Giải đấu toán học XXII mang tên A.P. Savin

23

“Lượng tử”

VÌ

TRẺ HƠN

TRẺ EM HỌC SINH

Giải đấu toán học XXII mang tên A.P. Savin

Giải đấu XXII A.P. Savin được tổ chức từ ngày 26 tháng 6 đến ngày 2 tháng 7 năm 2016 tại trung tâm giải trí Berendeyev Polyany (vùng Kostroma) dành cho học sinh hoàn thành lớp 6–9. Chúng tôi đã viết thêm về các giải đấu này, chẳng hạn như trong «Kvant» Số 1 năm 2015. Nếu có thắc mắc về việc tham gia, vui lòng liên hệ với chủ tịch ban tổ chức, A.D. Blinkov, qua email flashov@mccme.ru.

Yêu thích bài toán

1 (7). Một chồng mười chín tờ giấy được gấp làm đôi và ghim lại với nhau bằng hai chiếc kẹp giấy nhỏ để tạo thành một cuốn sổ tay. Trên “bìa” Sasha vẽ các đường dọc và ngang (từ mép này sang mép kia mà không chạm vào kẹp giấy). Khi anh ấy cắt cuốn sổ theo những đường này, nó đã vỡ thành 2016 mảnh riêng biệt. Sasha có thể vẽ được bao nhiêu dòng nhỏ nhất? A. Khachaturian

2 (7–8). Bắt đầu với một số tự nhiên nhất định, Petya, với mỗi bước, tăng hoặc giảm số đó theo một số chữ số của nó (có thể bằng số 0), phép cộng và phép trừ xen kẽ nghiêm ngặt. Hoạt động đầu tiên là phép cộng. Từ số tự nhiên nhỏ nhất mà Petya có thể có được năm 2016 như thế này là bao nhiêu? A. Shapovalov

3 (8). Một đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD và tiếp xúc với các cạnh AB, AD lần lượt tại các điểm K và M. Đường thẳng CK cắt đường tròn lần thứ hai tại điểm N. Tìm góc BMN. M. Volchkevich

4 (8). Trong tam giác nhọn ABC có đường phân giác $BB '$. Điểm N là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABB $'$ và đường phân giác ngoài của góc A, điểm M là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BB ' C$ và đường phân giác ngoài của góc C. Đường thẳng NM cắt đoạn $BB '$ tại điểm K. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ANK và CMK cắt nhau tại $BB '$. L.Popov

Các lớp mà nó được cung cấp được chỉ định trong ngoặc đơn sau số bài toán.

5 (8). Trong một hình lục giác lồi đều, sáu đường chéo bằng nhau. Có phải tất cả các góc của nó nhất thiết phải bằng nhau? M. Evdokimov

6 (7–8). Có thể cắt một khối lập phương thành các hình khối có kích thước khác nhau 2016 sao cho số hình khối của mỗi kích thước bằng nhau không? A. Shapovalov, I. Raskina

7 (7). Hỏi số ô vuông nhỏ nhất của một bàn cờ phải bôi nhựa đường để năm quân xe không tấn công lẫn nhau không thể xếp được vào các ô sạch là bao nhiêu? E. Bakaev

8 (7–8). Các ô vuông có kích thước $10 \times 10$ chứa đầy các con số. Chúng ta gọi một góc gồm bốn ô có thứ tự nếu ở góc này, mỗi số trong số hai số lân cận đều lớn hơn một trong các số lân cận của nó và nhỏ hơn số kia. Số lượng góc được sắp xếp lớn nhất (có thể chồng lên nhau) có thể xuất hiện trên bảng là bao nhiêu? E. Bakaev

9 (6–7). Có một đống 55 quả hạch trên bàn. Petya và Vasya thay phiên nhau đi bộ, Petya bắt đầu. Trong một lượt, bạn cần chia một trong các đống hiện có thành hai đống nhỏ hơn và thêm hai đống đai ốc nữa bằng một trong những đống đã nhận được (số lượng đai ốc bổ sung là không giới hạn). Những người không thể di chuyển sẽ bị phạt. Liệu có cậu bé nào có thể chơi theo cách chắc chắn không bị phạt không? A. Shapovalov

10 (8). Một tam giác đều cạnh N được chia bởi các đường thẳng song song với các cạnh thành các tam giác đều cạnh 1. Tại đỉnh của tam giác ban đầu có một mảnh. Petya và Vasya đang chơi một trò chơi (Petya bắt đầu). Với mỗi lần di chuyển, bạn được phép di chuyển một quân cờ đến một nút liền kề (nằm ở khoảng cách 1) của lưới tam giác, trong đó quân cờ đó trước đó không được định vị. Người nào không thể di chuyển sẽ thua. Cậu bé nào có thể đảm bảo chiến thắng? R. Krutovsky

Tài liệu do A. Blinkov chuẩn bị