Bài toán M2131—M2138; F2138—F2144

25

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này phải được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 9 năm 2009 đến địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Lời giải bài toán từ các số tạp chí khác nhau hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) hãy gửi vào các phong bì khác nhau. Trên phong bì, ở cột “Tới”, viết: “Bài toán Kvant Số 3–2009” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M2131” hoặc “F2138”. Trong cột “Từ”, vui lòng viết họ và tên của bạn một cách rõ ràng. Trong thư, vui lòng gửi kèm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn và bộ tem được yêu cầu (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Lời giải bài toán trong toán học và vật lý cũng có thể được gửi đến các địa chỉ email tương ứng là math@kvant.info và Phys@kvant.info. Vui lòng gửi các điều kiện của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản trong một phong bì riêng thành hai bản cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (đánh dấu trên phong bì: “Bài toán Kvant, bài toán mới trong vật lý” hoặc “Bài toán Kvant, bài toán mới trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái hãy cho biết mã số trường, lớp bạn đang theo học. Bài toán M2131–M2134, M2136 và M2138 đã được đưa ra trong vòng mùa xuân của Giải đấu Thành phố XXX. Bài toán F2138–F2141 đã được đưa ra ở giai đoạn cuối của Olympic toàn Nga XLIII dành cho học sinh môn vật lý.

Bài toán M2131–M2138, F2138–F2144

SCH

M2131. Gọi a b là số $a^{b}$. Trong biểu thức $7^{Щ} 7^{Щ} 7^{Щ} 7^{Щ} 7^{Щ} 7^{Щ} 7$ bạn cần đặt dấu ngoặc để xác định thứ tự thực hiện (tổng cộng sẽ có 5 cặp dấu ngoặc). Có thể sắp xếp các dấu ngoặc này theo hai cách khác nhau để có cùng một số không? A.Tolpygo

M2132. Cho một số điểm trên một mặt phẳng, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Một số điểm được kết nối bằng các đoạn. Biết rằng bất kỳ đường thẳng nào không đi qua những điểm này sẽ cắt một số đoạn thẳng chẵn. Chứng minh rằng mỗi điểm có số đoạn chẵn. I. Bogdanov, G. Galperin

M2133. Lâu đài được bao quanh bởi một bức tường tròn với chín tòa tháp do các hiệp sĩ quản lý. Sau mỗi giờ, tất cả họ đều di chuyển đến các tòa tháp lân cận, với mỗi hiệp sĩ luôn di chuyển theo chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ. Trong đêm, mỗi hiệp sĩ có nhiệm vụ trực trên mỗi tòa tháp. Được biết, có một giờ có ít nhất hai hiệp sĩ làm nhiệm vụ trên mỗi tháp và có một giờ có đúng một hiệp sĩ làm nhiệm vụ trên đúng năm tháp. Chứng minh rằng có một giờ không có hiệp sĩ nào trên một trong các tòa tháp cả. M. Murashkin

M2134. Ba mặt phẳng cắt hình bình hành thành tám hình lục giác, tất cả các mặt đều là tứ giác (mỗi mặt phẳng cắt hai cặp mặt đối diện của hình bình hành đó và không

cắt hai mặt còn lại). Được biết, một hình cầu có thể được mô tả xung quanh một trong những hình lục giác này. Chứng minh rằng có thể mô tả được một hình cầu xung quanh mỗi mặt cầu đó. V.Proizvolov

M2135. Một số tự nhiên được gọi là số tốt nếu nó có thể chuyển thành số chính phương bằng cách thêm vào ký hiệu thập phân ở bên trái của nó một số tận cùng bằng chính xác số 0 năm 2009. Với n nào thì có số tốt có n chữ số không phải là số chính phương? N. Agakhanov

M2136. Gọi $C_{n}^{k}$ là số cách chọn k mục từ n mục khác nhau (các cách chỉ khác nhau về thứ tự chọn mục được coi là giống nhau). Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên k và l nhỏ hơn n thì các số $C_{n}^{k}$ và $C_{n}^{l}$ có ​​ước chung lớn hơn 1.

M2137. Cho tam giác cân ABC có các góc nhọn, trong đó H là giao điểm của các đường cao, điểm I và O là tâm của các đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp. Biết các điểm A, O, I, H cùng nằm trên một đường tròn $\omega$. Chứng minh rằng đường tròn $\omega$ đi qua một trong hai đỉnh B và C. P. Kozhevnikov

$M2138^{*}$. Số 6 được ghi vào ô nhớ của máy tính. Sau đó, máy tính thực hiện một triệu bước. Ở bước số n, nó tăng số trong ô lên ước chung lớn nhất của số đó và n. Bác sĩ-