Từ tầng này sang tầng khác

26

KVANT 2015/№4

Vòng ngoài của ổ trục lăn trên các quả bóng (hoặc con lăn), lăn trên vòng trong của ổ trục. Đúng là vòng bi thật còn có một bộ phận nữa – nó được gọi là lồng.

Hình 4

• Dấu phân cách? “Tôi biết điều đó,” Buratino được truyền cảm hứng. – Khi tôi ở Malvina’s

vào ngày sinh nhật của mình, cô ấy đã chiêu đãi khách của mình dâu tây và kem. Cô lấy sữa, cho qua máy tách và thu được kem. Máy phân tách tách kem ra khỏi sữa. Tại sao có một dải phân cách trong ổ trục? – Từ “dấu phân cách” có thể được dùng trong nhiều trường hợp khác nhau. Dải phân cách trong ổ bi là một loại lưới ngăn cách một quả bóng (hoặc con lăn) với một quả bóng khác và điều khiển chuyển động của chúng,” Papa Carlo trả lời.

• Bây giờ mọi thứ đã rõ ràng với tôi! - Buratino vui vẻ kêu lên.

Từ tầng này sang tầng khác

I.AKULICH

Ngay khi NHÂN LOẠI BẮT ĐẦU XÂY DỰNG các tòa nhà nhiều tầng, rất nhiều bài toán rất đa dạng về chúng đã xuất hiện. Có lẽ ngoạn mục nhất đã được đề xuất với các bác sĩ pháp y vào năm 1914 bởi Joseph $Швейк^{1}$: “Có một ngôi nhà bốn tầng, mỗi tầng có tám cửa sổ, trên mái có hai cửa sổ ngủ tập thể và hai ống khói, mỗi tầng có hai người ở. Bây giờ, các quý ông hãy nói cho tôi biết, bà của người gác cửa mất vào năm nào? Bài toán gây ấn tượng mạnh, và có lẽ đó là lý do tại sao vẫn chưa có ai giải quyết được. Tuy nhiên, chúng tôi sẽ không xem xét điều đó. bài toán - chúng tôi sẽ giới hạn những điều có thể khắc phục bằng cách sử dụng khóa học toán thông thường ở trường. Ví dụ: khóa học này (tác giả - M. Rolova): Năm người bạn gặp nhau ở tầng một của một tòa nhà lớn gần thang máy. Zhenya nói: “Nếu tính từ đây thì tôi sống cao hơn bạn, Vova, cao hơn Petya ba lần, cao hơn Andrey bốn lần và cao hơn Tanya sáu lần.” “Bạn nhận thấy rất rõ điều này,” Andrey trả lời, “và bạn, Petya, hãy đập quả tạ của bạn qua đầu tôi một cách nhẹ nhàng hơn.” Andrey sống ở tầng mấy? Hãy ước tính xem Zhenya đầu tiên có thể sống được bao nhiêu tầng. Con số này (tất nhiên là tự nhiên) phải đồng thời chia hết cho 2, 3, 4 và 6, và do đó chia hết cho bội số chung nhỏ nhất của chúng, bằng 12. Do đó, số tầng mà Zhenya sống có thể được viết là 12k + 1, trong đó k là một số tự nhiên. Từ đây dễ dàng nhận thấy Vova sống ở tầng (6k + 1), Petya sống ở tầng (4k + 1), Andrey sống ở tầng (3k + 1), và Tanya sống ở tầng (2k + 1). Bằng cách nào đó có rất nhiều khả năng xảy ra, nhưng những quả tạ được đề cập trong tình trạng này sẽ được giải cứu ở đây. Nó xuất phát từ điều kiện Petya sống ngay phía trên Andrey - tức là cao hơn 1 tầng. Và vì (4k + 1) – – (3k + 1) = k, nên k = 1. Vậy Zhenya sống ở tầng 13, Vova – ở tầng 7, Petya – ở tầng 5, Andrey – ở tầng 4 và Tanya – ở tầng 3. Trong bài toán tiếp theo, thang máy không chỉ được nhắc đến mà còn được sử dụng tích cực (tác giả - A. Spivak):

1 Jaroslav Hasek. “Những cuộc phiêu lưu của người lính tốt Schweik trong Thế chiến.” Phần một, chương III.

Thang máy của tòa nhà 100 tầng bị hư hỏng. Nó có thể tăng 79 tầng khi bạn nhấn một nút hoặc giảm 21 tầng khi bạn nhấn nút khác. Khi có ít hơn 79 tầng phía trên, thang máy sẽ không đi lên và tương tự - đi xuống. Thang máy khởi hành từ tầng một. Hỏi số lần nhấn nút ít nhất để thang máy quay trở lại tầng một là bao nhiêu? Hãy ước tính số lần nhấp chuột từ bên dưới. Giả sử chúng ta phải nhấn nút để lên 79 tầng m lần và nhấn nút để xuống 21 tầng n lần. Tổng cộng, thang máy đã tăng từ vị trí ban đầu lên 79m - 21n tầng. Nhưng cuối cùng thang máy lại quay trở lại tầng 1 cũ! Do đó 79m – 21n = 0, và 79m = 21n. Vì các số 79 và 21 tương đối nguyên tố nên m chia hết cho 21 và n chia hết cho 79. Do đó, tổng của chúng ít nhất là 79 + + 21 = 100. Điều này có nghĩa là nút này phải được nhấn ít nhất 100 lần. Do 79 + 21 = 100 nên không có tầng nào mà bạn có thể đến cả từ trên và từ dưới, và không có tầng nào mà bạn có thể đi từ cả trên và dưới. Điều này có nghĩa là bất kể chúng ta đang ở tầng nào, chúng ta có thể nói chính xác tầng nào là tầng trước và tầng nào sẽ là tầng tiếp theo. Do đó, đối với hành khách, bài toán được giải quyết tự động và thậm chí không cần phải theo dõi thang máy đã đi đến tầng nào sau lần nhấn tiếp theo. Tất cả những gì bạn cần làm là nhấn ngẫu nhiên các nút (chính xác một trong hai nút sẽ hoạt động mọi lúc) và đếm số lần chuyển động. Chúng tôi sẽ chứng minh rằng sau chuyển động thứ một trăm bạn có thể ra ngoài - mục tiêu sẽ đạt được. Chúng tôi lập luận bằng phương pháp “bằng mâu thuẫn”. Giả sử điều ngược lại - rằng, khi bắt đầu từ tầng 1 và hoàn thành 100 nước đi, cuối cùng chúng ta không ở tầng 1. Chúng ta đã chứng minh rằng chúng ta không thể kết thúc ở tầng 1 trước lần di chuyển thứ 100, vì vậy trong số các tầng mà thang máy đi qua sau mỗi lần di chuyển trong số hàng trăm lần di chuyển, không có tầng 1. Nhưng sau đó thang máy đã ghé thăm một trong những tầng còn lại ít nhất hai lần (chỉ có 99 tầng và còn nhiều chuyển động hơn!). Chúng ta hãy chọn thời điểm thang máy lần đầu tiên vào lại một tầng nhất định. Tầng trước đó mà thang máy đến được xác định duy nhất, có nghĩa là thang máy đã ghé thăm nó hai lần. Đó là một điều mâu thuẫn – xét cho cùng, chúng ta đã chọn thời điểm lần đầu tiên xảy ra cú đánh thứ hai. Vì vậy giả định

27

“Lượng tử”

VÌ

TRẺ HƠN

là sai và sau lần di chuyển thứ 100 thì thang máy sẽ ở đúng tầng 1, đây là điều cần chứng minh. Theo lập luận của chúng tôi, rõ ràng là trong quá trình di chuyển đến một mục tiêu nhất định (tức là vị trí ban đầu), thang máy sẽ đi qua tất cả các tầng của ngôi nhà. Nhân tiện, điều này cho phép chúng tôi kết luận rằng bất kể tầng ban đầu là gì, bạn có thể quay lại vị trí cũ sau đúng 100 lần di chuyển thang máy. Ngoài các tầng, vấn đề của các tòa nhà nhiều tầng còn liên quan đến lối vào và các căn hộ. Trong trường hợp này, theo mặc định, giả định rằng các tầng được đánh số từ dưới lên trên, bắt đầu từ $единицы.^{2}$ Các lối vào cũng được đánh số theo thứ tự. Tất cả các tầng (trừ khi có quy định cụ thể khác trong văn bản) theo mặc định được coi là được bố trí giống hệt nhau (với cùng số lượng căn hộ trên tầng) và các căn hộ được đánh số theo hàng, bắt đầu từ dãy đầu tiên: đầu tiên ở lối vào đầu tiên ở tầng một, sau đó ở tầng hai, tầng ba, v.v. cho đến tầng cuối cùng, sau đó việc đánh số tiếp tục từ tầng một của lối vào thứ hai trở lên… Tuy nhiên, tất cả chúng ta đều biết rõ điều này từ chính mình: xét cho cùng, nhiều người trong chúng ta sống trong các tòa nhà cao tầng! Chính sơ đồ được chấp nhận chung theo tiêu chuẩn này cho phép bạn không đề cập đến các chi tiết không cần thiết, cho phép bạn làm cho điều kiện trở nên gọn gàng hơn. Ví dụ: Học sinh lớp bảy Petya chuyển đến một ngôi nhà năm tầng mới, tầng 1 và tầng 2 ở lối vào thứ 2 và thứ 3 là một nhà kho. Không có quá bốn căn hộ trên mỗi lần hạ cánh. Số căn hộ của Petya là 31. Petya sống ở tầng mấy? Bài toán được phát minh vào những năm 70 của thế kỷ trước, khi những ngôi nhà như vậy được xây ở bên phải và $налево.^{3}$ Nhưng vấn đề không phải ở đó. Những từ “…không quá bốn căn hộ” gây nhầm lẫn. Chính xác là bao nhiêu? Không rõ. Bạn không thể làm gì được, bạn sẽ phải xem xét tất cả các lựa chọn. Chà, chúng ta hãy vẽ sơ đồ của một tòa nhà năm tầng và sắp xếp số căn hộ trong đó, đồng thời “chiếm giữ” căn hộ thứ 31 - xét cho cùng, những gì tiếp theo không khiến chúng ta quan tâm (chúng ta sẽ chỉ sơn màu đen lên những không gian bị chiếm giữ bởi nhà kho xấu số và bỏ qua việc đánh số). Vì vậy, nếu có một căn hộ ở mỗi tầng thì tất cả sẽ như thế này:

2 Ở nước ngoài ở một số nước - từ đầu, nhưng chúng tôi là như vậy

không có khả năng nào để xem xét $будем.^{3}$ Không có gì đáng ngạc nhiên: theo quy chuẩn xây dựng, những ngôi nhà không cao hơn năm tầng không cần thang máy - một khoản tiết kiệm rõ ràng!

TRẺ EM HỌC SINH

Như bạn có thể thấy, nếu có một căn hộ ở mỗi tầng thì căn hộ thứ 31 nằm trên tầng 5. Và nếu có 2, 3 hoặc 4 căn hộ thì tương ứng ta có:

Điều đáng ngạc nhiên nhưng lại là sự thật: trong mọi trường hợp, căn hộ 31 đều nằm trên tầng 5. Vì vậy, đáp số là rõ ràng, mặc dù có một số điều kiện mơ hồ. Cái gì, bạn không thích việc sử dụng vũ lực? Tất nhiên, phương pháp này không hấp dẫn lắm, nhưng cũng không tệ hơn những phương pháp khác. Tuy nhiên, nó không phải lúc nào cũng được yêu cầu. Ví dụ: bài toán này (tác giả - A. Kovaldzhi): Sasha mời Petya đến thăm, nói rằng anh ấy sống ở lối vào thứ 10 trong căn hộ 333, nhưng quên nói tầng. Đến gần ngôi nhà, Petya phát hiện ra ngôi nhà cao chín tầng. Anh ta nên lên tầng nào? Chìa khóa của lời giải là ước tính số lượng căn hộ có thể có trên mỗi tầng. Nếu không có quá ba căn hộ trên một tầng thì tổng cộng không có nhiều hơn $3 \cdot 9 \cdot 10 = 270$ trong mười lối vào, tức là sẽ không có căn hộ 330 ở lối vào thứ 10. Nếu có ít nhất năm căn hộ thì trong chín lối vào đầu tiên sẽ có ít nhất $5 \cdot 9 \cdot 9 = 405$ căn hộ, như vậy căn hộ thứ 333 lại không lọt vào lối vào thứ 10. Điều này có nghĩa là không có lối thoát - có 4 căn hộ trên mỗi tầng. Sau đó, ở chín lối vào đầu tiên có 4 ◊ 9 ◊ 9 = 324 căn hộ, và ở lối vào thứ 10, số căn hộ bắt đầu từ 325. Và từ đây người ta xác định đơn giản rằng Petya cần phải lên tầng ba. Nhưng đây là bài toán, cho lời giải mà điều chính là chọn cách tiếp cận phù hợp (tác giả - A. Khamitdulin): Kolya và Vitya sống cùng một nhà. Có bốn căn hộ trên mỗi tầng ở tất cả các lối vào tòa nhà của họ. Kolya sống trên tầng năm trong căn hộ số 83, và Vitya sống trên tầng ba trong căn hộ số 169. Ngôi nhà của họ có bao nhiêu tầng? Cho nhà có tầng E. Hãy để chúng tôi biểu thị số lối vào từ lối vào đầu tiên đến lối vào nơi Kolya sống (không tính lối vào nơi anh ấy sống) là K. Khi đó trong tất cả các lối vào trước đây của Kolya chỉ có căn hộ 4EK. Hãy thêm vào đây các căn hộ ở lối vào của Kolya và bao gồm cả căn hộ riêng của Kolya. Chỉ có $4 \cdot 4 = 16$ căn hộ ở bốn tầng bên dưới. Ở trên sàn nhà Kolya bao lâu? Không khó để nhận ra rằng số căn hộ lớn nhất trên mỗi tầng chia hết cho 4. Vì vậy, hầu hết