Квадрат
40
Квадрат
Квадрат — это, пожалуй, самая совершенная геометрическая фигура. Он встречается в самых разных произведениях искусства: от оснований египетских пирамид до «Черного квадрата» Малевича. В математике квадрат впервые появился в теореме Пифагора. Доказательство теоремы Пифагора содержится на рисунках 1 и 2.
Не на много моложе и задача «квадратуры кругга»: построить циркуль и линейкой квадрат, равновеликий данному кругу. Усилия многохзамечательных математических последних двух тысячелей были направлены на то, чтобы доказать неразрешимость этой задачи. На рисунке 3 приведено приближенное решение задачи «квадратуры кругга».
Измерить площад фигуры в Древней Греции ознакомлено построить квадрат, равновеликий этой фигуре. С тех пор вычисление площад принято называть квадратурой. С появлением интервального исчисления площад стали вычислять также с помощью интервалов (рис. 4). Поэтому выражение, являющееся комбинацией интервалов, стала называть записью в квадратурах.
Разбение квадрата на рисунке 5 может служить доказательством того, что сумма нечетных чисел от 1 до 2n — 1 равняется .
Квадрат можно разбить на квадраты меньших размеров — например, средними линейами. На рисунке 6 приведено более хитрое разбиение квадрата на квадраты с целочисленными сторонами. Найдите их размеры, если известно, что длина стороны защитыхованного квадратика равна 2. Заметим, что эти квадратки не все различны. Долго времягауз (об этом он писал в первом издании своей книги «Matематический калейдокоп»). Это мнение подкреплялось тем, чтосовсем нетрудно доказать невозможность разбиения куба на различные кубики. Однако в 1939 году было построено разбиение квадрата на 55 различных квадратов. В 1940 году были найдены два способа разбиения квадрата
41
на 28 различных квадратов, затем — на 26 квадратов, а в 1948 году было получено разбиение на 24 различных квадрата. В 1978 году было найдено разбиение квадрата.
Если разрезать квадрат, как показано на рисунке 7, получится популярная китающая головоломка «Танграм» (подробно о ней расссказывается на 4-й с. обложки).
Любопытно, что в шахматах есть «правило квадрата»: если король находится внутри квадрата, одна из сторон которого — граница доски, куда стремиется пешка противника, чтобы стать ферзем, а другая — соответствующий путь пешки (рис. 9), то без помощью других фигур железные пешки стать «королевой» не осуществится. В крайнем рата на 21 различных квадрат. Это разбиение можно найти на 4-й с. обложки «Кванта» № 11 за 1979 год. Разбиение квадрата меньше чем на 21 различных квадрат уже невозможно.
На рисунке 8 изображена кратчайшая сеть дорог, связывающая четыре города, находящихся в верхних квадрата. Углы в точках пересечения дорог равны 120°. На первый взглядка, что такую сеть дорог составляют диагонали квадрата.
Случае фигура, в которой превращается пешка, будет тут же «съедена» королем. Пешка на рисунке 9 не проходит в ферзии независимо от того, чей ход — белых или черных.