Tam giác số học

8

KVANT 2008/№6

Tam giác số học

V.TIMORIN Bình phương độ dài các cạnh của nó có phải là số nguyên không? Có thể những hình tam giác như vậy được gọi là cái gì khác, nhưng tôi chưa gặp cái tên nào nên đã tự mình nghĩ ra cái tên đó. Tuy nhiên, tam giác số học cực kỳ quan trọng đối với lý thuyết số (và chúng ta sẽ thấy một số ứng dụng của chúng trong bài viết này). Vấn đề đơn giản là họ thường sử dụng một ngôn ngữ khác, mang tính đại số hơn. Nói chung, lý thuyết số nghiên cứu các con số chứ không phải hình dạng. Vì vậy, nhiều câu chuyện về lý thuyết số vận hành bằng công thức và gần như không chứa hình. Nhưng mặt khác, việc tưởng tượng các đối tượng toán học một cách trực quan lại rất hữu ích. Vì vậy, chúng ta sẽ nói về hình tam giác. Trong ngôn ngữ hình học, bài toán của chúng tôi bao gồm việc mô tả các lớp tam giác số học. Hãy đưa ra một vài định nghĩa. Lưu ý rằng trong bất kỳ hình bình hành nào, mỗi đường chéo của nó chia hình bình hành thành hai hình tam giác bằng nhau. Chúng ta sẽ gọi tất cả các hình tam giác này là một nửa của hình bình hành này. Hai tam giác được gọi là cạnh nhau nếu chúng có hai nửa hình bình hành giống nhau và tam giác thứ nhất

có được bằng cách vẽ một trong các đường chéo của hình bình hành này và đường chéo thứ hai - bằng cách vẽ đường chéo còn lại (hình1). Hình1. Chuyển sang tam giác liền kề - Nói cách khác. Tam giác ABC lân cận với mi, là lân cận của tam giác DBC cho trước có được như thế này. Đầu tiên chúng ta chọn một trong các cạnh của tam giác. Sau đó, chúng ta hoàn thành hình tam giác thành hình bình hành sao cho cạnh được chọn là đường chéo của nó. Sau đó, chúng ta vẽ một đường chéo khác trong hình bình hành này. Nó chia hình bình hành thành hai hình tam giác bằng nhau - đây là những hình gần kề với hình tam giác ban đầu (chúng ta không phân biệt giữa các hình tam giác bằng nhau). Hãy để chúng tôi chứng minh rằng bất kỳ lân cận nào của một tam giác số học cũng sẽ là số học. Nó đủ để chỉ ra rằng nếu bình phương của các cạnh và một trong các đường chéo của một hình bình hành đã cho là số nguyên thì bình phương của đường chéo kia cũng là số nguyên. Điều này xuất phát từ định lý hình học nổi tiếng rằng tổng

Minh họa của M. Sumnina

CHÚNG TÔI GỌI TAM GIÁC SỐ HỌC, EC-

12

KVANT 2008/№6

nick (a, b, c) có phân biệt 4. Do đó, nó tương đương với tam giác (1, 2, 1). Cụ thể, bình phương cạnh bất kỳ của một tam giác (a, b, c) có dạng $x^{2} + y^{2}$, trong đó x và y là các số nguyên nguyên tố cùng nhau. Ví dụ, a có dạng cần phải chứng minh. W Bài tập tiếp theo khá phức tạp và đòi hỏi kiến ​​thức tốt về tính chất của các số nguyên tố cùng nhau.

Bài tập 3. Cho $a = x^{2} + y^{2}$, trong đó x và y nguyên tố cùng nhau. Khi đó tất cả các ước tự nhiên của số a cũng được biểu diễn dưới dạng này. Tìm hiểu xem những phát biểu tương tự có đúng với $x_{+}^{2} 2 y^{2}, x_{+}^{2} 3 y^{2}, x_{+}^{2} 5 y^{2}$ hay không.

Lý thuyết mà chúng tôi đề cập đến trong bài viết này là lý thuyết cổ điển và có được sự tồn tại của nó nhờ Lagrange và Gauss. Tuy nhiên, Lagrange và Gauss lại sử dụng một ngôn ngữ khác. Họ đã nghiên cứu các thuộc tính của các số nguyên có thể biểu diễn bằng một dạng bậc hai nhất định, tức là có thể biểu diễn dưới dạng $Ax^{2} +$ Bxy $+ Cy^{2}$ đối với các giá trị nguyên A, B, C được xác định trước và đối với một số giá trị nguyên (tùy ý) x và y. Dạng bậc hai là chính biểu thức $Ax^{2} +$ Bxy $+ Cy^{2}$, trong đó x và y được coi là các biến. Mọi chuyện bắt đầu với Fermat, người đã mô tả ý nghĩa của các dạng bậc hai $x^{2} + y^{2}, x^{2} + 2 y^{2}$ và $x^{2} + 3 y^{2}$.

Bài tập 4. Số 7 có thể biểu diễn dưới dạng

$x_{+}^{2} y^{2}$ đối với một số số nguyên x và y? Còn con số 1007 thì sao? Nếu a và b có thể được biểu diễn theo cách này thì điều này có luôn đúng với ab không? Và đối với a + b?

Hóa ra có rất nhiều lớp dạng bậc hai biểu diễn những số giống nhau. Lagrange và Gauss đã phát triển một lý thuyết cho phép họ liệt kê và làm việc với các lớp này một cách hiệu quả.

Bài tập 5. Chứng minh rằng a có thể biểu diễn dưới dạng $x_{+}^{2} y^{2}$ đối với một số số nguyên x và y khi và chỉ khi nó có thể biểu diễn dưới dạng $5 u^{2} + 6 uv + 2 v^{2}$ đối với một số số nguyên u và v.

Mối liên hệ giữa tam giác số học và dạng bậc hai như sau. Tam giác (a, b, c) liên kết với dạng bậc hai

$ax^{2} + ( a + c - b ) xy + cy^{2}$.

Hãy cố gắng hiểu tại sao nó lại có dạng bậc hai như vậy và ý nghĩa của nó là gì. Để làm điều này, sẽ rất hữu ích khi xếp mặt phẳng bằng các hình tam giác bằng hình đã cho. Sự tương đương của các tam giác số học được mô tả một cách tự nhiên bằng ngôn ngữ dạng bậc hai. Một gợi ý về mô tả này có trong bài tập đầy thử thách sau đây.

Bài tập 6. Chứng minh tồn tại một tam giác số học cạnh d tương đương với tam giác (a, b, c) khi và chỉ khi $d_{=} ax_{+}^{2} ( a_{+} c_{-} - b ) xy_{+} cy^{2}$ với một số số nguyên nguyên tố cùng nhau x và y.

Bạn có thể tìm thấy tài liệu thú vị về dạng bậc hai, sơ đồ Conway và nhiều thứ khác trong cuốn sách tuyệt vời của John Conway “Các dạng bậc hai được trao cho chúng ta trong cảm giác” (M.: MTsNMO, 2008).

Để kết luận, chúng tôi sẽ chỉ ra lý thuyết tiếp theo có thể phát triển theo hướng nào. Hướng này thực sự đang phát triển tích cực, nhưng mọi người chủ yếu sử dụng một ngôn ngữ khác, mang tính đại số hơn. Điều quan trọng là phải xem xét không chỉ các tam giác số học mà cả các tam giác số học có hướng. Điều này có nghĩa là các tam giác tạo ra từ nhau do phản xạ được coi là khác nhau. Các tam giác thu được từ nhau bằng phép quay hoặc dịch song song vẫn được xác định. Điều này được thúc đẩy bởi thực tế là không thể thực hiện phản xạ nếu không rời khỏi mặt phẳng. Theo ký hiệu của chúng tôi, tam giác (a, b, c) giống như tam giác (b, c, a) và (c, a, b), nhưng nói chung, không giống tam giác (b, a, c). Các khái niệm về sự tương đương và các lớp dễ dàng chuyển sang các tam giác số học có định hướng. Từ kết quả của Gauss, theo một nghĩa nào đó, các tam giác số học định hướng của cùng một phân biệt có thể được nhân lên. Kết quả của phép nhân chỉ phụ thuộc vào lớp tương đương của các thừa số chứ không phụ thuộc vào chính các thừa số đó. Kết quả này chỉ được xác định ở mức tương đương. Vì vậy, phép nhân thực sự là một phép toán trên các lớp tam giác số học có hướng chứ không phải trên chính các tam giác đó. Phép nhân có các tính chất thông thường: giao hoán (giao hoán) và kết hợp (kết hợp). Ngoài ra, bạn có thể chia các hình tam giác cho nhau, tức là có một phép toán nghịch đảo với phép nhân. Lưu ý rằng số lượng các lớp tam giác số học định hướng của một phân biệt đã cho vẫn còn hữu hạn. Như vậy, có một phép toán tự nhiên và có tính chất tốt của phép nhân trên một tập hợp hữu hạn. Hoạt động này rất quan trọng đối với lý thuyết số. Nhưng phần thảo luận chi tiết của nó không còn phù hợp với hình thức của bài viết này nữa. Đây chỉ là một tính chất đáng chú ý của phép nhân tam giác: nhân lớp tam giác có cạnh a với lớp tam giác có cạnh b. Khi đó lớp kết quả chứa một hình tam giác có cạnh ab! Điều này dẫn đến phát biểu sau (hãy thử chứng minh): nếu các số a, b và c là cạnh của ba tam giác số học tương đương thì số abc cũng là cạnh của một tam giác số học tương đương với dữ liệu. Thay vì liệt kê danh sách tài liệu tham khảo để đọc thêm (sẽ quá dài), tôi sẽ chỉ liệt kê những từ khóa quan trọng nhất. Như đã đề cập, khái niệm tam giác số học không được sử dụng. Thay vào đó, họ nói về các lớp dạng bậc hai. Hoạt động nhân các lớp này được gọi là thành phần. Các lớp cũng được cho là tạo thành một nhóm gọi là nhóm lớp. Có rất nhiều sách và bài báo giải thích ý nghĩa của những thuật ngữ này và phát triển thêm lý thuyết.