин многогранника, лежащих внутри контура на рисунке 2.

Займется теперь слагаемые $\pi(2-m)+\pi(2-m)+\dots$ в выражении (2). Каждый ребро считается в этой сумме дважды, поскольку после разрезания поверхности многогранника каждое ребро дважды встречается как граница кусков на рисунке 4.

Поэтому все эти сумма являются числом, кратным числу 2π, и не влияют на величины интерсуцшего нас поворота. Следовательно, формула (2) означает, что сумма синх углов протиополюжа сумме кривизн вершин многогранника внутри контура поворота.

Остается вспомнить утверждение (1) о том, что интересующий нас угол поверхности многогранника протиополюжа сумме синх углов. Мы пришли к окончательному выводу:

угод повторявшиеся его перекатыванные вдоль замкнутого контура равен сумме кривизн его вершин, лежащих внутри контура.

Упражнение 3. Расмотрим две сеседные вершины многогранника, изображенные на рисунке 5. Докажите, что перекатывшиеся через ребра $P_1, P_2, P_3$ , затем через ребра $P_1, P_4, P_5$ , затем через ребра $P_3, P_2, P_1$ и, наконец, через ребра $P_5, P_4, P_1$ приводит к параллельному пересуцнию многогранника.

Интересно исследовать множество следовершенных многогранника при внесозможных его перекатыванных из некоторого начального положения. Это множество обладает богатой симметрией и может иметь различное строение — для одиних многогранников оно дискретно, а для других непрерывно. Можно перечислить все многогранники, которые подобно кубу или правильному тетраэдру «печатают» на плоскости правильной узор. Но это уже тема для отдельного разговора…