Về một người già bị lãng quên bài toán

34

KVANT 2009/№4

Cuộc thi mang tên A.P. Savin

“Toán 6–8”

Chúng tôi đang bắt đầu một cuộc thi khác về lời giải toán bài toán dành cho học sinh lớp 6–8. Lời giải bài toán phải được gửi trong vòng một tháng sau khi nhận được số tạp chí này tới địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant» hoặc qua email: math@kvant.info (được đánh dấu là “Cuộc thi “Toán học 6–8”). Hãy nhớ điền tên, lớp và địa chỉ nhà của bạn. Như trước đây, chúng tôi hoan nghênh việc tham gia cuộc thi không chỉ theo cá nhân học sinh, mà còn bởi các câu lạc bộ toán học. Chúng tôi yêu cầu những người đứng đầu vòng tròn cung cấp địa chỉ email hoặc số điện thoại liên hệ. Theo truyền thống, các câu lạc bộ chiến thắng trong cuộc thi thư từ sẽ được mời tham dự giải đấu trực tiếp cuối cùng.

1. Một quân cờ có thể di chuyển cả với tư cách là quân xe và quân mã được gọi là tướng, và quân cờ kết hợp khả năng của quân hậu và quân mã được gọi là maharajah. Đặt bốn tể tướng và bốn maharajas lên bàn cờ $8 \times 8$ sao cho không quân nào thắng quân nào. A. Gribalko

2. Các số A và B được gọi là thân thiện nếu tổng tất cả các ước của A, ngoại trừ chính A, bằng B, và tổng tất cả các ước của B, ngoại trừ chính B, bằng A. (Ví dụ 220 và 284 là hai số hữu ích.) Lấy hai số hữu nghị A và B. Sau đó tìm tổng các nghịch đảo của các ước của A, trừ đi một và nhận được kết quả $\alpha .$ Làm tương tự với B, nhận được kết quả $\beta .$ Sản phẩm $\alpha \beta$ là gì? G. Galperin

3. Cả nước có 100 thành phố. Một số cặp thành phố được kết nối bằng đường bộ và có kết nối đường hàng không giữa hai thành phố bất kỳ. Biết rằng mỗi thành phố đều có số lẻ đường. Người du lịch muốn đi dọc theo mỗi con đường đúng một lần (theo một trong hai hướng). Số chuyến bay ít nhất anh ta sẽ phải thực hiện cho việc này là bao nhiêu? P. Kozhevnikov 4. Chúng ta sẽ gọi một số tự nhiên là số ấm nếu một trong các số a – 1 và a + 1 là số đơn giản và số còn lại là hợp số. Chứng minh rằng có vô số số chẵn. D. Shvetsov 5. Trong tứ giác ABCD, đường chéo AC là phân giác của góc BCD, góc BCD bằng $120 ^\circ$ và góc BAD bằng $30 ^\circ$. Chứng minh rằng chu vi tam giác BCD bằng độ dài đường chéo AC. V.Proizvolov

Về một người già bị lãng quên bài toán

V. DOTSENKO, K. SHRAMOV

Những con gấu cưỡi trên một chiếc xe đạp, Và đằng sau chúng là Tôm càng xanh Trên một con chó què, Và đằng sau chúng là một con mèo Quay lại phía trước… K. Chukovsky Giới thiệu Vào mùa xuân năm 2005, các tác giả của bài báo này đã chọn bài toán để phỏng vấn đầu vào lớp toán 9 trường 57 ở Mátxcơva. Đối với một trong những cuộc phỏng vấn cuối cùng, người ta đã quyết định chọn một số thông tin khá ít được biết đến (ít nhất là đối với học sinh lớp 8), bài toán, lời giải, mỗi lý do trong số đó - vì lý do này hay lý do khác - là một lập luận nghiêm túc ủng hộ thực tế là học sinh quyết định điều đó sẽ có thể học trong một lớp toán. Đây là điều kiện của một trong số chúng: Khoảng cách giữa thành phố A và B là 30 km. Ba khách du lịch muốn đi từ thành phố A đến thành phố B. Họ có một chiếc xe máy mà mỗi người có thể đi với tốc độ 60 km/h và một chiếc xe đạp mà mỗi người có thể đi với tốc độ 15 km/h. Khi đi bộ, mỗi người trong số họ có thể di chuyển với tốc độ 6 km/h. Bất kỳ phương tiện giao thông nào cũng có thể được để lại trên đường để một trong những khách du lịch còn lại có thể sử dụng. a) Chứng minh rằng khách du lịch sẽ không thể tổ chức được chuyến đi sao cho người đến cuối cùng sẽ dành ít hơn 2,5 giờ trên hành trình.

41

TRƯỜNG HỌC

từ Bổ đề 1 (các bản dịch song song) và từ Bổ đề 2 (các phép quay có tâm chung). Và trong tất cả các tác phẩm từ Bổ đề 3–7, thứ tự là điều cần thiết - các cặp chuyển động được xem xét trong chúng không giao hoán. Một ví dụ khác về chuyển động giao hoán là đối xứng trục và dịch song song thành một vectơ song song với trục đối xứng. Do đó, khi xác định tính đối xứng trượt, việc thực hiện các chuyển động cơ bản tạo nên nó theo thứ tự nào không quan trọng.

Lời giải bài toán

Lời giải bài toán 1. Xuất phát từ điều kiện là khi quay qua một góc $120^\circ$ so với điểm M, đỉnh A đi vào B, và C đi vào D. Điều này có nghĩa là với phép quay này, đoạn thẳng AC đi vào đoạn thẳng có hướng BD nên độ dài của chúng bằng nhau và góc giữa chúng là $120 ^\circ$. Điều này có nghĩa là góc giữa các đoạn thẳng AC và DB bằng $60 ^\circ$. Chúng ta hãy xem xét chuyển động riêng để chuyển đoạn có hướng AC sang DB. Theo định lý Chall, đó là một phép quay và độ lớn của góc quay phải bằng góc giữa các đoạn có hướng này, tức là $60 ^\circ$. Tâm của vòng quay này sẽ là điểm N mong muốn. Lời giải bài toán 2. Xét chuyển động biến tam giác $A_{1} B_{1} C_{1}$ thành $A_{2} B_{2} C_{2}$. Vì những tam giác này có hướng khác nhau nên chuyển động đang xét là không đúng và do đó là một đối xứng trượt. Rõ ràng là trung điểm của đoạn nối bất kỳ điểm nào với ảnh của nó dưới tác dụng đối xứng trượt nằm trên trục đối xứng này. Lời giải bài toán 3. Chuyển động được mô tả trong bài toán là sự kết hợp của ba đối xứng trục và do đó là chuyển động không đúng của mặt phẳng. Theo định lý Chall, đây là sự đối xứng trượt. Rõ ràng, với đối xứng trượt, những điểm di chuyển một khoảng cách tối thiểu chính xác là những điểm của trục. Thật vậy, tất cả chúng đều dịch chuyển bởi cùng một vectơ, song song với trục đối xứng, trong khi các điểm khác cũng dịch chuyển theo hướng vuông góc với trục đó. Vẫn còn phải tìm trục đối xứng này. Để làm điều này, chỉ cần tìm hai điểm trên đó. Hãy sử dụng thực tế đã giúp chúng ta trong lời giải bài toán trước đó: phần giữa của đoạn nối một điểm với ảnh của nó dưới sự đối xứng trượt nằm trên trục đối xứng này. Do đó, để tìm trục, chỉ cần tìm trung điểm của hai đoạn thẳng nối các điểm với ảnh của chúng là đủ. Việc tìm kiếm có thể được đơn giản hóa rất nhiều nếu bạn chọn thành công hai điểm, hình ảnh của chúng rất dễ tìm thấy đối với bố cục đang được xem xét. Hãy chọn đỉnh A của tam giác làm điểm đầu tiên. Với hai đối xứng đầu tiên, nó sẽ giữ nguyên vị trí và với đối xứng thứ ba, nó sẽ bị phản xạ so với cạnh BC. Điểm giữa cần tìm sẽ là đáy của đường cao hạ xuống từ đỉnh A. Làm điểm thứ hai, lấy một điểm đối xứng với điểm C so với cạnh AB. Với sự đối xứng đầu tiên, nó sẽ biến thành C, và với hai đối xứng tiếp theo, nó sẽ giữ nguyên vị trí. Điều này có nghĩa là điểm bắt buộc thứ hai là đáy của đường cao rơi xuống từ điểm C. Đáp số: tập hợp các điểm cần tìm sẽ là một đường thẳng đi qua đáy của các đường cao rơi xuống từ đỉnh A và C của tam giác ABC. Trường hợp các đáy của các đường cao này trùng nhau (và điều này xảy ra nếu tam giác ABC vuông góc với góc vuông B) cần được phân tích riêng. Chúng tôi để điều này như một bài tập cho độc giả.

TRONG

“QUANTE”

Bài toán và các bài tập dành cho người độc lập lời giải

1 (dành cho những người quen với khái niệm nhóm). Chứng minh rằng tập hợp chuyển động tạo thành một nhóm theo hoạt động hợp thành. Một nhóm có hình thành một tập hợp các phong trào riêng của mình không? Còn nhiều động tác không đúng thì sao? 2. Chứng minh (không sử dụng định lý Chall) rằng bất kỳ chuyển động nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp của không quá ba đối xứng trục. 3. Chứng minh định lý Chasles khác bằng cách sử dụng bài toán 2. 4. Đối xứng trượt được cho bởi cặp (trục đối xứng, vectơ tịnh tiến). Chứng minh rằng các đối xứng trượt được xác định bởi các cặp khác nhau là khác nhau. 5. Hoàn thành lời giải bài toán 3 bằng cách xét trường hợp tam giác vuông góc vuông B. 6. Hình ảnh cho thấy có bao nhiêu điểm xác định chuyển động của không gian? 7. Cố gắng xác định phương hướng cũng như chuyển động đúng và sai trong không gian. Hình ảnh của bao nhiêu điểm xác định chuyển động riêng của không gian? 8. Chuyển động nào là hợp thành của hai đối xứng tâm có tâm khác nhau? 9. Hãy để $0 < \alpha, \beta, \gamma < 180 ^\circ, \alpha + \beta + \gamma = 180 ^\circ$. Chứng minh rằng thành phần của ba phép quay theo các góc $2 \alpha, 2 \beta, 2\gamma$ lần lượt đối với các điểm A, B, C là phép biến đổi đồng nhất khi và chỉ khi các góc của tam giác ABC lần lượt là $\alpha, \beta$ và $\gamma$. (Các phép quay ngược chiều kim đồng hồ và tam giác ABC có hướng âm.) 10. Vẽ một đa giác có số cạnh lẻ trên một mặt phẳng. Điểm M được phản ánh tuần tự so với trung điểm của các cạnh liên tiếp của đa giác, dẫn đến điểm $M_{1}$. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn $MM_{1}$ là đỉnh của đa giác. 11. Một đa giác có số cạnh lẻ được vẽ trên một mặt phẳng. Sau đó, điểm giữa của các cạnh được đánh dấu trong đó và bản thân đa giác đã bị xóa. Tái tạo đa giác bằng cách sử dụng các điểm được đánh dấu bằng la bàn và thước kẻ. 12. Cho tam giác ABC. Dựng các điểm K, L và M sao cho các tam giác AKM, BLK và CLM đều bằng nhau. 13. Cho một tam giác tùy ý. Các tam giác đều được xây dựng từ hai cạnh bên ra ngoài. Gọi M và N là các đỉnh của các tam giác này không trùng với các đỉnh của tam giác ban đầu. Một tam giác đều cũng được xây ở cạnh thứ ba, nhưng bây giờ ở bên trong. Gọi O là tâm của nó. Tìm các góc của tam giác MNO. 14. Các nhà khảo cổ đã tìm thấy một cuộn giấy cổ, trong đó có viết: “Đứng gần cây bạch dương và đi từ đó, không quay lại, đến cái giếng, và ở bên giếng, rẽ vuông góc sang trái và đi cùng một khoảng cách. Ở nơi bạn thấy mình, hãy đóng một cái chốt xuống đất. Bây giờ hãy đứng lại bên cây bạch dương và đi từ đó đến cây sồi, rẽ vuông góc sang phải và đi theo cùng một khoảng cách. Đóng cái chốt thứ hai vào đó.” mặt đất. Có một kho báu được chôn ở giữa các chốt.” Hóa ra cái giếng và cây sồi vẫn còn đó, nhưng cây bạch dương đã không còn nữa. Liệu các nhà khảo cổ có thể tìm thấy kho báu? 15. Trên các cạnh của một tứ giác tùy ý, các hình vuông được dựng ra phía ngoài. Chứng minh rằng một tứ giác có các đỉnh ở tâm các hình vuông này có các đường chéo vuông góc và bằng nhau.