Фракталы

6

ФРАКТАЛЫ

Кандидат физико-математических наук
И. М. СОКОЛОВ

Объекты, которые мы теперь называем фактами, впервые появились в воображении математиков начала нивеного столета. И тогда вряд ли могло прийти в голову, что в окружающей нас природа встретился что-нибудь похожое на эти необъчные и изысканные кривы. И хотя в этой стате речь у нас появдет в основном о физических системах, начать придется с маленького и очень нестрогого математического введения.

Самооподобные геометрические объекты

Самооподобной геометрической фигурой (телом) мы будем называть фигуру, которое можно разрезать на конечное число одинаковых фигура, подобных ей самой. Примеры — на рисунке 1: отрезок, равносторонний треугольник, квадрат, куб.

Несколько сложнее выглядит самооподобный объект на рисунке 2. Но строится он довольно просто. Начиная с равностороннего треугольника со стороны $l_0$ будем повторять (до бесконечности) следующий процесс: каждый отрезок, соединяющий вершины ломаной, разделим на три части и среднюю часть заменим двумя отрезками длиной $l/3$, где $l$ — длина исходного отрезка. Первые несколько стадий построения такой кривой показаны на рисунке 2. На $n$-й стадии построения кривая представляется из себя ломаню из $N = 3N = 3 \cdot 4^n$ отрезков длиной $l_0/3^n$ каждый, полная ее длина

$$L = 3l_0(4/3)^n.$$

Эту ломаню называют тридичской кривой Коха (по имени шведского математика, придумавшего этот объект).

Каждай исходный отрезок тридичской кривой Коха состоит из четы

7

нипроцедуры выбрасывания середины из разделного на 9 части квадрата.

Вернемся к кривой Коха. Попробуем, например, определить ее длину с помощью циркуля. Установив расчет циркуля равным $\lambda$, будем переставлять циркуль по кривой, считая число его перестановок $n$. Длина кривой при этом приближенно будет равна $L \approx \lambda n$. Величину $\lambda$ мы будем называть масштабом измерения.

Измеряя, скажем, длину окружности с радиусом $R = 1$ м, мы получим, что измеренная длина $L = \lambda n$ при $\lambda = 1$ м равна 3,0 м, при $\lambda = 0,1$ м $L = 6,2$ мм, при $\lambda = 0,01$ м $L = 6,28$ м, и при $\lambda \rightarrow 0$ длина $L$ стремится к пределу $2\pi R = 6,28318\dots$ м.

Попытавшись проделать аналогичную процедуру с кривой Коха, мы убедимся в отсутствии того предела, который можно было бы считать длиной этой кривой. Выбирая масштаб $\lambda = l_0/3^n$, мы получим, что измеренная длина кривой будет равна длине ломаной, соответствующей $n$-й стадией ее построения — $L = 3l_0(4/3)^n$.

Попытки измерить длины других самоподобных кривых привели бы к аналогичному результату — с уменьшением масштаба измерения длина кривой неограниченно растет.

Отметим один весма важный фактор, отличной реальней самоподобный объект от идеального математического: у реальных объектов существует минимальный масштаб измерения $\lambda_{\min}$.

Рассмотрим, например, реальный процесс построения кривой Коха с помощью карандаша и бумаги. Пусть мы строим кривую с начальной длиной стороны $l_0 = 1$ м карандашом, оставляющим линю толщиной $a_0 = 0,1$ мм = $10^{-4}$ м. С математической точки зрения процедура построения кривой может продолжаться бесконечно. Реальный же процедусе остановится, как только длина отрезка между двумя соседними точками излома сравняется с толщиной линии. Нетрудно подсчитать, что это процесс на шаге с номером $n = \ln(l_0/a_0)/\ln 3 \approx 9$. Длина нашей линии при этом будет $L \approx 40$ м. Так что реализая самоподобная кривая имеет конечную длину.

Тепер вернемся к идеальным математическим объектам. Формулу длины кривой Коха можно записать в таком виде:

$$L = A\lambda^{-\alpha}, \text{ где } A = 3l_0^{\ln 4/\ln 3}, \alpha = \frac{\ln 4}{\ln 3} - 1.$$

(Надеемся, вы сами, зная правила обращения с логарифмами, сложите убедиться, что эта запись эквивалентна формуле $L = 3l_0(4/3)^n$.) Фигурирующий в формуле показатель а связан с размерностью кривой.

Что такое размерность?

Существует несколько определений размерности, соответствующих совершению разным понятиям. Попробуем составить представление о некоторых из них.

Рис. 3.

8

Первое определение связано с минимальным числом координат, необходимых для однозначного определения положения точки. В нашем пространстве это число равно trem, на плоскости достаточно двух координат, на линия — всего одной. В этом смысле пространство трехмерно, плоскость двумерна, линии одномерна. Естественно, в таком определении размерность всегда является целым числом.

Второе определение связано со следующим obstructionным. Чтобы разрезать прямоуголь на две части, достаточно исключаить одну точку. Множество, состоящее из конечного (счетного) числа точек, будем считать нульмерным. Размерность любого множество будем полагать на единицу большей, чем размерность разреза, делящего его на две несвязанные части. При таком определении размерности линии одномерна, плоскость (для разрезания которой необходимо проведити разрез по некоторой линии) двумерна, объемное геометрическое тело трехмерно. Эта размерность — ее называют топологической — также может быть только целой.

Перейдем теперь к третьему, самому интересному для нас определению размерности, точнее — к определению целого класса близких по смыслу понятный размерности. Простейшее из них — размерность самоподобия.

Размерность самоподобия $D$ можно определить формулой

$$D = \frac{\ln N}{\ln n},$$

где $N$ — число одинаковых частей, на которые разбивается данный самоподобный объект, имеющих в $n$ разменный пространственный размер. Посмотрите на рисунок 1. Проведяя, как показано на рисунке, разрезы, мы разделим квадрат на $N = 4$ квадрата со стороны, меньшей исходной в $n = 2$ раза. Кубик со стороны 1 состоит из $N = 8$ кубков со стороны $1/2 (n = 2)$. Так что размерность самоподобия для квадрата равна $\ln 4/\ln 2 = 2$, для кубика — $\ln 8/\ln 2 = 3$; очень/no, что размерность отрезка равна 1.

Рост «снежинок» на дисплее ЭВМ при разных условиях.

Вычисляя таким же образом размерности объектов, показанных на рисунках 2 и 3, мы увидим, что размерность каждой участка кривой Коха (и размерность всей кривой)

9

правна $D=\ln 4/\ln 3=1,2618$, треугольной кривой Серпиского — $\ln 3/\ln 2=1,5849$, «ковра Серпиского» — $\ln 8/\ln 3=1,8727$. Эти страницы кривые имеют нецелую размерность.

А теперь вернемся к формуле длины кривой Коха. Воспользовавшись только что приведенным определением размерности $D$, мы можем переписать эту формулу в виде

$$L=3l_0^D\lambda^{1-D}.$$

Рост изменений длины самоподобной кривой при уменьшении масштаба измерения является показателем ее нецелой размерности:

$$D=1+\alpha.$$

Как изменить размерность?

Размерность самоподобия можно определить только для очень регулярных, построенных по строго определенным правилам, объектов. Если отклонения от регулярности не велики, объект можно считать приближительно самоподобным. А если велики?

Воспользовемся еще одним определением размерности, который часто

Рис. 4.

бивают на клетки размером $\lambda$ (например, наносит на плоскость фотографию объекта квадратную сетку со стороны $\lambda$). Подсчитывает число клеток, в которых точки объекта. Разбинание повторяют, используемый масштаб $\lambda'<\lambda$ и т. д. (рис. 4). Зависимость числа клеток, в которых точки объекта, от размера клетки при этом дается законом $N=A\lambda^{-D}$, где $D$ и есть искомая размерность. Расматривая плоскую область площики $S$ (треугольник на рис. 4), нетрудно убедиться, что $N \approx S/\lambda^2$, так что $D=2$. Для отрезка $N=BL/\lambda$, где $L$ — длина отрезка, а $B$ — коэффициент, зависит от его ориентации. Размерность отрезка $D=1$. Если проделать ту же процедуру и с объектами, показанных на рисунках 2 и 3, получается значения $D$, совпадающие с их размерностью самоподобия. Для определения размерности реальных объектов рисунок зависит from $\ln N$ от —$\ln \lambda$. Этот график изображается прямо линий, тангенс угла наклона которой дает нам значение $D$.

«Фрактальная геометрия Природы»

В 1961 году вышла работа английского исследователья Л. Ричардсона (1881—1953), посвященная измерению длини березовых линий. Автором было установлено, что измеряемая длина побережья растет с уменьшением масштаба измерения по закону

2 Квант № 5

10

Фрактальный классер, возникший при моделировании на ЭВМ диффузionalно-контролируемой агрегации.

$$L = A \lambda^{-\alpha}$$ (закон Ричардсона), где показатель $\alpha$ составляет, например, для западного побережья Британии 0,24, а для побережья Австралии — 0,13. И хотя этот закон очень наполнимал формулы длин самоподобных кривых, работа Ричардсона существенно сама по себе. Имелось и неокоторе количество других физических примеров, «выходящих» на самоподобные объекты. Но все было разрознено…

Существенное изменение произойдет с появлением книги французского математика Бенya Мандельборта (ныне работающего в США), выSEDшей в 1975 году на французском и в 1977 году на английском языке. Книга собрала воедино множество этих математических и физических примеров, сделав их достоянием научного обихода. Но главной заслугов Мандельборта было то, что он придумал, как все это называется.

Читатель, вероятно, помнит, что основным вкладом Аtocа в развитие событий, описанных в романе Дюма «Двадцать лет спустя», было изобретение навигации операции — «Семейное дело». Этот вклад считался равноценным шпаге д’ Артаньна и деньгам Портока. Придумать хорошое навигание — большая заслуга.

Для объектов дробной размерности, точнее — для объектов, французная размерность которых больше их топо-логическая размерности, Мандельброт придумал навигание «фрактал». Слово это происходит от латинского fractus — дробный, изрезанный. Один весма остроумный человек перевал его навигание на русский язык словом «дробник».

Первая книга Мандельборта называлась «Фракталы: форма, случай, размерность». Вторая,ышедшая в 1982 году, называлась уже так: «Фрактальная геометрия Природы». Это название как нельзя лучше отражает реальную ситуацию.

Фрактальныеми свойством обладают многогеографические объекты — океанские и морские побережья, реки, горы и горные ущелья. Границы государств, если только они следует естественным ориентирам, а не проведены линейкой на карте и лишь потом определены на местности (как, например, граница между Египтом и Суданом), — тоже фракталы. Длина границ между Португалей и Испании (приведенная в португальском справочнике) и длина границ между Испании и Португалей (приведенная в испанских официальных сведениях) отличается на 20 %, поскольку при их изменении использованы различные масштабы. Это еще раз подтвердает, что понятие длины для французных кривых является не слишком осмысленным.

11

Оказалось, что кривые, подобные кривой Коха, в природа составляют скорее правило, чем исключание. Понятно, что самополобие реальных, естественных объектов нарушается случайными отклонениями от строой регулярности. Например, разные участки побережья не одинаковы, а лишь похожи друг на друг. И всем реализным системам свойственного наличице минимального масштаб измерения. Эти обстоятельства должны приниматься во внимание при анализе физической ситуации.

Для того чтобы можно было говорить о фактических свойств системы, необходимого, чтобы различие минимального и максимального масштабов было достаточно большим. Если речь идет о морском или океанском побережье, то максимальный масштаб $l_0$ будет порядка $1000$ км $= 10^6$ м, а минимальный, определяемый непосредственно границы из-за набегающих волн, приливов и отливов и т. д., — порядка $1 - 10$ м. Эти масштабы отличаются в миллион (!) раз.

Еще один пример фактических кривых — видимые границы обlakов. Разница минимального и максимального масштабов здесь еще большие, чем в случае побережий: имеются данные об области размером от сотен метров с видимыми деталями порядка метра до размера Земли (циклопольные области). Размерность границы обlakа равна $D = 1,35$.

Пока мы рассматривали в основном лишь фактические кривые — сcilно извилICTые линии, похожие на кривую Коха, причем наш географические примеры имели скорее круbezный характер. Существует множество физических процессов, приводящих к возникновению более сложных и важных фактических структур.

Многие из вас, верятно, выращивали кристаллы из насыщенного растора. Если растор не слишком пересыщен и достаточно хорошо перемешивается, то из подвешенной на нитчке затравки вырастает красный кристалл правильно формы. кристалл растет из-за того, что в своей телловом движении как-то молекулы подходят к тем местам на его поверхности, где они могут «прилипнуть», заняв наиболее выгодное с энергетической точки зрения положение. Конечно, большимство молекул попадает в несовсем подходящие места, однако рано или поздно они снова переходят в растор или расплав из-за недостаточной связи с остальным кристаллом. В результате такого равновесного роста получается кристалл без внутренних пускот, с идеальным гладкимми плоским граями.

При отсутствии равновесия между кристаллизцией и расторением (т. е. при быстрой кристаллизии из сильно пересыщенного растора или при кристаллизии из газовой фазы) появляются кристаллы совсем другого вида. Вы, конечно, видели нарастую на морозильник холодильника снежную шубу или морозные узоры на окнах. Эти довольно рыбные образование возникают из-за осадения содержащейся в воздухе воды. Сначала образуется отдельные скопления молекул — так называемые классеры; постепенно разрастая и соединяясь, классеры и образуют узоры. Условия, сходные с теми, что имеют место при росте классеров, существуют и при росте снежинок в области.

Такой процесс роста, называемый диффузionно-контроллеруемой агрегацией, приводит к возникновению кристалликов фактической формы —ендритов. Фактическая размерностьендритных кристаллов определяется конкретными механизмами их роста. В зависимости от взаимодействия образующих кристалл молекул и от размера самого кристаллаендрит может быть случайной, неправильной формы или, напротив, казаться идеально правильной фигурой, как хорошо знакомые всем снежинки. В действительности о правильной форме снежинок можно говорить лишь на достаточно больших масштабах (на размерах самой снежинки), а на малых масштабах никакой регулярности нет — это отражает те случаные процессы, которые приведены к их образованию.

Существование минимального масштаб (который в этом случае может

12

Реальный классер, образующий при конденсации Nb Ge₂ на холодную подложку.

быть порядка или много большие размеры молекул) приводит к тому, что полное число молекул в кристалле (или масса кристалла) зависит от его размера по закону $N_{molекул} \sim M \sim l^D$. По зависимости массы дендритных кристаллов от их размера можно, таким образом, определить их размерность.

Очень похожие на дендритные кристаллы фигуры возникают при электрическом пробе диэлектриков. Если сильная электрическая искра удаляет в диэлектрическую пластинку, на ее поверхности остается отчетливо видимый узор — так называемые фигуры Лихтенберга (по имени немецкого физика-экспериментатора Г. Лихтенберга (1742—1799), открывшего эти фигуры). Сходство фигур Лихтенберга и дендритных кристаллов не случайно — их возникновение в теории описывается похожими уравнениями.

Фрагальная размерность есть очень важная и доступная измерению характеристика физической системы. Эта величины может быть также вычислена с помощью различных теоретических моделей. Сравнение измеренного и вычисленных значений позволяет решить, какая из этих моделей лучше. Кроме того, при расчете физических свойств фрагальных системы (например, упругости снета и других рыхых материалов) можно пользоваться специально разработанным для этого случая математическим аппаратом.

Фрагательные свойства областидают многое системы, давно использовемые для вполне практических целей. Например, поверхность активного угля, используемого в качестве сорбента (поглотителя) в противогазах, является фрагальной. Размерность этой поверхности больше 2: она имеет чрезвычайно большую форму — бесконечную, в том же смысле, в каком бесконечна длина кривой Коха) площадь и выемки всех масштабов, способные появить и надежно удержать частицу любого размера — от пылики до большой молекулы. Фрагательной является также поверхность многоих использовемых в химии твердых катализаторов. Их каталитическая активность зависит от фрагательных свойств поверхности, которые определяются способом приготовления и обработки.

Мы познакомились с большим количеством областиших нецелой размерности объектов. Хочется задать вопрос — а трехмерно ли само пространство, в котором мы живем? На этот вопрос можно дать вполне конкретиный ответ. Дело в том, что фрагательная размерность пространства определяет вид многоих привлечных нам физических законов. Например, показатель степени 2 в значенателе закона Кулона $F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$ есть на деле.

Фигура Лихтенберга.

13

D — 1, где D — фактическая размерность пространства. Аналіз данных по проверке физических законов, вид которых зависит от размерности пространства, показал, что его размерность отличается от 3 не более, чем на $10^{-10}$. Наше пространство действительное «очень трехмерно».

Вместо заключения

История изучения фактических систем довольно почительна. Появились вначале как игра ума чистых математиков, эти объекты мало интересованы естественнымиателей. Одновременно с этим существовало некоТОРое количество малопонятных факторов.

Сергей Алексеевич Чаплыгин

(Начало см. на с. 2)

воспследствии, когда докладчикtlsательно проверил свои вычисления, выяснили, что Сергей Алексеевич был действительное прав. Подобных легенд ходило влике множества.

Осенью 1941 года правильство решения перевести ЦАГИ в Казань и Новосибирск. Чаплыгин стал руководить Новосибирским филиалом ЦАГИ. В кратчайший срок ему удалось развернуть направенную работу на новом месте. Снова разработавались проекты и строились азродинамические laboratorии, велась интенсивная научная работа. Но годы и перенесенные более больше и больше дают себя чувствовать. 8 октября 1942 года Сергей Алексеевич скончался.

Имя Сергей Алексеевич Чаплыгина продолжает жить в трудах его учеников, в работах всех ученых, развивающих и обобщающих его идеи.