Bài toán 1—5

24

KVANT 2016/№4

Cuộc thi mang tên A.P. Savin

“Toán 7–9”

Chúng tôi đang bắt đầu một cuộc thi khác về lời giải toán bài toán. Chúng được thiết kế chủ yếu dành cho học sinh lớp 7-9, nhưng chúng tôi hoan nghênh sự tham gia của học sinh ở mọi lứa tuổi. Gửi lời giải bài toán mà bạn có thể xử lý chậm nhất là vào ngày 1 tháng 12 năm 2016 qua email tới: savin.contest@gmail.com hoặc bằng thư thông thường tới: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant» (được đánh dấu là “A.P. Savin Competition”). Ngoài họ và tên của bạn, hãy cho biết thành phố, trường học và lớp nơi bạn học cũng như địa chỉ bưu điện gửi về của bạn. Chúng tôi hoan nghênh việc tham gia cuộc thi không chỉ của từng học sinh mà còn của các đội (trong trường hợp này, một tác phẩm sẽ được gửi kèm theo danh sách những người tham gia). Bạn có thể tham gia bắt đầu từ bất kỳ chuyến tham quan nào. Những người chiến thắng sẽ nhận được bằng tốt nghiệp từ tạp chí «Kvant» và các giải thưởng. Chúng tôi chúc bạn thành công!

1. Có thể sắp xếp nhiều quả táo vào 10 đĩa sao cho trên hai đĩa bất kỳ có 5, 8 hoặc 11 quả táo cùng nhau và cả ba phương án đều xảy ra? Nếu vậy thì có thể có bao nhiêu quả táo? Liệt kê tất cả các khả năng. O. Zaitseva-Ivrii

2. Cho hình thang ABCD có điểm M là trung điểm của cạnh CD. Chứng minh rằng nếu điểm M nằm trên phân giác của góc A thì nó cũng nằm trên phân giác của góc B. E. Bakaev

cùng một nơi. Có phải mọi đỉnh của khối lập phương đều phải kết thúc ở nơi nó bắt đầu không? b) Câu hỏi tương tự về tứ diện đều (cả bốn mặt đều là tam giác đều). Văn hóa dân gian

5. a) Mỗi ​​tên cướp biển trong số 12 tên cướp biển có một lượng cát vàng nhất định. Họ có thể gặp nhau theo hai hoặc ba người; Trong cuộc họp, tất cả số cát có sẵn cho những người tham gia cuộc họp đều được chia đều. Chứng minh rằng bọn cướp biển có thể đảm bảo rằng sau vài lần gặp nhau, mọi người đều có số cát bằng nhau.

6. Bốn nhà logic A, B, C và D ngồi quanh bàn tròn theo thứ tự đó (nếu bạn đi theo chiều kim đồng hồ). Chín lá bài giống nhau (sáu, bảy, …, vua, át) được trộn lẫn và bốn trong số đó được phân phát cho các nhà logic học (mỗi lá bài cho mỗi người). Tất cả các nhà logic học đều biết điều này, nhưng mọi người chỉ nhìn thấy bản đồ của riêng mình. Các nhà logic học cũng được hỏi câu hỏi tương tự: “Thẻ của bạn có cũ hơn người hàng xóm ở bên phải không?” Sau đó, A, B, C và D lần lượt nói (theo thứ tự đó) “Tôi không biết”. D có thẻ gì? (Các nhà logic học nghe thấy đáp số lẫn nhau.) M. Evdokimov

7. a) Khối lập phương được lăn dọc theo một mặt phẳng, xoay quanh các cạnh (không bị trượt). Sau vài lần lăn, khối lập phương đã ở đúng vị trí

Cuộc thi được tổ chức chung với tạp chí «Kvant».

b) Phát biểu tương tự có đúng với 13 người không, nếu được phép gặp nhau ở bất kỳ thành phần nào, chỉ cần không phải tất cả cùng nhau và chia cát đều nhau? Văn hóa dân gian