Московский авиационный технологический институт им. К. Э. Циолковского

71

Московский авиационный технологический институт им. К. Э. Циолковского

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Решите неравенство
   $$3|x-1| > x+1.$$
2. Решите уравнение
   $$x^3 - 1gx = 10x^2.$$
3. Решите уравнение
   $$\sin 4x + \sin 12x + \cos 4x = 0.$$
4. Два автобуса одновременно выехали из $A$ в $B$. Первый автобус имел скорость на 4 км/ч больше, чем второй, и прибил в $B$ на 10 мин раньше. Найдите скорости автобусов, если расстояние между $A$ и $B$ равно 48 км.
5. Медианы прямогольного треугольника, проведенные к катетам, относая как $\sqrt{2}:1$. Найдите углы треугольника.

Вариант 2

1. Решите уравнение
   $$\sqrt{x+2} = x-4.$$
2. Решите неравенство
   $$\frac{1}{5^x-1} > \frac{1}{1-5^{x-1}}.$$
3. Решите уравнение
   $$\sin^2 x - \sin^2 2x + \sin^2 3x = \frac{1}{2}.$$
4. Первый член геометрической прогрессии равен 2, а сумма первыхосьми членов в 5 раз больше суммы первых четырех членов. Найдите девятый член прогрессии.
5. Медианы $AN$ и $BM$ треугольника $ABC$ равны 6 и 9 соответственно и пересекаются в точке $K$, причем угол $AKB$ равен $30^\circ$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

Физика
Задание устного экзамена

1. Из шланга, лежшего на земле, будет под углом $\alpha = 30^\circ$ к горизонту струя воды с начальной скоростью $v = 10$ м/с. Площадь сечения ответствия шланга $S = 5$ см². Определите массу воды, находящейся в воздухе. Плотность воды $\rho = 1000$ кг/м³.
2. Какую силу тягги должен развивать двигатель на спутнике Земли массой $m$ для того, чтобы он движался по орбите радиусом $R$ со скоростью, превышающее в 2 раза скорость свободного движения по этой орбите? Масса Земли $M$, гравиитонная постоянная $G$.
3. Два тела бросают с высоты $h = 20$ м со скоростью $v_0 = 15$ м/с каждое. С какими скоростями тела упадут на землю, если первоое тело брошено вертикально вверх, а второе — горизонтальное? Сопротивление воздуха не учитывать.
4. Баллон объемом $V_1 = 2$ л, содержащий 1 моль газа при температуре $t_1 = 27^\circ\text{C}$, соединили с другими баллоном объемом $V_2 = 4$ л, содержащим 2 моль этого газа при температуре $t_2 = 87^\circ\text{C}$. Определите давление и температуру газа после установкиравнения. Теплообменом с окружающей средой пребегчь. Универсальная газовая постоянная $R = 8,31$ Дж/(моль·К).
5. Смачиваемый водой кубик массой $m = 200$ г плавает на поверхности воды. Ребро кубика имеет длину $a = 10$ см. На каком расстоянии от поверхности воды находится нижняя грань кубика? Плотность воды $\rho = 1000$ кг/м³, коэффициент поверхности натяжения воды $\sigma = 0,073$ Н/м.
6. Плосий воздушный конденсатор емкостью $C$ подсоединен к источнику тока с напряжением $U$. Какую работу необходимо совершить, чтобы вдвое увеличит расстояние между обкладками конденсатора? Какую работу совершает при этом источник?
7. Электрон движется по окружности радиусом $R = 10$ см в одномодном магнитном поле с индикцией $B = 1$ Тл. Параллельно магнитному полю возбудается однородное электрическое поле с напряженной постоянностью $E = 100$ В/м. За какой промежуток времени кинетическая энергия электрона возрастет вдвое?
8. Первичная обмотка трансформатора включается в себя переменного тока с напряжением $U_1 = 220$ В. Сила тока в первичной обмотке $I_1 = 0,5$ А. Пренебрегая потерями энергии, определяте направление на концах вторичной обмотки и коэффициент трансформатии, если сила тока во вторичной обмотке $I_2 = 0,1$ А.
9. Линза дает минимое изображение предмета, увеличенное в два раза, если он находится от нее на расстоянии $d = 5$ см. Какая это линза — собственная или рассеивающая? Чему равно ее фокусное расстояние?
10. При распаде π-мезона, движущегося со скоростью $v = 2 \cdot 10^8$ м/с, на два фоназа зафиксированы фотоны, которые летят в противоположных направлениях. Определите отношение энергии этих фотонов. Скорость света $c = 3 \cdot 10^8$ м/с.

Публикация подготовили
Р. А. Ведерников, М. Р. Либерсон,
А. А. Симонов