Người chiến thắng cuộc thi mang tên A.P. Savin “Toán học 6-8” năm học 2006/07

27

ĐẾN

M

Sh

Cuộc thi mang tên A.P. Savin

“Toán 6–8”

Chúng tôi đang bắt đầu một cuộc thi khác về lời giải toán bài toán dành cho học sinh lớp 6–8. Trong số này, chúng tôi đã thu thập bài toán tác giả từ các quốc gia khác nhau trên thế giới: Hoa Kỳ, Israel, Romania, Nga, Belarus. Gửi Lời giải bài toán trong vòng một tháng sau khi nhận được số tạp chí này tới địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant» (được đánh dấu là “Cuộc thi “Toán học 6–8”). Hãy nhớ bao gồm tên, lớp và địa chỉ nhà của bạn. Như trước đây, chúng tôi hoan nghênh sự tham gia vào cuộc thi không chỉ của từng học sinh mà còn của các câu lạc bộ toán học. Chúng tôi yêu cầu vòng tròn lãnh đạo cung cấp địa chỉ email hoặc số điện thoại liên hệ Theo truyền thống, các câu lạc bộ chiến thắng trong cuộc thi thư từ sẽ được mời tham dự giải đấu trực tiếp cuối cùng.

1. Một nhà nghiên cứu số học đã xếp 100 đồng xu từ các quốc gia khác nhau vào một dòng. Hóa ra hai đồng xu lân cận đều nặng gần như nhau, tức là chênh lệch khối lượng của chúng hoàn toàn nhỏ hơn 0,01 gram. Liệu luôn có thể sắp xếp lại những đồng xu này theo cách như vậy rồi sắp xếp chúng thành một vòng tròn sao cho khối lượng của hai đồng xu liền kề bất kỳ trên vòng tròn chênh lệch nhau ít hơn 0,02 gam? G. Galperin

các số bên trong mỗi đa giác đều giống nhau và vượt quá M. I. Kheifets

2. a) Vẽ ba hình tròn, giao điểm của chúng tạo thành sáu diện tích có tính chất sau: bạn có thể sắp xếp các số từ 1 đến 6 trong đó sao cho tổng các số bên trong mỗi hình tròn bằng nhau và lớn nhất có thể. b) Vẽ ba đường tròn, giao điểm của chúng tạo thành sáu vùng không thể sắp xếp các số từ 1 đến 6 sao cho tổng các số bên trong tất cả các đường tròn đều bằng nhau. c) Hãy biểu thị số tiền lớn nhất thu được trong lời giải bài toán a) bởi M. Vẽ ba đa giác, giao điểm của chúng sẽ tạo thành sáu vùng có tính chất sau: bạn có thể sắp xếp các số từ 1 đến 6 trong đó sao cho tổng

$+ 201 \le$ 2mnpqr. V. Kiriak

3. Chứng minh rằng mọi số tự nhiên lẻ phân biệt từng cặp m, n, p, q, r đều thỏa mãn bất đẳng thức mnpq + mnpr + mnqr + mpqr + npqr +

4. Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện của một tứ giác cắt đường chéo của nó làm đôi. Chứng minh tứ giác là hình thang hoặc hình bình hành. V.Proizvolov

5. Trong một nước đi, bạn được phép đồng thời sơn lại bất kỳ ô nào của bàn cờ theo màu đối diện, cũng như tất cả các ô có chung mặt với nó. Có thể sơn lại tất cả các ô vuông của bảng bằng màu đối diện trong một vài lần di chuyển không? I. Akulich

Những người chiến thắng cuộc thi mang tên A.P. Savina “Toán học 6-8” năm học 2006/07

Các học sinh sau đây đã đạt được kết quả cao nhất trong cuộc thi:

Kagalovsky Tal - Beer Sheva (Israel), trường Eshel Hanasi, lớp 8, Lisichkin Sergey - Kharkov, nhà thi đấu 47, lớp 7, Gabidulina Nadezhda - Sevastopol, lớp 8, Kadets Boris - Kharkov, “Nhà thi đấu học thuật” 45, lớp 7, Dudkin Alexander - Kharkov, FML 27, lớp 8, Rodionov Georgy - Kharkov, FMS 27, lớp 7, Gulin Vsevolod - Kharkov, “Nhà thi đấu học thuật” 45, lớp 7, Ibraimova Aizhana - Bishkek, FMSHL 61, lớp 8, Rubanenko Maria - Kharkov, trường 106, lớp 7,

Khrushchev Timur - Kharkov, FML 27, lớp 7, Teplova Dasha - Kharkov, FML 27, lớp 7, Mishchenko Nikolay - Krasnodar, trường 93, lớp 6.

và câu lạc bộ: Câu lạc bộ Toán học của trường. D. Ben-Gurion ở Negev (Israel), người đứng đầu P. Samovol, J. Heifetz, “Eureka” tại FML 27, Kharkov, người đứng đầu A. L. Bershtein, E. L. Arinkina, trường 146, Perm, người đứng đầu O. N. Chichagova, A. M. Burshtein, Trung tâm Giáo dục Toán học Bổ sung, Kurgan, người đứng đầu O. I. Yuzhkov, Đại học Nhỏ ở Kharkov Quốc gia

36

KVANT 2007/№4

các kỹ thuật chung cho phép chúng ta xây dựng một cách chặt chẽ toán học bài toán và đối với lời giải bài toán, không cần phải giả định trước đặc điểm hành vi của một hạt vi mô mà chúng ta sẽ thiết lập - sóng hoặc hạt. Bằng cách giải bài toán, chúng ta sẽ hiểu cơ học lượng tử mô tả chuyển động của một hạt như thế nào. Chúng ta sẽ hiểu, ngay cả khi chúng ta không thể tưởng tượng được. Trong bài viết này, một công thức chặt chẽ của bài toán có nghĩa là khả năng viết ra phương trình Schrödinger và thiết lập các điều kiện biên và điều kiện ban đầu cần thiết. Lời giải do bài toán đặt ra không chỉ bao gồm việc tìm hàm $\psi$ thỏa mãn phương trình Schrödinger với các điều kiện ban đầu và điều kiện biên, mà còn bao gồm việc tính toán các đại lượng vật lý mà chúng ta quan tâm. Chỉ bài toán như vậy mới được giải, trong đó hàm $\psi$ mô tả chuyển động của một hạt dưới tác dụng của một lực không phụ thuộc vào thời gian. Tuy nhiên, các kết quả vật lý cụ thể được “chứa” trong hàm $\psi$ của một hạt và có thể so sánh với kết quả thí nghiệm, không liên quan đến một hạt, mà liên quan đến một tập hợp, một tập hợp các hạt tương tự về mọi mặt. Phương trình Schrödinger mô tả điều gì: chuyển động của một hạt hay nhiều hạt? Một mình! Nhưng để tận dụng được những kết quả thu được, chúng cần được dịch sang ngôn ngữ vật lý cổ điển, vĩ mô. Để làm được điều này, việc chuyển đổi sang một tập hợp gồm nhiều hạt là cần thiết. Quá trình chuyển đổi từ thế giới vi mô sang thế giới vĩ mô không xảy ra “không bị trừng phạt”: việc mô tả mối quan hệ nhân quả giữa các sự kiện thay đổi. Trong vũ trụ vĩ mô, thuyết quyết định cơ học thông thường ngự trị. Trong mọi trường hợp, khi chúng ta đang nói về chuyển động của một hạt dưới tác dụng của một lực nhất định. Biết được các điều kiện ban đầu, chúng ta có thể theo dõi chuyển động của hạt ở tất cả các thời điểm tiếp theo. Chúng ta hãy làm rõ: giả sử tọa độ $x_{0}$ và vận tốc $v_{0}$ của hạt tại t = 0. Sau khi giải phương trình Newton (đã biết lực), chúng ta tìm được vị trí của hạt tại bất kỳ thời điểm nào, tức là hàm x = x (t) bằng $x_{0}$ tại t = 0. Đạo hàm dx (t) dt là vận tốc của hạt v (t). Đương nhiên, khi t = 0 thì $v = v_{0}$. Chính tuyên bố này đã mang cái tên khoa trương là thuyết quyết định cơ học. Đừng để từ “thế giới vĩ mô” đánh lừa bạn. Nhiều sự kiện khác nhau xảy ra trong thế giới vĩ mô, kết quả của chúng hoàn toàn không thể dự đoán được một cách chắc chắn. Đôi khi điều này chỉ là do kiến ​​thức chưa đầy đủ về các điều kiện ban đầu. Một ví dụ cổ điển là ném xúc xắc. Nếu bạn biết, hoàn toàn chính xác (!), cách ném một con súc sắc sao cho nó rơi ra với mặt cần thiết hướng lên trên, thì bài toán sẽ có lời giải rõ ràng. Và vì vậy chúng ta phải hài lòng với việc đánh giá khả năng xảy ra những gì sẽ xảy ra. Nó xảy ra, và khá thường xuyên, theo cách khác: lực làm cho vật thể vĩ mô chuyển động được biết chính xác và người ta biết vật thể sẽ chuyển động như thế nào dưới tác động của lực này. Nhưng nếu một cơ thể chuyển động, chẳng hạn như trong không khí hoặc trượt dọc theo một mặt phẳng nghiêng, thì cơ thể đó, ngoài một lực nhất định, còn chịu tác dụng của các lực từ các phân tử không khí hoặc nguyên tử của cơ thể mà nó đang trượt trên đó. Tất nhiên, không thể mô tả chi tiết chuyển động của vật và của mọi hạt (không khí, mặt phẳng nghiêng). Thông thường, chỉ cần giới hạn ở mức mô tả trung bình về ảnh hưởng của môi trường bằng lực ma sát hoặc lực cản của khí quyển là đủ. Có tính đến lực ma sát (lực cản), có thể mô tả chuyển động của một vật vĩ mô khá đáng tin cậy, nhưng các đặc điểm quan trọng của chuyển động thay đổi đáng kể. Như vậy, một phần năng lượng của cơ thể bị mất đi không thể phục hồi do ma sát, chuyển thành nhiệt - khả năng đảo ngược biến mất. Tính thuận nghịch của các phương trình cơ học là một hệ quả hình thức của thực tế là chúng

không thay đổi khi thay t bằng –t: gia tốc – đạo hàm bậc hai của tọa độ – không thay đổi khi thay t bằng –t. Lực ma sát tỷ lệ thuận với tốc độ của vật - đạo hàm bậc nhất của tọa độ, sẽ thay đổi khi thay thế như vậy. Tình huống này là lý do chính thức cho việc mất khả năng đảo ngược. Khi mô tả lực ma sát như vậy, người đọc chú ý sẽ cảm nhận được sự mâu thuẫn. Mỗi phân tử không khí hoặc một mặt phẳng nghiêng đều tuân theo các định luật giống như chính vật thể đó (bây giờ chúng ta không nói về những thay đổi do cơ học lượng tử đưa ra). Tại sao sự không thể đảo ngược lại xuất hiện? Đây là một câu hỏi rất khó khăn. Tại cốt lõi đáp số nó là nguyên nhân gây ra hiện tượng tiêu tán gây ra bởi sự chuyển đổi năng lượng từ một số lượng nhỏ bậc tự do cơ học của vật thể vĩ mô sang số bậc tự do về cơ bản là vô hạn của các hạt vi mô. Chuyển động của các vi hạt hỗn loạn đến mức xác suất năng lượng quay trở lại cơ thể là bằng không. Về vấn đề này, họ nói về sự vướng víu không thể đảo ngược, và nói theo ngôn ngữ chặt chẽ hơn - về sự tăng lên của entropy, đại lượng dùng làm thước đo cho sự rối loạn. Hãy quay trở lại với một hạt lượng tử, chuyển động của nó được mô tả $\psi$ -hàm – nghiệm của phương trình Schrödinger. Hàm sóng là hàm của tọa độ và thời gian. Sau khi xác định trạng thái ban đầu, chúng ta sẽ tìm thấy một trạng thái được xác định rõ ràng lời giải $\Psi = \Psi ( x, t )$. Nó dường như là một quá trình hoàn toàn xác định. Tuy nhiên, sau khi tự hỏi câu hỏi đơn giản nhất là hạt ở đâu tại thời điểm t, chúng ta buộc phải giới hạn ở phát biểu rằng chúng ta chỉ biết xác suất tìm thấy hạt trong khoảng dx quanh điểm x, và

2 xác suất này bằng $\Psi ( x, t ) dx$. Chúng tôi nhấn mạnh: chắc chắn, chúng ta đang nói về một tập hợp các hạt chứ không phải về một hạt. Nếu không có một tập hợp các hạt giống hệt nhau thì khái niệm xác suất sẽ mất đi ý nghĩa của nó. Và đó không phải là vấn đề kiến ​​thức chưa đầy đủ hay sự tương tác với một số lượng lớn các hạt khác. Xác suất là khái niệm cơ bản của cơ học lượng tử. Việc xem xét kỹ lưỡng đã chỉ ra rằng không thể đạt được độ chính xác cao hơn của các dự đoán; không thể tránh khỏi việc sử dụng xác suất khi mô tả chuyển động của các hạt cực nhỏ. Lưỡng tính sóng-hạt của các hạt lượng tử không chỉ làm cho chuyển động của chúng rất khác với chuyển động của các vật thể cổ điển, mà còn buộc chúng ta phải xem xét hành trạng của một tập hợp các hạt ngay cả khi, dường như, phương trình mô tả chuyển động của một hạt đơn lẻ. Đây là một khó khăn tâm lý khác trong việc tìm hiểu cơ học lượng tử.

Quỹ đạo, trạng thái ổn định

Mô tả chung về chuyển động của các hạt vi mô bằng cơ học lượng tử thuyết phục chúng ta: các định luật chuyển động lượng tử không giống với các định luật cổ điển. Nhưng để nảy sinh cảm giác kỳ diệu, ấn tượng rằng có điều gì đó “không thể xảy ra” đang xảy ra, cần phải xem xét các ví dụ. Có thể phân biệt rõ ràng hành vi của các vi hạt lượng tử với các vật thể vĩ mô nếu người ta tưởng tượng rõ ràng chuyển động của các vật thể vĩ mô cổ điển trong những điều kiện hoàn toàn trùng khớp với các điều kiện mà chuyển động của các hạt lượng tử sẽ được xem xét. Khi mô tả chuyển động của vật thể cổ điển và hạt lượng tử, chúng ta sẽ cố gắng sử dụng những thuật ngữ giống nhau nếu có thể. Trong trường hợp một chiều, thật bất tiện khi nói về quỹ đạo. Tất nhiên, một hạt cổ điển trong thế giới một chiều luôn chuyển động theo đường thẳng. Mô tả toàn diện về chuyển động của hạt dưới tác dụng của một lực bên ngoài, không phụ thuộc vào thời gian F = F ( x ) được rút gọn thành việc xác định sự phụ thuộc của tọa độ hạt vào thời gian - để tìm hàm x = x ( t ). Thông tin đầy đủ về chuyển động của hạt