Mười lăm người trên ngực người chết

Mười lăm người trên ngực người chết

S. GRIBOK, K. KNOP

TẤT CẢ CÁC NHIỆM VỤ MÀ CHÚNG TÔI SẼ NÓI VỚI BẠN đều được kết nối bởi một âm mưu chung: một băng cướp biển muốn chia số tiền vàng. Nhưng trước khi bắt đầu câu chuyện, chúng ta phải xem xét kỹ hơn logic của cướp biển và luật lệ của nó. i Trong mọi trường hợp, không có tên cướp biển nào muốn xuống tàu. i Cướp biển rất yêu thích vàng. Mỗi người trong số họ hành động theo cách để nhận được càng nhiều tiền càng tốt nhờ việc chia. i Không có tên cướp biển nào thông đồng với một tên cướp biển khác để cùng đánh bại những tên cướp biển khác. “Mỗi người vì chính mình” là quy tắc mà mọi tên cướp biển đều tuân theo. i Mọi tên cướp biển đều thông thạo logic và mọi hành động của hắn đều hợp lý. i Tất cả các sở thích, luật lệ và quy tắc của cướp biển (bao gồm cả quy tắc này) đều được bọn cướp biển biết. Vì thế…

Bài toán 1

Anh ta là một tên cướp biển bình thường, khát máu và tàn nhẫn, bị tước đoạt ngay cả sự trung thực cơ bản mà những tên trộm không bị tước đoạt. Tay sai của hắn, các thủy thủ, là một đám đông côn đồ không kiềm chế được thuộc nhiều quốc tịch khác nhau, không công nhận bất kỳ kỷ luật và bất kỳ luật nào, ngoại trừ một và chỉ một - luật phân chia chiến lợi phẩm công bằng. R. Sabatini. Biên niên sử của thuyền trưởng Blood

Mười lăm tên cướp biển từ cầu tàu Arabella - thuyền trưởng, 13 thủy thủ và một cậu bé phục vụ - đã tìm thấy một kho báu: một chiếc rương chứa 100 đồng tiền vàng giống hệt nhau. Để chia tiền, bọn cướp biển đã sử dụng thủ tục sau: 1. Thuyền trưởng, với tư cách là người lớn tuổi nhất, đề xuất kế hoạch chia kho báu. 2. Tất cả các tên cướp biển đều bỏ phiếu xem có chấp nhận kế hoạch này hay không. Mỗi tên cướp biển bỏ phiếu “có” hoặc “không”.

Trên thực tế, các công thức nghiêm ngặt của bài toán được thảo luận ở đây về việc phân chia tiền xu (với việc chính thức hóa các quy tắc theo đó những tên cướp biển có thể chấp nhận lời giải trong quá trình bỏ phiếu) thuộc về lý thuyết trò chơi. Những sản phẩm này rất phức tạp và nằm ngoài phạm vi bài viết của chúng tôi. Theo mặc định, bài báo giả định rằng quy trình phân chia là đến thời điểm bỏ phiếu tiếp theo, mỗi tên cướp biển đều biết điều gì sẽ xảy ra sau khi đề xuất không được chấp nhận. Điều này cho phép chúng ta lý luận “từ cuối”.

Brig “Arabella”

3. Nếu tất cả bọn cướp biển bỏ phiếu “có” thì kế hoạch được chấp nhận và số tiền được chia theo kế hoạch. Nếu ít nhất một trong số những tên cướp biển bỏ phiếu chống thì tên cướp biển cấp cao sẽ bị ném xuống biển. Sau đó, tên cướp biển cấp cao tiếp theo đệ trình kế hoạch của mình, những tên cướp biển bỏ phiếu lại, v.v., cho đến khi cuối cùng một trong những kế hoạch của bọn cướp biển được chấp nhận. Một đặc điểm khác của cướp biển Arabella là lòng tốt tự nhiên của họ. Nếu lời giải bỏ phiếu thuận hoặc chống của một tên cướp biển không ảnh hưởng đến việc tên cướp biển đó có bị ném xuống biển hay anh ta nhận được bao nhiêu tiền hay không, thì mọi tên cướp biển vì lòng tốt sẽ luôn bỏ phiếu đồng ý. Số tiền sẽ được chia như thế nào nếu cướp biển sử dụng cách chia này? Kế hoạch của ai sẽ được thông qua? Lời giải. Không khó để nhận ra rằng cậu bé phục vụ có một cách đơn giản để đảm bảo rằng tất cả số tiền sẽ đến tay mình. Anh ta phải bỏ phiếu chống lại bất kỳ kế hoạch nào khác cho đến khi một trong những tên cướp biển đưa cho anh ta tất cả số tiền, hoặc tất cả những tên cướp biển ngoại trừ cậu bé lái tàu đều ở trên tàu. Hiểu được điều này và muốn cứu mạng mình, đích thân thuyền trưởng sẽ đưa toàn bộ số tiền cho cậu bé lái tàu. Young sẽ đồng ý với kế hoạch này vì lòng tốt của anh ấy: nếu tiền đã là của anh ấy thì tại sao lại bỏ phiếu chống lại và hủy hoại thuyền trưởng. Những tên cướp biển còn lại cũng sẽ bỏ phiếu “ủng hộ”, vì dù sao thì chúng cũng sẽ không nhận được tiền. Trong tất cả các bài toán sau, chúng ta sử dụng lời giải “đảo ngược”, tức là suy luận từ cuối. Vì vậy, chúng tôi mời độc giả rèn luyện khả năng suy luận theo cách này bằng những chủ đề đơn giản hơn.

10

KVANT 2016/№1

Bài tập

1. Thuyền trưởng chia chiến lợi phẩm cho bọn cướp biển. Đầu tiên anh ta lấy 1/16 số tiền và thêm một đồng cho mình. Anh ta đưa cho tên cướp biển thứ hai 1/16 số đồng xu còn lại và hai đồng xu nữa, v.v. Đến tên thứ mười lăm (cậu bé lái tàu), anh ta đưa 1/16 số đồng xu còn lại và 15 đồng xu khác. Hóa ra mọi người đều nhận được như nhau và tất cả số tiền đều được phân phát. Tổng cộng có bao nhiêu đồng xu?

Bạn có sợ chúng tôi sẽ dính một chiếc lông vũ vào bên cạnh bạn không? Vậy hãy trả lời tôi đi, chết tiệt, Làm thế nào để chia hai lít rượu rum thành ba? A. Chernin

Ba tên cướp biển đang ngồi ở bàn, trước mặt mỗi tên là một chiếc cốc, một số cốc chứa đầy rượu rum (có lẽ không bằng nhau). Người đầu tiên đổ đều toàn bộ rượu rum của mình vào cốc của những người khác. Sau đó, người thứ hai đổ rượu rum của mình đều cho hai người còn lại (kể cả người thứ nhất), và người thứ ba cũng làm như vậy. Cuối cùng, mỗi cốc đều chứa cùng một lượng rượu rum như lúc đầu. Có bao nhiêu rượu rum trong mỗi cốc nếu có tổng cộng hai pint?

Bây giờ chúng ta hãy nói về cách một nhóm cướp biển khác từ tàu “Bestia” đã chia sẻ kho báu.

Bài toán 2

• Nếu tên vũ phu này quyết định nuốt lời, ngươi cho rằng hắn sẽ dừng lại giữa chừng sao? Chỉ cần chúng ta đồng ý một phần mười, yên tâm, hắn sẽ lập tức tìm cớ không cho chúng ta cái gì cả. R. Sabatini. Biên niên sử của thuyền trưởng Blood

Những tên cướp biển trên Bestia đã sử dụng một phương pháp chia sẻ khác: 1. Tên cướp biển lớn tuổi nhất kể kế hoạch cho những người khác. 2. Tất cả các tên cướp biển đều bỏ phiếu xem có nên chấp nhận kế hoạch của trưởng lão hay không. Mỗi tên cướp biển bỏ phiếu “có” hoặc “không”. 3. Nếu ít nhất một nửa số cướp biển bỏ phiếu “đồng ý” thì phương án được chấp nhận và số tiền được chia theo phương án. Nếu đa số cướp biển bỏ phiếu chống lại thì tên cướp biển cấp cao sẽ bị ném xuống biển. Sau đó, tên cướp biển cấp cao tiếp theo vạch ra kế hoạch của mình, những tên cướp biển lại bỏ phiếu, v.v., cho đến khi cuối cùng một trong những kế hoạch của bọn cướp biển được chấp nhận. Những tên cướp biển của Bestia đều là những người tốt bụng giống như những đồng nghiệp của họ ở Arabella. Nếu lời giải phiếu thuận hoặc không ủng hộ của một tên cướp biển không ảnh hưởng đến việc tên cướp biển đó có bị ném xuống biển hay anh ta nhận được bao nhiêu tiền hay không, thì mọi tên cướp biển luôn bỏ phiếu ủng hộ. 15 tên cướp biển từ tàu Bestia sẽ chia 100 xu như thế nào? Đáp số: Tên cướp biển lớn tuổi sẽ lấy hết tiền cho mình. Lời giải. Vì vậy, “hãy bắt đầu từ cuối”, tức là hãy đặt mình vào vị trí của tên cướp biển cuối cùng, giả sử rằng đến lượt hắn. Hãy để 14 kế hoạch đã bị từ chối. Sau đó cậu bé phục vụ bị bỏ lại một mình và cậu lấy hết số tiền:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100

Bây giờ chúng ta đã biết cậu bé phục vụ sẽ làm gì, chúng ta có thể lùi lại một bước trong tâm trí. Hãy để nó là 13

kế hoạch đã bị từ chối. Tên cướp biển thứ 14 sẽ bỏ phiếu cho bất kỳ kế hoạch nào của hắn, và cuộc bỏ phiếu này đối với hắn đã là đủ rồi. Vì vậy, anh ta có thể không chia sẻ với cậu bé cabin và chỉ lấy tất cả số tiền cho mình:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100 0

Hãy lùi lại một bước nữa. Tên cướp biển thứ 13 sẽ có lý do như thế nào? Để sống sót, anh ta cần hai trong số ba phiếu bầu. Ngày 14 sẽ chống lại nó trong mọi trường hợp, điều đó có nghĩa là chỉ có thể mong đợi sự hỗ trợ từ cậu bé phục vụ. Nhưng cậu bé cabin thứ 14 sẽ không để lại bất cứ thứ gì nên dù bạn không cho cậu ấy thứ gì thì cậu bé cabin yêu chuộng hòa bình vẫn sẽ bỏ phiếu “cho”. Vì vậy, kế hoạch của tên cướp biển thứ 13

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100 0 0 vượt qua hai phiếu bầu (thứ 13, 15) thành một. Cướp biển tiếp theo (thứ 12) cũng chỉ cần hai phiếu, đồng thời phiếu của người thứ 14 và thứ 15 (người sẽ không nhận được gì từ ngày 13) đã có sẵn trong túi của anh ta. Và vì anh ta không còn cần nó nữa nên anh ta cũng lấy mọi thứ cho mình: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100 0 0 0 Tiếp tục lý luận theo cách tương tự, chúng ta thấy rằng tên cướp biển đầu tiên cũng có thể tin tưởng vào phiếu bầu của tất cả những tên cướp biển khác, ngoại trừ tên cướp biển thứ hai, cho bất kỳ kế hoạch nào của hắn. Và vì anh ta muốn kiếm được nhiều tiền hơn nên kế hoạch của anh ta sẽ là tham lam nhất có thể: 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Bài tập 3. Việc phân phối tiền xu trên “Bestia” sẽ thay đổi như thế nào nếu bọn cướp biển thay đổi quy tắc 3: kế hoạch sẽ được coi là chấp nhận nếu tất cả bọn cướp biển, có lẽ ngoại trừ một người, bỏ phiếu “có”?

Bài toán 3

• Chúng tôi đã mời bạn, Thuyền trưởng Pike, bởi vì giờ đây chúng ta có một, như người ta nói, sở thích chung - đây là những giá trị này. Chúng cần được phân chia càng nhanh càng tốt, không có sự chậm trễ không cần thiết, và sau đó mỗi chúng ta có thể đi bất cứ nơi nào ai cần. R. Sabatini. Biên niên sử của thuyền trưởng Blood

Những tên cướp biển từ tàu khu trục nhỏ “Valkyrie” khác với những tên cướp biển từ “Bestia” ở chỗ chúng thiếu lòng tốt: nếu lời giải phiếu bầu “ủng hộ” hoặc “chống lại” của một tên cướp biển không ảnh hưởng đến việc tên cướp biển này có bị ném xuống biển hay không và anh ta nhận được bao nhiêu tiền, thì người bà độc ác bên cha anh ta đánh thức tên cướp biển và anh ta bỏ phiếu “chống lại”. Và như một thuật toán để phân chia các Valkyrie, các quy tắc được mô tả trong bài tập 3 được sử dụng: 1. Tên cướp biển lớn tuổi nhất nói cho những người khác biết kế hoạch của mình. 2. Tất cả các tên cướp biển đều bỏ phiếu xem có chấp nhận kế hoạch này hay không. Mỗi tên cướp biển bỏ phiếu “có” hoặc “không”. 3. Nếu tất cả những tên cướp biển, ngoại trừ một người, bỏ phiếu đồng ý, thì kế hoạch được chấp nhận và số tiền được chia theo kế hoạch. Nếu ít nhất hai tên cướp biển bỏ phiếu chống lại thì tên cướp biển lớn tuổi nhất sẽ bị ném xuống biển. Sau đó, kế hoạch cao nhất tiếp theo được đề xuất, bọn cướp biển bỏ phiếu lại, v.v. cho đến khi một trong những kế hoạch của bọn cướp biển được chấp nhận.

11

MƯỜI LĂM

NHÂN LOẠI

TRÊN

HỘP

NGƯỜI CHẾT

Bài toán 4

Xưa có sự phân chia chiến lợi phẩm phong phú - Và bọn cướp biển giận dữ tru lên… Yung chợt tái mặt và chộp lấy một con dao, Bởi vì anh ta đã bị tước đoạt. V. Vysotsky. Có một bình minh hồng tươi vui…

Khinh hạm “Valkyrie”

15 tên cướp biển từ Valkyrie sẽ chia 100 xu như thế nào? Đáp số: 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Lời giải. Hãy bắt đầu nói chuyện lại với bọn cướp biển từ cuối. Tên cướp biển thứ 14 (thứ hai từ cuối cùng) không cần phải lo lắng về tính mạng và số phận của kế hoạch của mình: bất kể hắn đưa ra điều gì, “tất cả trừ một” vẫn là chính hắn. Vì vậy, anh ta có thể lấy tất cả số tiền cho mình: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100 0 Tên cướp biển thứ 13 (thứ ba từ cuối cùng) đã cần tranh thủ sự hỗ trợ của ít nhất một trong hai tên cuối cùng. Của ai? Rõ ràng là không phải vào ngày 14: nếu kế hoạch vào ngày 13 thất bại, anh ta có cơ hội đạt được mọi thứ. Điều này có nghĩa là cần có sự hỗ trợ của cậu bé cabin. Để có được nó, chỉ cần cung cấp cho anh ta nhiều hơn 0, tức là 1 xu là đủ. Vì vậy anh ấy đề nghị

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 99 0 1 và cùng với cậu bé phục vụ, bỏ phiếu “cho”. Tên cướp biển thứ 12, hiểu được tình huống này, phải phớt lờ tên thứ 13 tham lam và xoa dịu tất cả những điều sau đây, đưa ra cho họ nhiều hơn mức mà tên thứ 13 sẽ đưa cho họ. Vì thế điều anh ấy có thể tin tưởng nhất là

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 97 0 1 2

Mỗi tên cướp biển tiếp theo buộc phải làm điều tương tự, tăng tỷ lệ của tất cả các tên cướp biển lên ít nhất một xu. Như vậy, khi đưa phép tính lên cướp biển cao nhất (thứ 15 từ dưới lên), chúng ta sẽ được tỷ lệ phân bổ xu như sau:

9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Bài tập 4. a) 15 tên cướp biển sẽ chia 20 đồng xu như thế nào? b) N tên cướp biển từ Valkyrie sẽ chia K xu như thế nào?

Đáng chú ý là chỉ có một sự khác biệt nhỏ trong tính cách của những tên cướp biển (những tên cướp biển tốt bụng của Bestia bỏ phiếu “đồng ý” trong tình huống trung lập, và những tên cướp biển ngoan cố của Valkyrie bỏ phiếu chống lại) dẫn đến kết quả phân chia hoàn toàn khác nhau. Khả năng của phi hành đoàn Valkyrie trong việc đảm bảo các điều kiện chia sẻ thuận lợi hơn đáng kể minh họa cho một nguyên tắc chung quan trọng, bằng chứng của nguyên tắc này vượt xa phạm vi của bài viết này: hoạt động xã hội dẫn đến sự gia tăng phúc lợi của xã hội.

Một trong những tên cướp biển, từng là cậu bé phục vụ trên tàu Valkyrie vào thời kỳ huy hoàng đó, nhiều năm sau những sự kiện được mô tả, đã khoe rằng hắn đã chiếm được toàn bộ kho báu cho riêng mình. - Một ngàn con quỷ! Người thuyền trưởng keo kiệt này chỉ đưa cho tôi 13 xu. Sau đó tôi thấy đội trưởng đang bỏ phiếu chống và anh ta cũng bỏ phiếu chống! Và trong khi mọi người đang nhìn chằm chằm vào tôi thì thuyền trưởng đã ném được thuyền trưởng xuống biển. Và sau đó, như thể không có chuyện gì xảy ra, người đội trưởng chỉ đề nghị tôi 12! Chà, tôi lại bỏ phiếu chống lại điều đó - và cựu đội trưởng của chúng tôi ngay lập tức bay qua chỗ cựu thuyền trưởng. Và rồi điều gì đó bắt đầu xuất hiện ở phần tiếp theo… Một ngàn con quỷ! Anh ấy bắt đầu nói điều gì đó năm lần liên tiếp và mỗi lần, không đi vào trọng tâm câu nói, anh ấy nhìn tôi và bối rối… Cuối cùng, anh ấy đề nghị trao mọi thứ cho tôi. Với tôi, một cậu bé phục vụ không có râu! Và tất cả những tên cướp biển khác, liên tục nhìn sang tôi, bỏ phiếu “cho”. Tất nhiên, sau đó, tôi không thể ở lại tàu khu trục nhỏ của mình thêm một phút nào nữa, vì vậy tôi đã cởi dây buộc cho thuyền trưởng, chất chiếc rương vào đó và ngay lập tức ra khơi. Chứng minh rằng câu chuyện của cậu bé phục vụ này có chút sai sự thật. Lời giải. Câu chuyện này là một minh họa hoàn hảo cho thấy thế giới lý tưởng của toán học bài toán khác với thế giới thực như thế nào. Tất nhiên, trên những con tàu cướp biển thực sự, những điều như vậy không xảy ra, nhưng nhiệm vụ của chúng tôi ban đầu quy định tính logic hoàn hảo của cướp biển. Như chúng ta sẽ thấy, điều này không có chỗ cho việc tống tiền, và do đó bọn cướp biển Valkyrie (bắt đầu từ thuyền trưởng) không có lý do gì để sợ cậu bé phục vụ cố chấp. Thật vậy, nếu (à, nếu như!) đến lượt đưa ra kế hoạch đến lượt thứ hai của tên cướp biển cuối cùng, thì anh ta không mạo hiểm bất cứ điều gì, bởi vì ngoài anh ta chỉ còn lại một cậu bé phục vụ. Vì vậy, trong trường hợp này cậu bé phục vụ sẽ không nhận được gì. Vì vậy, anh ta không có gì để tống tiền tên cướp biển thứ ba tính từ cuối cùng vào lúc anh ta trình bày kế hoạch của mình. Junga sẽ đơn giản bị buộc phải bỏ phiếu cho bất kỳ kế hoạch nào của anh ta, chỉ cần anh ta đưa cho cậu bé phục vụ ít nhất một đồng xu. Hơn nữa, tên cướp biển thứ ba tính từ cuối cùng cũng hiểu rất rõ điều này nên sẽ đưa số tiền tương đương cho cậu bé lái tàu. Nhưng, trên thực tế, anh ta sẽ không có cơ hội như vậy, bởi vì tất cả những tên cướp biển trước đây đều hiểu theo cách giống hệt nhau về việc không thể tống tiền (và do đó không cần phải sợ nó). Do đó, mọi thứ sẽ diễn ra chính xác như được mô tả trong lời giải bài toán trước đó, chứ không phải như cậu bé phục vụ trước đây đã cố gắng kể.

Chuỗi câu chuyện về cướp biển của chúng ta sẽ không hoàn chỉnh nếu không kể câu chuyện về những tên cướp biển từ thuyền buồm Gorgon.

12

KVANT 2016/№1

Bài toán 5

“Họ sẽ không kiểm tra sách của bạn, đặc biệt là khi rất ít người của tôi biết đọc.” Nhưng họ biết rõ - bạn buộc tôi phải gay gắt - rằng những tính toán của bạn là sai. R. Sabatini. Cuộc phiêu lưu của thuyền trưởng Blood

Tất cả những tên cướp biển trên thuyền buồm “Gorgon” đều độc ác như những tên cướp biển trên “Valkyrie”, và để phân chia, họ sử dụng phương pháp tương tự như thủy thủ đoàn của con tàu lười biếng “Bestia”: 1. Tên cướp biển lớn tuổi nhất vạch ra kế hoạch phân chia của mình. 2. Tất cả các tên cướp biển đều bỏ phiếu xem có chấp nhận kế hoạch này hay không. Mỗi tên cướp biển bỏ phiếu “có” hoặc “không”.

phiếu bầu, và phiếu bầu của tên cướp biển thứ 14 được mua rẻ nhất. Để làm được điều này, chỉ cần đưa cho anh ta một đồng xu là đủ, vì anh ta sẽ không nhận được bất cứ thứ gì từ ngày 13: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 99 0 1 0 Tiếp tục lý luận theo cách tương tự, chúng ta thấy rằng tên cướp biển cao cấp chỉ cần chia sẻ đồng xu với bảy người khác - người thứ ba, thứ năm, …, thứ mười lăm. Trong trường hợp này, tất cả họ sẽ bỏ phiếu cho kế hoạch của anh ấy, và không ai bị bỏ rơi. Như vậy, lần phân bổ xu cuối cùng là 93 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 b) Đáp số: kế hoạch của tên cướp biển thứ 94, tính từ cuối (thứ 7 tính từ đầu). Lời giải. Khi chỉ có 15 đồng xu thì logic từ điểm a) có tới 32 tên cướp biển. Người lớn tuổi nhất trong số 32 tên cướp biển không nhận được bất cứ thứ gì nhưng chia sẻ 15 xu với những người khác và với số tiền này (cùng với phiếu bầu của mình), anh ta nhận được 16 phiếu bầu mà anh ta cần:

0 0 1 0 1 0 … 1 0 1 0

Thuyền buồm “Gorgon”

3. Nếu ít nhất một nửa số cướp biển bỏ phiếu ủng hộ thì kế hoạch được chấp nhận và số tiền được chia như đề xuất. Nếu đa số cướp biển bỏ phiếu chống lại thì tên cướp biển cấp cao sẽ bị ném xuống biển. Sau đó, tên cướp biển cao cấp nhất tiếp theo giới thiệu một kế hoạch mới, những tên cướp biển còn lại bỏ phiếu một lần nữa, v.v., cho đến khi cuối cùng một trong những kế hoạch của tên cướp biển được chấp nhận. a) 15 tên cướp biển Gorgon sẽ chia 100 đồng xu như thế nào? b) Kế hoạch của ai sẽ được chấp nhận nếu 100 tên cướp biển từ tàu Gorgon cần chia 15 đồng xu? a) Đáp số: 93 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Lời giải. Như thường lệ, chúng ta hãy bắt đầu xem xét bài toán từ cuối. Ngay cả khi 13 kế hoạch đã bị từ chối, thì tên cướp biển thứ hai tính từ cuối cùng sẽ có lý do gì? Phiếu bầu của anh ta chiếm ít nhất một nửa số phiếu còn lại, vì vậy anh ta có thể không chia sẻ gì với cậu bé phục vụ. Vì vậy, anh ta chỉ cần lấy tất cả số tiền cho mình: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100 0 Hãy lùi lại một bước. Tên cướp biển thứ 13 sẽ có lý do như thế nào? Để sống sót, anh ta cần hai trong số ba phiếu bầu. Ngày 14 sẽ chống lại nó trong mọi trường hợp, điều đó có nghĩa là chỉ có thể mong đợi sự hỗ trợ từ cậu bé phục vụ. Để nhận được, cậu bé phục vụ chỉ cần cho nhiều hơn những gì mình sẽ nhận được kể từ ngày 14. Điều này có nghĩa là cậu bé phục vụ có thể để lại một đồng xu và lấy phần còn lại cho mình:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 99 0 1

Tên cướp biển tiếp theo (thứ 12) cũng cần hai

Hãy cố gắng đối phó với 33 tên cướp biển. Chỉ có 15 đồng xu, và để sống sót, tên cướp biển cao cấp phải “mua” 16 phiếu bầu của người khác. Thật vô nghĩa khi anh ta đưa thứ gì đó cho 15 người đó, cùng với 32 tên cướp biển, sẽ nhận được tiền, nghĩa là anh ta phải chia 15 đồng xu cho mình và 17 người khác. Nhưng vì anh ta sẽ không thể đưa bất cứ thứ gì cho ít nhất hai trong số 17 người, nên những tên cướp biển hung hãn này chắc chắn sẽ bỏ phiếu chống lại kế hoạch của anh ta. Như vậy, tên cướp biển thứ 33 sẽ chết trên tàu. Vị trí của tên cướp biển thứ 34 rõ ràng là tốt hơn, bởi vì hắn không chỉ có tiếng nói của chính mình mà còn có tiếng nói của tên cướp biển thứ 33, người này chắc chắn muốn kế hoạch của tên cướp biển thứ 34 được thông qua, nếu không bản thân hắn sẽ phải chịu thiệt. Anh ta sẽ có thể mua thêm 15 phiếu bầu khác bằng cách tặng một đồng xu cho 15 người bất kỳ trong số 17 người đó sẽ không có tiền khi bỏ phiếu theo kế hoạch vào ngày 32. Chúng tôi sẽ phản ánh khoảnh khắc này bằng cách sử dụng một biểu tượng đặc biệt - dấu hoa thị. Dấu hoa thị có nghĩa là cướp biển có thể lấy được tiền hoặc không. Trong trường hợp này, 15 người trong số những người được đánh dấu hoa thị sẽ nhận được một đồng xu, nhưng hai người còn lại thì không. Vì vậy, với 34 tên cướp biển, kế hoạch của trưởng lão được chấp nhận và số tiền được chia như sau:

0 0 * * 0 * 0 * … 0 *

Người thứ 35, giống như người thứ 33, sẽ phải lặn lội: anh ta không có một phiếu bầu “miễn phí” nào của người khác, và anh ta chỉ có thể mua 15 trong số 17 cái anh ta cần. Ngày 36 thì dễ dàng hơn một chút, nhưng không nhiều: người thứ 35 sẽ bỏ phiếu miễn phí cho đề xuất của anh ấy, nhưng anh ấy cần 18 phiếu, nhưng anh ấy sẽ chỉ mua được 15 phiếu, tổng cộng anh ấy sẽ nhận được 17 phiếu, nên số phận của anh ấy cũng thật đáng buồn. Vì lý do tương tự, chiếc thứ 37 bị giết. Nhưng người thứ 38 vẫn sống sót: bản thân anh ta, cũng như người thứ 37, 36 và 35, bỏ phiếu “cho” và anh ta mua thêm 15 phiếu bầu bằng tiền xu, chẳng hạn như từ những người chắc chắn không nhận được gì từ ngày 34. (Bạn cũng có thể mua phiếu bầu từ những tên cướp biển được đánh dấu hoa thị, giả sử rằng mỗi người trong số họ thích một đồng xu được đảm bảo vào lúc này thay vì một “ngôi sao” - không phải

13

MƯỜI LĂM

NHÂN LOẠI

đồng xu được đảm bảo theo một trong các kế hoạch sau.) Tổng cộng, anh ấy có 19 phiếu bầu. Một số tên cướp biển tiếp theo cũng không sống sót và chỉ có tên thứ 46 mới có cơ hội sống sót: tất cả những kẻ đánh bom liều chết sẽ bỏ phiếu cho kế hoạch của hắn, bắt đầu từ tên thứ 39 (tổng cộng 8) và 15 tên nữa được mua bằng tiền từ 38 tên cuối cùng, cuối cùng hắn sẽ nhận được 23 phiếu bầu mà mình cần. Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp rằng cướp biển có số (đếm từ cuối) $30 + 2^{k}$ sống sót. Nhưng không thể thiết lập một cách rõ ràng việc phân phối tiền, bởi vì mỗi tên cướp biển có quyền lựa chọn khá tự do về việc chính xác hắn sẽ đưa tiền cho ai.

TRÊN

HỘP

NGƯỜI CHẾT

Lời giải. Như thường lệ, chúng ta hãy bắt đầu xem xét bài toán từ cuối. Hãy để 14 kế hoạch đã bị từ chối. Sau đó tất cả số tiền xu gần như đã nằm trong túi của cậu bé phục vụ trong cabin. Chỉ cần anh ta đưa ra bất kỳ kế hoạch nào mà những tên cướp biển còn lại sẽ không bỏ phiếu là đủ (ví dụ: đề nghị giữ toàn bộ số tiền cho mình). Sau khi kế hoạch này bị từ chối, cậu bé phục vụ sẽ nhận được tất cả số tiền:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100

Các phương pháp chia sẻ mà chúng tôi đã kiểm tra trong các nhiệm vụ trước có một nhược điểm đáng kể: hầu hết bọn cướp biển có thể rơi xuống biển và điều này ảnh hưởng xấu đến khả năng sẵn sàng chiến đấu của thủy thủ đoàn. May mắn thay, trong số các băng hải tặc cũng có ít kẻ khát máu hơn.

Bây giờ chúng ta hãy quay lại một bước. Hãy để 13 kế hoạch bị từ chối. Tên cướp biển thứ 14 nên lý luận thế nào? Anh ta không thể cho phép kế hoạch của mình bị từ chối, vì trong trường hợp này cậu bé phục vụ sẽ lấy hết số tiền. Điều này có nghĩa là anh ta cần một kế hoạch mà 14 trong số 15 tên cướp biển sẽ bỏ phiếu. Young sẽ bỏ phiếu chống lại bất kỳ kế hoạch nào của anh ấy, do đó, ngày 14 cần mọi người khác ủng hộ kế hoạch của anh ấy. Để làm được điều này, anh ta phải phân phát một đồng xu cho mỗi tên cướp biển, ngoại trừ cậu bé phục vụ tàu. Điều này sẽ cần 13 xu. Tên cướp biển thứ 14 sẽ lấy 87 đồng còn lại cho mình:

Bài toán 6

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 87 0

Thôi, nếu không về Portland, Hãy chia vàng như anh em. B. Okudzhava. Cướp biển trữ tình

Những tên cướp biển trên Danae cũng tàn bạo như những tên cướp biển trên Gorgon và Valkyrie, nhưng họ đã nghĩ ra một cách mới để chia số tiền xu cho phép những tên cướp biển ở lại trên tàu và đòi một phần chiến lợi phẩm ngay cả khi kế hoạch của chúng không được chấp nhận. 1. Tên cướp biển lớn tuổi nhất vạch ra kế hoạch phân chia của mình. 2. Tất cả những tên cướp biển đều bỏ phiếu ủng hộ hoặc phản đối. 3. Nếu tất cả những tên cướp biển, ngoại trừ một người, bỏ phiếu ủng hộ thì kế hoạch được chấp nhận và số tiền được chia như đề xuất. Nếu ít nhất hai trong số những tên cướp biển bỏ phiếu “chống”, thì kế hoạch sẽ không được thông qua và việc bỏ phiếu vẫn tiếp tục. Tên cướp biển lớn tuổi nhất tiếp theo đề xuất kế hoạch của mình, những tên cướp biển lại bỏ phiếu, v.v. cho đến khi một trong những kế hoạch của bọn cướp biển được chấp nhận. Nếu không có kế hoạch nào thành công thì cậu bé bồi bàn sẽ nhận được toàn bộ số tiền. 15 tên cướp biển Danae sẽ chia 100 xu như thế nào? Đáp số: 11 11 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Hãy lùi lại một bước nữa. Hãy để 12 kế hoạch bị từ chối. Tên cướp biển thứ 13 sẽ có lý do như thế nào? Nếu kế hoạch của anh ta bị từ chối thì tên cướp biển thứ 14 sẽ đưa cho anh ta một đồng xu. Nhưng một đồng xu đối với anh ta không đủ nên anh ta không nên để điều này xảy ra. Để làm được điều này, anh ta phải đưa nhiều xu hơn cho ít nhất 14 tên cướp biển (bao gồm cả anh ta) so với số tiền mà người thứ 14 sẽ đưa cho họ. Như vậy, những tên cướp biển có số từ 1 đến 12 cần được phát 2 đồng xu, và một đồng xu cho cậu bé lái tàu. Tên cướp biển thứ 13 sẽ giữ 75 đồng còn lại cho mình:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 75 0 1

Tên cướp biển thứ 12 cũng nghĩ tương tự. Anh ta không đưa gì cho ngày 13, nhưng đưa cho những người còn lại nhiều hơn một xu so với số tiền họ có thể nhận được từ ngày 13. Do đó, tên cướp biển có số từ 1 đến 11 sẽ nhận được 3 xu, tên cướp biển thứ 14 sẽ nhận được một và tên cướp biển thứ 15 sẽ nhận được hai xu. Bạn có thể giữ 64 xu còn lại cho mình:

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 64 0 1 2

Có thể tiếp tục với tinh thần tương tự và viết ra kế hoạch của những tên cướp biển còn lại. Nhưng mô hình chung đã rõ ràng rồi. Tên cướp biển có số X đưa cho mỗi tên cướp biển có số thấp hơn 15 - X xu, mỗi tên cướp biển có số Y cao hơn đưa cho Y - X - 1 xu và lấy số xu còn lại cho mình. Như vậy, lợi nhuận của cướp biển số X là

100 - (X - 1) (15 - X) - (15 - X) (14 - X) 2 xu. Mở ngoặc, chúng ta nhận được biểu thức sau về lợi nhuận của tên cướp biển số X:

$X^{2} 2 - 3 X 2 + 10$.

Lợi nhuận phải lớn hơn số xu mà cướp biển số X + 1 sẽ phân bổ cho cướp biển số X ở bước tiếp theo, nếu không kế hoạch của chính anh ta sẽ không mang lại lợi ích gì cho cướp biển số X. Như vậy, bất đẳng thức sau là đúng:

Tàu hộ tống “Danae”

$X^{2} 2 - 3 X 2 + 10 > 14 - X$.

14

KVANT 2016/№1

Đơn giản hóa, chúng tôi nhận được

$X^{2} - X > 8$. X tự nhiên nhỏ nhất mà bất đẳng thức đúng là 4. Do đó, phương án của tên cướp biển thứ 4 sẽ được chấp nhận:

11 11 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Vì bọn cướp biển Danae rất độc ác nên mỗi người trong số họ sẽ bỏ phiếu chống lại bất kỳ kế hoạch nào mà anh ta không nhận được nhiều hơn số tiền anh ta có thể nhận được từ lần thứ 4. Dù tên cướp biển thứ 3 đề xuất kế hoạch nào, hắn chỉ có thể “lấy” tiền từ một trong những người khác và phải phân phát số tiền đó cho tất cả những người khác (nếu không hắn sẽ có ít nhất hai người bị xúc phạm và kế hoạch của hắn sẽ thất bại). Nhưng anh ta chỉ có thể lấy 12 xu, nếu chia cho 14 thì sẽ dẫn đến việc ai đó sẽ không nhận được xu. Vì vậy, không phương án nào của người thứ 3 sẽ được chấp nhận, kể cả khi anh ta đề xuất phương án mà người thứ 4 đề xuất sau đó (vì ai cũng độc ác, và nếu số tiền ủng hộ và “chống” bằng nhau thì họ bỏ phiếu “chống”)! Tương tự như vậy, không có kế hoạch nào của hai tên cướp biển đầu tiên sẽ được chấp nhận.

Lưu ý rằng niềm tin của bọn cướp biển vào cơ chế áp dụng dân chủ lời giải cũng không tuyệt đối như bạn nghĩ…

Bài toán 7

Easterling phồng má và làm một động tác rộng bằng bàn chân to lớn của mình. – Bạn đề xuất cách phân chia nào? - Chúng ta cần bàn chuyện này. Nhưng dù thế nào đi nữa, phần của chúng ta không thể ít hơn 1/5. R. Sabatini. Biên niên sử của thuyền trưởng Blood

Trên tàu Brigantine Echidna, chỉ thuyền trưởng và thuyền trưởng mới có quyền đề xuất phương án chia tiền. Tất cả những tên cướp biển khác chỉ có thể bỏ phiếu. Do đó, thuật toán chia trông như sau: 1. Người đội trưởng nói cho mọi người biết kế hoạch chia tiền của mình. 2. Sau đó, thuyền trưởng kể cho mọi người nghe kế hoạch chia tiền của mình. 3. Tất cả cướp biển (kể cả thuyền trưởng và thuyền trưởng) bỏ phiếu cho phương án thứ nhất hoặc phương án thứ hai. 4. Xu được chia theo phương án có nhiều người bình chọn nhất. Được biết, nếu cả hai phương án đều hứa với tên cướp biển số tiền bằng nhau thì hắn sẽ bỏ phiếu cho phương án đầu tiên. 15 tên cướp biển (thuyền trưởng, thuyền trưởng và 13 thủy thủ) từ Echidna sẽ chia 63 đồng xu như thế nào? Đáp số: 49 8 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 Lời giải. Như mọi khi, hãy bắt đầu hiểu vấn đề từ đầu. Trước hết, hãy thiết lập chiến lược tối ưu của thuyền trưởng. Hãy xem xét một nhóm gồm 14 tên cướp biển, không bao gồm thuyền trưởng. Chúng ta hãy chia họ thành hai nhóm A và B, mỗi nhóm có 7 tên cướp biển, sao cho thuyền trưởng đưa cho mỗi tên cướp biển ở nhóm A không ít xu hơn bất kỳ tên cướp biển nào ở nhóm B. Dễ dàng thấy rằng chiến lược tối ưu của thuyền trưởng là

Brigantine “Echidna”

lấy hết số tiền từ 7 tên cướp biển “giàu” của nhóm A, chia một đồng từ số tiền này cho mỗi tên trong số 7 tên cướp biển “nghèo” của nhóm B và lấy tất cả những đồng tiền còn lại cho mình. Trong trường hợp này, tất cả cướp biển nhóm B và chính thuyền trưởng sẽ bỏ phiếu tán thành phương án của thuyền trưởng. Cướp biển Nhóm A sẽ bỏ phiếu chống lại nó, nhưng họ sẽ thuộc thiểu số. Tất nhiên, chiến lược này chỉ hiệu quả nếu cướp biển nhóm A có ít nhất 8 xu. Nếu không, thuyền trưởng sẽ không thể phân phát một đồng xu cho mỗi tên trong số 7 tên cướp biển nhóm B, đồng thời giữ lại ít nhất một đồng xu cho mình, đồng ý với kế hoạch của thuyền trưởng sẽ có lợi hơn. Bây giờ hãy phân tích chiến lược của thuyền trưởng. Anh ta có hai lựa chọn khả thi. Đầu tiên là đẩy thuyền trưởng vào tình thế buộc phải đồng ý với phương án của thuyền trưởng. Để làm được điều này, như chúng tôi đã tìm ra, chỉ cần 7 tên cướp biển được thuyền trưởng đưa ra số lượng xu lớn nhất có tổng cộng không quá 7 xu là đủ. Thuyền trưởng không có lợi khi chia sẻ với những tên cướp biển khác, vì vậy anh ta chỉ cần lấy 7 xu cho mình và đưa số xu còn lại cho thuyền trưởng. Thuyền trưởng sẽ đưa ra một số kế hoạch mà những người khác sẽ không biểu quyết (ví dụ, giữ toàn bộ số tiền cho mình), sau đó kế hoạch của thuyền trưởng sẽ được đa số phiếu chấp nhận: 56 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Chiến lược khả thi thứ hai cho thuyền trưởng là cho phép thuyền trưởng đưa ra một kế hoạch nhận được đa số phiếu bầu, nhưng đồng thời bản thân thuyền trưởng sẽ nằm trong số bảy tên cướp biển đó. người mà thuyền trưởng sẽ đưa thêm một đồng xu (còn lại bằng chữ, sẽ được xếp vào nhóm B). Để làm được điều này, thuyền trưởng phải hứa với 7 tên cướp biển (những người sẽ được xếp vào nhóm A) nhiều tiền hơn mình. 6 tên cướp biển còn lại sẽ giữ đại đội trưởng ở nhóm B không phải đưa ra bất cứ điều gì. Do đó, kế hoạch của thuyền trưởng như sau: 0 7 0 0 0 0 0 0 8 8 8 8 8 8 8 8 Thuyền trưởng sẽ đưa cho thuyền trưởng và 6 tên cướp biển còn lại mỗi người một đồng xu và lấy số tiền còn lại cho mình: 49 8 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

15

MƯỜI LĂM

NHÂN LOẠI

Vì vậy, chiến lược đầu tiên sẽ mang lại cho đội trưởng 7 xu, trong khi chiến lược thứ hai sẽ cho phép anh ta nhận được 8 xu. Vì vậy, thuyền trưởng sẽ thích chiến lược thứ hai hơn.

Bài toán 8

Tại cảng Cape Town, với một lỗ thủng ở bên hông, “Jeanette” đã điều chỉnh giàn khoan. P. Gandelman. Tại cảng Cape Town

Trên tàu Jeanette, cũng như trên tàu Echidna, các thủy thủ không có quyền đưa ra kế hoạch. Chỉ có những tên cướp biển cao cấp mới có thể làm được điều này. Thuật toán phân chia như sau: 1. Tên cướp biển đầu tiên kể về kế hoạch phân chia của mình. 2. Tên cướp biển thứ hai kể về kế hoạch của mình - “phương án thay thế”. 3. So sánh phương án và phương án thay thế. Nếu một kế hoạch đưa cho ít nhất hai tên cướp biển số xu ít nhất bằng với phương án thay thế thì phương án thay thế sẽ bị từ chối. Nếu phương án thay thế mang lại nhiều tiền hơn cho tất cả mọi người trừ một trong những tên cướp biển, thì kế hoạch đó sẽ bị bác bỏ và phương án thay thế sẽ trở thành kế hoạch. Sau đó, tên cướp biển tiếp theo lên tiếng về một giải pháp thay thế mới, v.v. 4. Sau khi tất cả những tên cướp biển cấp cao đã lên tiếng, số tiền được chia theo kế hoạch. 5 tên cướp biển cấp cao và 10 thủy thủ từ Jeannette chia nhau 105 đồng xu. Làm thế nào tên cướp biển đầu tiên có thể nhận được 14 xu?

Vỏ cây “Jeanette”

Lời giải. Các quy tắc trong bài toán này có vẻ khá khó hiểu, nhưng bạn có thể nhận thấy những điều sau: nếu kế hoạch nào đó hứa hẹn cho một trong số những tên cướp biển 14 xu và mỗi tên cướp biển khác không quá 13 xu, thì chỉ có một phương án thay thế có thể thay thế kế hoạch này (tức là, tốt hơn kế hoạch dành cho tất cả trừ một trong số những tên cướp biển): lấy tất cả số tiền từ chủ sở hữu của 14 đồng xu và chia từng đồng xu cho những người khác. Bây giờ hãy xem xét kế hoạch 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14. Phương án thay thế tốt nhất duy nhất cho nó là 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0. Dễ dàng nhận thấy rằng đây là cùng một kế hoạch, được dịch chuyển theo chu kỳ bởi một vị trí. Để tận dụng tài sản này, tên cướp biển đầu tiên đưa ra kế hoạch này:

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 14 13 12 11

TRÊN

HỘP

NGƯỜI CHẾT

Vì vậy, anh ta giữ 10 xu cho mình và đưa cho những tên cướp biển cấp cao khác lần lượt là 9, 8, 7 và 6 xu. Một chuỗi các phương án thay thế, mỗi phương án tốt hơn phương án trước và thay thế nó, được xây dựng theo một cách riêng: 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 14 13 12

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 14 13

13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 14

14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Có thể dễ dàng nhận thấy cổ phần của mỗi tên trong số 5 tên cướp biển cao cấp đang ngày càng tăng lên. Vì vậy, mỗi người trong số họ đều quan tâm đến việc lần lượt đưa ra 4 phương án này. Kế hoạch cuối cùng sẽ là kế hoạch cuối cùng trong số họ. Như vậy, tên cướp biển đầu tiên sẽ trở nên giàu có hơn với 14 xu.

Bài toán dành cho độc lập lời giải Số tiền nhận được ngày càng lớn hơn. Và cuối cùng, sau năm sáu lần tính toán sai, bị gạch bỏ, tổng số tiền được cộng lại và ký tên ở phía dưới: “Phần thưởng”. R. L. Stevenson. Đảo kho báu

Trung bình, những bài toán này phức tạp hơn những gì đã thảo luận ở trên. 1. Sự phân chia trên sông Danae sẽ thay đổi như thế nào nếu cướp biển thay đổi quy tắc 3: kế hoạch sẽ được coi là chấp nhận nếu hơn một nửa số cướp biển bỏ phiếu ủng hộ? lời giải bài toán yêu cầu làm rõ cách một tên cướp biển quyết định nên đưa ra kế hoạch nào nếu có nhiều kế hoạch khác nhau, mỗi kế hoạch sẽ mang lại cho tên cướp biển đó cùng một số xu. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ giả định rằng việc lựa chọn phương án xảy ra ngẫu nhiên (ví dụ: một tên cướp biển ném một đồng xu để chọn giữa hai phương án có giá trị như nhau). 2. lời giải sẽ thay đổi như thế nào so với bài toán trước đó nếu được lựa chọn giữa các phương án ngang nhau, tên cướp biển “Danaë” luôn thích kế hoạch để lại nhiều tiền hơn cho những tên cướp biển lớn tuổi hơn? 3. Chính xác thì số tiền sẽ được chia như thế nào trong bài toán 5 b) (“Gorgon” với một đội lớn và nguồn cung vàng nhỏ), nếu việc lựa chọn giữa các phương án bằng nhau được thực hiện giống như trong bài toán 2 trước đó? 4. Người hoa tiêu trên con tàu “Echidna” sẽ nhận được bao nhiêu tiền khi chia K xu cho 2 tên cướp biển M + 1? 5**. Trên du thuyền “Cô bé Lọ Lem”, thủy thủ đoàn chỉ có ba người - thuyền trưởng, thuyền trưởng và cậu bé phục vụ. Kho báu họ tìm thấy chỉ có 15 đồng xu. Vì vậy, họ đồng ý rằng trước tiên họ sẽ nghe cả ba phương án, sau đó mới lựa chọn. Vì vậy, mọi người thay phiên nhau, bắt đầu từ thuyền trưởng và kết thúc với cậu bé phục vụ, đưa ra những lựa chọn chia sẻ của riêng mình. Sau đó, cả ba bỏ phiếu cùng lúc - mỗi người chọn phương án mà mình nhận được nhiều tiền hơn. Nếu có một số kế hoạch như vậy, anh ấy sẽ bỏ phiếu cho kế hoạch đầu tiên. Kế hoạch nhận được nhiều hơn một phiếu bầu sẽ được chấp nhận và kho báu sẽ được chia tương ứng. Tuy nhiên, nếu không có kế hoạch như vậy thì không ai lấy được gì cả (toàn bộ kho báu sẽ bị ném xuống biển). Những đồng xu sẽ được chia như thế nào? Việc phân phối sẽ như thế nào nếu lời giải chỉ có thể được nhất trí thông qua?

18

KVANT 2016/№1

giống nhau. Để lại hạt nhân cùng với một hạt beta (electron), neutron đảm nhận những phần năng lượng, động lượng và xung lượng góc cần thiết để tuân theo các định luật bảo toàn… Tuy nhiên, bạn tôi, Debye, đã viết cho tôi rằng tốt hơn hết là bạn không nên nghĩ đến vấn đề này, cũng như bạn không nên nghĩ đến các loại thuế mới chẳng hạn. Nhưng dù khó có thể xảy ra, vì không có bằng chứng thực nghiệm nào, tôi vẫn sẽ mạo hiểm đưa ra giả thuyết này. Nếu bạn không mạo hiểm, bạn sẽ không thắng." Một năm sau, vào năm 1931, Pauli xuất bản một bài báo về hạt bí ẩn này, hạt này sẽ cứu được các định luật bảo toàn, nhưng khối lượng của nó đã được đề xuất là nhỏ hơn nhiều so với khối lượng của electron. Và vào năm 1932, Chadwick đã chứng minh bằng thực nghiệm rằng hạt nhân nguyên tử chứa các hạt trung tính khổng lồ - neutron, và trong quá trình phân rã beta, chúng không bay ra khỏi hạt nhân. Khám phá này đã mang lại cho Chadwick giải thưởng Nobel (1935). Bây giờ Hạt Pauli giả định - vị cứu tinh của các định luật bảo toàn - đã phải đặt một cái tên khác. Điều này được thực hiện vào năm 1932 không phải bởi chính ông mà bởi nhà vật lý trẻ người Ý Enrico Fermi, một người đoạt giải Nobel trong tương lai, ngay tại một bài giảng về vật lý đại cương cho sinh viên năm thứ nhất tại Đại học Rome (nhân tiện, có sinh viên Bruno Pontecorvo theo học). Vì vậy, các định luật bảo toàn đã được lưu lại trên giấy. Chỉ có một mục tiêu nhỏ - bắt hạt này, chứng minh bằng thực nghiệm rằng nó tồn tại và đo năng lượng và động lượng của nó trong quá trình phân rã beta. Với sự phát triển của vật lý hạt nhân, người ta thấy rõ rằng có các quá trình sản xuất neutrino, nhưng người ta chưa biết gì về các quá trình bắt giữ. Cuối cùng, vào những năm 1960, một số quá trình như vậy đã được dự đoán. Các hạt nhân riêng lẻ có các mức năng lượng riêng biệt thích hợp để bắt giữ các neutrino có năng lượng đã biết về mặt lý thuyết. Đúng vậy, theo tính toán, xác suất bị bắt vẫn rất nhỏ. Do đó, các thí nghiệm đầu tiên bắt đầu được thực hiện ở nơi có nhiều neutrino - gần các lò phản ứng hạt nhân đang hoạt động. Và vào năm 1975 tại Mỹ, F. Raines và K. Cowan đã đạt được thành công. Họ đã sử dụng phản ứng bắt giữ phản neutrino electron bằng clo để tạo ra đồng vị của argon và positron (phản electron). Vì các positron ngay lập tức biến mất, hủy diệt cùng với các electron đầu tiên đi ngang qua, nên số nguyên tử argon tạo ra được xác định để đếm số phản neutrino bị hấp thụ. Đây cũng không phải là một nhiệm vụ dễ dàng vì rất ít argon được tạo ra. Sau ba tháng vận hành hệ thống lắp đặt, chỉ có khoảng 5000 nguyên tử argon được hình thành trong đó (khoảng 40 sự kiện bắt giữ xảy ra mỗi ngày). Tất nhiên, không thể cân điều này trên bất kỳ cân nào; lượng argon được xác định bởi tính phóng xạ của nó. Thí nghiệm này đã đi vào lịch sử vật lý với cái tên “Poltergeist”, dịch theo nghĩa đen là “tinh thần bận rộn”, và theo bản dịch tự do hiện đại là “tay trống”. Tuy nhiên, chiếc trống này (hoặc chiếc trống này) đã mang lại cho Reines giải thưởng Nobel vào năm 1995, khi nhà khoa học này tròn 85 tuổi (tác giả khác của phát hiện này đã không còn sống để nhận giải thưởng). Tại sao lại có một kỳ nghỉ dài như vậy? Thực tế là khi họ bắt đầu cải tiến và lặp lại công việc của Reines, người ta có thể thu được neutrino mặt trời theo cách tương tự. Và hóa ra các thí nghiệm trên mặt đất luôn tạo ra số neutrino ít hơn nhiều lần so với dự đoán của thiên văn học về mặt trời. Những nghi ngờ nảy sinh về những sai sót trong vật lý mặt trời. Nhưng trong tất cả các khía cạnh khác, hậu quả của nó đã được chứng minh bằng kinh nghiệm. Một lần nữa, neutrino đặt ra cho các nhà vật lý một câu đố - một “cơn đau đầu” khi họ bắt đầu nói

Bruno Pontecorvo vào thời điểm đó. Và chính lúc đó Pontecorvo đã đưa ra dự đoán xuất sắc của mình về “hypostase” của neutrino và sự dao động của các mùi khác nhau của nó. Theo giả thuyết này, bất kỳ neutrino nào cũng tồn tại ở ba dạng - các nhà vật lý cho đến nay gọi những dạng này đơn giản là các số 1, 2, 3. Các dạng này có khối lượng khác nhau và tốc độ truyền lan khác nhau. Theo tính đối ngẫu sóng-hạt, chúng được đặc trưng bởi các sóng de Broglie có độ dài khác nhau. Chúng ta hãy lưu ý rằng nếu chúng không có khối lượng thì tốc độ sẽ bằng tốc độ ánh sáng và không thể nói đến bất kỳ sóng de Broglie nào. Khi truyền theo một hướng, sóng de Broglie của ba giai đoạn trễ giao thoa và tạo thành cực đại đều. Những cực đại này là hương vị của neutrino. Do đó, nếu khi được hạt nhân của điện tử hấp thụ, neutrino được tạo ra có mùi điện tử, thì do nó bao gồm ba giai đoạn trễ, sau một thời gian chuyển động, nó sẽ trở thành neutrino muon và sau một thời gian - neutrino tau. Và điều này sẽ lặp lại mọi lúc. Loại người sói này là một neutrino bí ẩn. Và các thí nghiệm ban đầu chỉ nhằm mục đích thu giữ các neutrino electron (“bắt”). Neutrino Muon và neutrino tau đơn giản là không được phát hiện trong các thí nghiệm. Đây là cách xảy ra hiện tượng “mất tích” 2/3 số neutrino mặt trời. Nhưng trên lý thuyết thì tất cả đều trông rất đẹp. Việc kiểm tra thực nghiệm giả thuyết của Pontecorvo đòi hỏi độ chính xác cao hơn nhiều của các thí nghiệm neutrino. Điều cần thiết là các sự kiện bắt giữ neutrino phải xảy ra thường xuyên hơn, ít nhất là mỗi giây. Rõ ràng, cách duy nhất cho việc này là tăng đáng kể tại một thời điểm (trong một phòng thí nghiệm) số lượng cơ sở lắp đặt nơi có thể thu giữ neutrino. Tính toán ước tính cho thấy chất này ít nhất phải vài chục tấn. Và ngoài ra, tất cả những điều này sẽ xảy ra khi sự xuất hiện của bất kỳ hạt nào khác ngoại trừ neutrino sẽ bị loại trừ. Và bức xạ vũ trụ - cả từ mặt trời và đến từ độ sâu của không gian - làm phát sinh ra toàn bộ “cơn mưa” hạt trong bầu khí quyển trái đất. Điều này có nghĩa là các cơ sở bắt neutrino phải được đặt sâu dưới lòng đất (hoặc dưới nước), điều này làm tăng đáng kể chi phí cho những thí nghiệm như vậy. Vào những năm 80 của thế kỷ trước, nguyên tố duy nhất phù hợp xét về mức năng lượng hạt nhân để thu giữ neutrino mặt trời là gali. Khi hạt nhân gali bắt neutrino, hạt nhân đồng vị germani và electron được hình thành. Germanium có thể được tách ra khỏi gali về mặt hóa học, và bằng sự phát xạ của nó, người ta có thể đánh giá số lượng của nó và do đó, số lượng neutrino bị bắt giữ. Gallium thường được chứa ở dạng rất không độc hại

20

KVANT 2016/№1

Cài đặt Super-Kamiokande. Máy dò neutrino nhỏ hơn.) Và sau đó electron bắt đầu mất năng lượng - nó phát ra một sóng điện từ, mặt trước của sóng này có dạng $конуса.^{2}$ Khi mặt trước này đi qua tế bào quang điện, một xung quang điện sẽ xuất hiện. Nó rất yếu nên phải được khuếch đại bằng một thiết bị đặc biệt - máy nhân quang. Máy nhân quang phát hiện năng lượng bức xạ, và do đó phát hiện năng lượng của electron phát ra trong quá trình bắt giữ neutrino. Phản ứng của máy nhân quang phụ thuộc vào hướng chuyển động của các electron này. Tại cơ sở SNO, 9.500 ống nhân quang được lắp đặt trên bề mặt một quả cầu chứa nước nặng. Kết quả của việc lắp đặt này cho phép đếm cả số lần bắt do chỉ các neutrino electron gây ra và số lần bắt do cả ba loại neutrino gây ra. Hóa ra, với độ chính xác cao, chúng lớn hơn gấp 3 lần. Kết luận rõ ràng từ thực tế này là: mặc dù thực tế là chỉ có neutrino electron được sinh ra ở độ sâu của Mặt trời, nhưng trên đường tới Canada, chúng vẫn dao động, biến thành các hương vị khác. Giả thuyết của Pontecorvo về dao động neutrino và do đó, sự hiện diện của khối lượng trong chúng đã được xác nhận một cách đáng tin cậy, điều này đã mang về cho người lãnh đạo và người truyền cảm hứng cho dự án, Arthur MacDonald, một giải thưởng Nobel. Trong khi những sự kiện này đang diễn ra ở Canada, cách xa nơi này, ở Nhật Bản, cách Tokyo 290 km trong một mỏ kẽm bị bỏ hoang vào năm 1986, cơ sở lắp đặt Super-Kamiokande hiện đại hóa (được đặt tên theo khu vực gần Núi Kamio) bắt đầu hoạt động. Và mặc dù về nhiều mặt, hai hệ thống lắp đặt này giống nhau và mục đích công việc của chúng giống nhau, nhưng phòng thí nghiệm Nhật Bản ghi nhận các neutrino hoàn toàn khác nhau - không phải neutrino muon mặt trời mà là neutrino muon khí quyển-vũ trụ, sinh ra khá gần, ở tầng trên bầu khí quyển của Trái đất ở độ cao 20-30 km. Trước đó người ta đã phát hiện ra rằng các neutrino muon có năng lượng như vậy có khả năng gây ra một vụ pogrom nhỏ trong đám mây điện tử của một phân tử nước thông thường, ở

2 Bức xạ của các electron chuyển động trong một chất nhanh hơn tốc độ ánh sáng trong chất này được gọi là bức xạ Cherenkov, được đặt theo tên của nhà vật lý P.A. Cherenkov, người đã phát hiện ra nó vào năm 1934. Cherenkov và các nhà vật lý lý thuyết I.E. Tamm và I.M. Frank, người giải thích hiện tượng này, đã đoạt giải Nobel năm 1958. Đây là giải Nobel vật lý đầu tiên được các nhà khoa học ở nước ta nhận được.

kết quả là phân tử giải phóng một mu-meson (muon) nhanh, do đó trở thành một ion. Muon rất giống với electron; Theo cách tương tự, di chuyển trong nước nhanh hơn tốc độ ánh sáng trong đó, nó tạo ra bức xạ Cherenkov, được phát hiện bởi máy nhân quang. Super-Kamiokande thậm chí còn lớn hơn bản cài đặt SNO. Nó là một hình trụ có đường kính khoảng 40 mét và cùng chiều cao. Xi lanh chứa đầy nước thông thường, nhưng được làm sạch hoàn toàn khỏi mọi tạp chất. Có 11.146 bộ nhân quang nằm ở bề mặt bên trong của hình trụ. Giống như trong SNO, có sự hỗ trợ rất lớn về điện, vô tuyến điện tử và máy tính để vận hành các bộ nhân quang và xử lý dữ liệu nhận được. Kết quả chính của công việc của phòng thí nghiệm này là phát hiện ra thực tế là số lượng neutrino bị hấp thụ phụ thuộc vào hướng chuyển động của chúng. Những hạt di chuyển từ trên xuống dưới hóa ra nhiều gấp đôi những hạt di chuyển từ bên dưới. Sau này, trước khi rơi vào bẫy, phải đi qua toàn bộ địa cầu. Chúng không bị mắc kẹt trên đường đi vì hầu như không có nước ở đó và các neutrino có năng lượng như vậy không có lựa chọn nào khác để biến mất. Kết luận: trên đường đi qua địa cầu, các neutrino đã dao động sao cho chỉ còn lại một nửa số neutrino muon ban đầu. Nửa còn lại quay lại, trở thành neutrino tau, ngay cả khi chúng tạo ra pogrom cho phân tử nước, chúng cũng không tạo ra meson mu mà là meson tau. Nhưng các bộ nhân quang không phản ứng với bức xạ Cherenkov của meson tau, vốn có khối lượng khác. Về mặt thời gian, đây là bằng chứng đầu tiên về các dao động, mặc dù không phải là các dao động của mặt trời mà là các neutrino khí quyển-vũ trụ. Trong những thí nghiệm này thậm chí người ta còn có thể ước tính khối lượng của neutrino muon và tauneutrino. Lưu ý rằng chính tại đây vào ngày 23 tháng 11 năm 1987, vào cùng thời điểm đó, tất cả các ống nhân quang dường như hoạt động điên cuồng - chúng ghi nhận một số lượng lớn neutrino đến từ đám mây vụ nổ siêu tân tinh. Vào năm 2015, 15 năm sau khi công bố kết quả thành công của công trình, người đứng đầu nhóm phòng thí nghiệm này, Takaaki Kajita, đã trở thành người đoạt giải Nobel cùng với Arthur MacDonald. Tuy nhiên, ông và nhóm của mình đã phải chịu một cú sốc nặng - vào ngày 12/11/2001, lớp vỏ thủy tinh của một ống nhân quang không chịu được áp lực của nước và bị nứt. Vì phải có chân không sâu trong không gian bên trong của thiết bị này nên sự phá hủy có tính chất nổ và sóng xung kích sinh ra đã dẫn đến sự phá hủy 7.000 ống nhân quang và các thiết bị khác. Trong 5 năm, mọi thứ đã được xây dựng lại và ở phiên bản cải tiến, hệ thống lắp đặt Super-Kamiokande II tiếp tục hoạt động thành công cho đến ngày nay. Câu hỏi đặt ra - tại sao? Kết quả thu được là neutrino dao động. Chúng ta có thể nói rằng chỉ có anh ta tồn tại ở ba dạng, mỗi dạng đó cũng là một neutrino. Neutrino có rất nhiều… Trên thực tế, còn rất nhiều câu hỏi nữa mà chưa có đáp số câu trả lời. Đã xuất hiện các giả thuyết về các mùi neutrino khác, ngoài ba mùi đã được biết đến. Một trong số chúng, “neutrino vô trùng”, có thể mang lại giải pháp gần hơn cho vật chất tối, cái còn lại, “neutrino Majorana”, sẽ giúp làm sáng tỏ sự bất đối xứng của vật chất và phản vật chất trong Vũ trụ. Vì vậy, có lẽ, sẽ hơn một lần trên các trang của «Kvant» bài báo về Giải Nobel dành cho neutrino, loại hạt gần như tự do này, sẽ xuất hiện.