Giải đấu thành phố XXXV

Thế Vận Hội

Giải đấu thành phố XXXV

MỤC ĐÍCH CỦA DU LỊCH XUÂN

Tùy chọn cơ bản

lớp 8–9

1 (3). 100 con số được đưa ra. Khi mỗi số đó tăng lên 1 thì tổng bình phương của chúng không thay đổi. Mỗi số lại tăng thêm 1. Liệu tổng bình phương lần này có thay đổi không, và nếu có thì thay đổi bao nhiêu? A. Shapovalov

1

2 (4). Mẹ nướng những chiếc bánh trông giống hệt nhau: 7 chiếc với bắp cải, 7 chiếc với thịt và một chiếc với quả anh đào, rồi xếp chúng thành hình tròn trên đĩa tròn theo thứ tự đó. Sau đó tôi cho đĩa vào lò vi sóng để hâm nóng. Olya biết cách đặt bánh nướng, nhưng không biết món ăn diễn ra như thế nào. Cô ấy muốn ăn một chiếc bánh anh đào, nhưng lại coi phần còn lại là vô vị. Làm sao Ole có thể chắc chắn đạt được điều này sau khi cắn không quá ba chiếc bánh vô vị? A. Khachaturian

3 (4). Xem bài toán M2350 “Bài toán Kvant”.

4 (5). Trên cạnh BC của tam giác ABC, chọn điểm L sao cho AL gấp đôi đường trung tuyến CM. Hóa ra góc ALC bằng $45\infty$. Chứng minh rằng AL và CM vuông góc với nhau. R.Zhenodarov

5 (6). Một hàng dài xếp hàng để qua eo biển Bosphorus: người đầu tiên là Ali Baba, theo sau là 40 tên cướp. Chỉ có một chiếc thuyền, hai hoặc ba chiếc có thể đi trên đó (bạn không thể chèo thuyền một mình). Trong số những người chèo thuyền không nên có những người không phải là bạn bè của nhau. Liệu tất cả họ có thể vượt qua nếu cứ hai người đứng cạnh nhau trong hàng đợi đều là bạn, và Ali Baba vẫn là bạn với tên cướp đứng cách anh ta một người? A. Shapovalov

lớp 10–11

1 (4). Cheburashka có một bộ gồm 36 viên đá có khối lượng 1 g, 2 g,…, 36 g, và Shapoklyak có keo siêu dính, với một giọt bạn có thể dán hai viên đá thành một (theo đó, bạn có thể dán 3 viên đá bằng hai giọt, v.v.). Shapoklyak muốn dán các viên đá lại với nhau để Cheburashka không thể chọn một hoặc nhiều viên đá có tổng khối lượng là 37 g từ bộ kết quả. Hỏi số giọt keo nhỏ nhất sẽ đủ để cô ấy thực hiện được kế hoạch của mình là bao nhiêu? E. Bakaev

2 (4). Tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo vuông góc. Trên các cạnh AD và CD lần lượt đánh dấu các điểm M và N sao cho các góc ABN và CBM là các góc vuông. Chứng minh hai đường thẳng AC và MN song song. A. Polyansky

3 (5). Xem bài toán 5 cho lớp 8 – 9.

1 Trong ngoặc đơn sau số bài toán số điểm tối đa được trao cho lời giải của nó được biểu thị. Kết quả được tóm tắt theo ba nhiệm vụ đã đạt được kết quả tốt nhất.

4 (5). Các số tự nhiên a, b, c, d là các số nguyên tố cùng nhau thỏa mãn đẳng thức ab + cd = ac – 10bd. Chứng minh rằng trong số đó có ba số trong đó một số bằng tổng của hai số còn lại. B.Frenkin

5 (5). Cho tứ giác lồi ABCD. Người đi bộ Petya rời đỉnh A, đi dọc theo cạnh AB rồi dọc theo đường viền của tứ giác. Người đi bộ Vasya rời đỉnh A cùng lúc với Petya, đi dọc theo đường chéo AC và đồng thời cùng Petya đến C. Người đi bộ Tolya rời đỉnh B vào thời điểm Petya đi qua nó, đi dọc theo đường chéo BD và đồng thời với Petya đến D. Vận tốc của người đi bộ là không đổi. Liệu Vasya và Tolya có thể đến giao điểm của đường chéo O cùng lúc không? B.Frenkin

Tùy chọn phức tạp

lớp 8–9

1 (3). Ông già Noel đã phát 47 viên sôcôla cho trẻ em, sao cho mỗi bé gái nhận được nhiều hơn một bé trai. Sau đó, ông già Noel đã phát 74 hạt thạch cho các em giống nhau, sao cho mỗi bé trai nhận được nhiều hơn một hạt thạch so với mỗi bé gái. Tổng cộng có bao nhiêu đứa trẻ? E. Bakaev

2 (5). Trên bảng ca rô $5 \times 5$ Petya đánh dấu một số ô vuông. Vasya sẽ thắng nếu anh ta có thể bao phủ tất cả các ô này bằng các góc của ba ô không chồng lên nhau và không vượt ra ngoài đường viền của hình vuông (các góc chỉ có thể được đặt “trong các ô”). Số ô vuông nhỏ nhất mà Petya phải đánh dấu để Vasya không thể thắng là bao nhiêu? A. Shapovalov

3 (6). Một chiếc khăn trải bàn hình vuông được đặt trên một chiếc bàn vuông sao cho không có góc nào bị che khuất, nhưng mỗi bên của bàn treo một mảnh khăn trải bàn hình tam giác. Biết rằng có hai mảnh liền kề bằng nhau. Chứng minh rằng hai phần còn lại cũng bằng nhau. (Khăn trải bàn không chồng lên nhau ở bất cứ đâu; kích thước của nó có thể khác với kích thước của bàn.) E. Bakaev

4 (7). Vua gọi hai nhà thông thái đến. Ông đưa cho 100 tấm thẻ trống đầu tiên và yêu cầu anh ta viết một số tự nhiên lên mỗi tấm thẻ (các số này không nhất thiết phải khác nhau) mà không cho người thứ hai xem. Sau đó, người đầu tiên có thể cho người thứ hai biết một số số khác nhau, mỗi số được viết trên một thẻ nào đó hoặc bằng tổng các số trên một số thẻ (mà không chỉ rõ cách lấy chính xác từng số). Người thứ hai phải xác định 100 số nào được ghi trên thẻ. Nếu không làm được điều này, cả hai sẽ bị chặt đầu; nếu không thì râu của mỗi người sẽ bị bứt nhiều như số con số đầu tiên nói với con số thứ hai. Làm thế nào các nhà hiền triết, nếu không đồng ý, có thể sống sót và mất đi một lượng lông tối thiểu? I. Bogdanov

5 (7). Một số chấm trắng và một số chấm đen được đưa ra. Từ mỗi chấm trắng có một mũi tên tới mỗi chấm đen,

44

KVANT 2014/№4

mỗi mũi tên có một số tự nhiên được viết trên đó. Biết rằng nếu bạn đi theo một đường mũi tên khép kín bất kỳ thì tích các số trên mũi tên đi ngược chiều chuyển động sẽ bằng tích các số trên mũi tên đi ngược chiều chuyển động. Vậy có cần thiết phải đặt một số tự nhiên tại mỗi điểm sao cho số trên mỗi mũi tên bằng tích của các số ở hai đầu mũi tên không? A. Pakharev

6 (9). Từ hình khối $1 \times 1 \times 1$ khối $3 \times 3 \times 3$ được dán. Số khối lập phương lớn nhất có thể được ném ra khỏi nó là bao nhiêu để một hình có hai tính chất sau: i nhìn từ cạnh của bất kỳ mặt nào của hình lập phương ban đầu, hình này trông giống như một hình vuông $3 \times 3$ (nhìn vuông góc với mặt này, chúng ta sẽ không thấy khoảng trống - có thể nhìn thấy 9 khối của hình này); tôi di chuyển trong một hình từ khối này sang khối khác qua mặt chung của chúng, liệu có thể đi từ khối này sang khối khác không? A. Marachev

7 (9). Có 10 điểm được đánh dấu trên đường tròn, được đánh số theo chiều kim đồng hồ: $A_{1}, A_{2},..., A_{10}$, và được biết chúng có thể chia thành từng cặp đối xứng nhau qua tâm đường tròn. Ban đầu, một con châu chấu đậu ở mỗi điểm đã đánh dấu. Mỗi phút, một con châu chấu nhảy dọc theo vòng tròn qua người hàng xóm của nó để khoảng cách giữa chúng không thay đổi. Đồng thời, bạn không thể bay qua những con châu chấu khác và đến điểm mà một con châu chấu đã đậu sẵn. Sau một thời gian, hóa ra có khoảng 9 con châu chấu đang đậu ở các điểm $A_{1}, A_{2},..., A_{9}$, và con châu chấu thứ mười đang đậu trên vòng cung $A_{9} A_{10} A_{1}$. Chúng ta có thể nói rằng anh ấy ngồi chính xác tại điểm $A_{10}$ không? E. Bakaev

lớp 10–11

1 (3). Dunno khoe rằng anh ấy đã viết nhiều đơn vị liên tiếp, đặt dấu “+” hoặc dấu “$\times$” giữa mỗi đơn vị liền kề, đặt dấu ngoặc đơn và nhận được biểu thức có giá trị là 2014; Hơn nữa, nếu trong biểu thức này chúng ta thay đồng thời tất cả các dấu “+” bằng dấu “$\times$” và dấu “$\times$” bằng dấu “+”, chúng ta vẫn sẽ nhận được năm 2014. Liệu anh ấy có đúng không? V. Kleptsyn

2. Có đúng là bất kỳ đa giác lồi nào cũng có thể được cắt dọc theo một đường thẳng thành hai đa giác nhỏ hơn có chu vi bằng nhau và a) (4) các cạnh dài nhất bằng nhau; b) (4) các cạnh nhỏ nhất bằng nhau? A. Shapovalov

3 (6). Vua gọi hai nhà thông thái đến. Ông đưa cho 100 tấm thẻ trống đầu tiên và yêu cầu anh ta viết một số dương trên mỗi tấm thẻ (các số này không nhất thiết phải khác nhau) mà không cho người thứ hai xem. Sau đó, người đầu tiên có thể cho người thứ hai biết một số số khác nhau, mỗi số được viết trên một thẻ nào đó hoặc bằng tổng các số trên một số thẻ (mà không chỉ rõ chính xác cách lấy được từng số). Người thứ hai phải xác định 100 số nào được ghi trên thẻ. Nếu không làm được điều này, cả hai sẽ bị chặt đầu; nếu không thì râu của mỗi người sẽ bị bứt nhiều như số con số đầu tiên nói với con số thứ hai. Làm thế nào các nhà hiền triết, nếu không đồng ý, có thể sống sót và mất đi một lượng lông tối thiểu? I. Bogdanov

4 (7). Xem bài toán M2351 “Bài toán Kvant”.

5 (8). Xem bài toán M2354 “Bài toán Kvant”.

6 (9). Mỗi thành phố ở một quốc gia nhất định được gán một số riêng. Có một danh sách trong đó với mỗi cặp số sẽ cho biết liệu các thành phố có những số này có được kết nối bằng đường sắt hay không. Hóa ra, dù bạn lấy hai số M và N từ danh sách như thế nào, bạn vẫn có thể đánh số lại các thành phố sao cho thành phố có số M sẽ nhận được số N, nhưng danh sách vẫn đúng. Có đúng là nếu lấy hai số M và N trong danh sách, bạn có thể đánh số lại các thành phố sao cho thành phố có số M sẽ nhận được số N, thành phố có số N sẽ nhận được số M, nhưng danh sách vẫn đúng? A. Pakharev, M. Skopenkov, A. Ustinov

7 (10). Đa thức P ( x ) thỏa mãn điều kiện: $P ( 0 ) = 1 ; 2 ( P ( x ) ) = 1 + x + x^{100} Q ( x )$, trong đó Q ( x ) là một đa thức nhất định. Chứng minh rằng hệ số $x^{99}$ trong đa thức 100 ( P ( x ) + 1 ) bằng 0. D. Zvonkin

TOUR NÓI DÀNH CHO LỚP 11

1. Trong tập {1, 2, 3,…, 2014} ta chọn tập con A. Hóa ra không có tam thức bình phương nào mà cả ba hệ số đều thuộc A, có nghiệm thực. Số phần tử lớn nhất mà A có thể có là bao nhiêu? G. Zhukov

2. Cho tam giác ABC. Một tia kẻ từ đỉnh B đi qua trung điểm AC cắt phân giác ngoài của góc A tại điểm P. Đường thẳng PC cắt đường thẳng chứa phân giác trong của góc A tại điểm Q. Chứng minh BA = BQ. F.Ivlev

3. Xem bài toán M2349 “Bài toán Kvant”.

4. Trong tứ diện đẳng diện ABCD, các điểm $A ', B ', C ', D '$ là tâm của các hình cầu lệch tâm. Chứng minh rằng A, B, C, D là tâm các hình cầu lệch tâm của tứ diện $A ' B ' C ' D '$. (Một tứ diện được gọi là đẳng diện nếu các mặt của nó là các tam giác bằng nhau. Hình cầu ngoại tiếp là một hình cầu tiếp xúc với một trong các mặt và phần kéo dài của các mặt còn lại.) A. Zaslavsky

5. Trong hình chữ nhật ca rô màu trắng, có cạnh lớn hơn 10, ô K được sơn màu đen. Tiếp theo, trong khi di chuyển, chọn một hàng (ngang hoặc dọc) trong đó có ít nhất 10 ô màu đen và sơn đen tất cả các ô trắng trong hàng này. Sau vài lần di chuyển như vậy, tất cả các ô đều trở thành màu đen. Chứng minh rằng $K \ge 100$. P.Kozhevnikov

6. Chứng minh rằng không có đa thức nào cho hai biến P ( x, y ) mà tập lời giải của bất đẳng thức P ( x, y ) > 0 là góc phần tư { ( x, y ): x > 0, y > 0 }. L.Stunzhas

Ấn phẩm được biên soạn bởi S. Dorichenko, L. Mednikov, A. Semenov