Đường thẳng trên bề mặt cong

7

THẲNG TRÊN BỀ MẶT CONG

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
D. V. FUCHS

Có những bề mặt trông giống như những vảy cong nhưng lại chứa những đường thẳng liền nét. Trong bài viết này, chúng ta sẽ nói về những bề mặt có nhiều đường thẳng này.

Bài viết bao gồm hai phần; cuốn đầu tiên ở trước mặt bạn, và cuốn thứ hai sẽ được đăng trên một trong những số sắp tới của tạp chí. Trong phần đầu tiên, chúng tôi sẽ thực hiện một số thí nghiệm hình học thú vị, phần thứ hai dành cho những người yêu thích toán học nghiêm túc hơn: trong đó, cùng với những thí nghiệm khác, chúng tôi sẽ cố gắng khảo sát tất cả các bề mặt qua từng điểm mà hai đường thẳng nằm trong đó đi qua.

Phần một:
cường điệu của Người đàn ông nội trợ bậc thầy
Bề mặt làm bằng dây giày.
Lấy hai vật giống hệt nhau và buộc chúng bằng một dây dozhina có cùng chiều dài, như minh họa trong hình 1. Nếu bạn nâng cấu trúc thu được lên một vòng, giữ vòng này theo chiều ngang, thì các dây sẽ tạo thành một bề mặt - một hình trụ tròn thẳng. Nếu sau đó, giữ căng dây, bạn xoay vòng này so với vòng kia (ở một góc không nhỏ nhưng cũng không lớn lắm - chẳng hạn như khoảng bốn vòng), thì dây sẽ tạo thành một bề mặt mới - xem Hình. hình 2. Bây giờ chúng ta sẽ thảo luận chi tiết về cấu trúc của bề mặt này, nhưng chúng ta sẽ nhận thấy ngay điều chính: nó cong đến mức khó có thể tin rằng nó được làm bằng dây thẳng hoàn hảo.

Bề mặt này được gọi là zunep-bolouodom và đây là lý do. Nếu chúng ta nhìn nó từ một bên (nói đúng hơn là nếu chúng ta chiếu nó lên một mặt phẳng), thì chúng ta sẽ thấy một hình được bao bọc giữa hai cơn gió của hyperbol (hình 3). Ngoài ra, bề mặt của chúng ta có thể thu được bằng cách xoay hyperbola xung quanh một trong các trục đối xứng của nó (trục không giao nhau với nó) - xem hình 4. Bằng cách giao bề mặt của chúng ta với các mặt phẳng khác nhau, chúng ta cũng có thể thu được một hyperbola (hình 5, a, b), cũng như một hình elip (hình 5, c), paraboly (hình 5, e), một cặp của các đường giao nhau (hình 5, e). Tuy nhiên, bề mặt của chúng ta có rất nhiều điểm chung và xứng đáng với cái tên “hyperbolide”. Tuy nhiên, nó được gọi là hyperboloid một tờ để phân biệt với hyperboloid hai tờ

Hình 1. Hình 2. Hình 3.

8

London thu được bằng cách xoay hyperbol quanh một trục khác (hình 6). Một hyperbolide hai tờ được thay thế chủ yếu bởi thực tế là nó bao gồm (giống như một hyperbola) gồm hai phần không liền kề nhau; Chúng tôi sẽ không xem xét nó thêm nữa và từ “hyperbolide” sẽ luôn quen thuộc với chúng tôi như một hyperbolide một tờ.

Chúng tôi sẽ để lại những gì đã nói ở đoạn trước mà không có bằng chứng, vì tất cả những điều này không đặc biệt quan trọng đối với chúng tôi. Bất kỳ ai muốn sử dụng hyperbol đều có thể đi theo con đường soạn phương trình; phương trình hyperbolod của chúng ta trong một hệ tọa độ phù hợp có dạng $x^2+y^2=r^2+a^2z^2$, trong đó $r$ và $a$ phụ thuộc vào kích thước của vật thể, độ dài của các bề mặt và góc quay. Đối với những người không muốn bận tâm đến việc chứng minh, tôi sẽ nói một điều khác, một điều không cần chứng minh, không cần sự tồn tại: hyperbol của chúng ta cũng là một bề mặt quay của một đường thẳng so với một đường thẳng khác cắt nhau với nó (hình 7).

Hai gia đình. Chúng ta đã biết rằng hyperbolide của chúng ta bao gồm các đường thẳng. Nhân tiện, trong toán học, một đường thẳng chứa toàn bộ nó trên một bề mặt không phẳng được gọi là hình ảnh thẳng (hoặc đơn giản là hình ảnh). Một bề mặt đi qua mỗi điểm mà hình ảnh thẳng đi qua được gọi là quy tắc. Đặc biệt, hyperbol của chúng ta là một bề mặt có quy luật, nhưng trên thực tế còn đúng hơn: đó là một bề mặt hai mặt, tức là hai hình dạng thẳng khác nhau đi qua mỗi điểm.

Điều này không khó hiểu. Hãy quay lại thí nghiệm của chúng ta với những chiếc vòng và tưởng tượng rằng chúng ta quay cùng một chiếc vòng một góc như nhau theo hướng ngược lại. Rõ ràng, chúng ta sẽ có cùng một bề mặt, nhưng với một mẫu khác: các mẫu mới được

10

Khi đó có một đường thẳng duy nhất đi qua A và không cắt bất kỳ đường thẳng nào $l_1$, $l_2$.

Bằng chứng (hình 11). Chúng ta hãy vẽ mặt phẳng $P_1$ qua điểm A và đường thẳng $l_1$ và mặt phẳng $P_2$ qua điểm A và đường thẳng $l_2$. Các mặt phẳng này không song song (chúng có điểm chung A) và không trùng nhau (các nguyên tố $l_1$ và $l_2$ không nằm trong cùng một mặt phẳng). Đường thẳng $l$ giao nhau của các mặt phẳng này là đường thẳng mong muốn: nó đi qua A và nằm trong cùng một mặt phẳng với mỗi đường thẳng $l_1$, $l_2$. Đường thẳng duy nhất như vậy xuất phát từ cùng một lý do: nó phải nằm trong mỗi mặt phẳng $P_1$ và $P_2$.

Quan sát 2. Cho $l_1$, $l_2$, $l_3$ là các đường cắt nhau theo cặp. Khi đó có một đường thẳng duy nhất song song với $l_3$ và không giao nhau với bất kỳ đường thẳng nào trong số các đường $l_1$, $l_2$.

Bằng chứng (hình 12). Chúng ta hãy vẽ qua $l_3$ một mặt phẳng $P_1$, song song với $l_1$ và một mặt phẳng $P_2$, song song với $l_2$. Giao tuyến của các mặt phẳng $P_1$ và $P_2$ là đường thẳng mong muốn.

Chứng minh Định lý 3. Chúng ta đã biết rằng bộ sinh của họ thứ hai không giao nhau với bất kỳ bộ sinh nào của họ thứ nhất (Định lý 2). Định lý sẽ được chứng minh nếu chúng ta tin rằng mỗi đường thẳng không giao nhau với $l_1$, $l_2$ và $l_3$ là một trình tạo thuộc họ thứ hai. Chúng ta biết rằng qua mỗi điểm của bộ tạo $l_3$ có đúng một bộ tạo thuộc họ thứ hai đi qua và một bộ sinh nữa của họ này song song với $l_3$. Nhưng đồng thời, qua mỗi điểm của ma trận $l_3$ có đúng một đường thẳng không cắt $l_1$ hoặc $l_2$ (quan sát 1), đồng thời cũng có một đường thẳng song song với $l_3$ và không cắt $l_1$ hoặc $l_2$ (quan sát 2). Do đó, các đường thẳng được đề cập trong quan sát 1 và 2 là các đường sinh thuộc họ thứ hai.

Vì vậy, hyperbolid của chúng ta có cấu trúc rất đơn giản: chỉ cần lấy ba bộ tạo bất kỳ của cùng một họ và vẽ tất cả các đường không giao nhau với bất kỳ đường nào đã chọn là đủ. Họ cùng nhau sẽ tạo nên hyperbolide của chúng tôi. Một ý tưởng thú vị nảy sinh: lấy ba đường giao nhau theo cặp tùy ý và xem xét bề mặt, bao phủ mọi thứ bằng các đường thẳng không cắt bất kỳ đường thẳng nào đã lấy. Chà, không, chúng tôi đã đi trước chính mình: đây là ý chính của phần thứ hai của bài viết! Và bây giờ chúng ta phải quay lại với sự cường điệu của mình.

Nhà hát bóng tối. Hãy tưởng tượng rằng chúng ta đang ở trong một căn phòng tối và có trong tay một mô hình hyperbolide làm từ những chiếc kim đan mỏng. Các nan hoa này tạo thành hai họ, nằm ở cùng tần số (hình 8). Chúng tôi chiếu sáng mô hình bằng một nguồn sáng chính xác hoặc một chùm tia song song và quan sát bóng do các gai trên nan hoa trên màn hình phẳng tạo ra.

Trước khi đi sâu vào cấu trúc của bức tranh nhận, chúng ta hãy thử tưởng tượng, thuần túy suy đoán, nó sẽ như thế nào *).

*) Xem thêm “Kính vạn hoa «Kvant» trong số tạp chí trước.