Lời giải bài toán M2446—M2449; F2453—F2456

17

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

Hình 1

F2467. Khi nhiệt lượng một lượng Q = 600 J được thêm vào hỗn hợp helium và nitơ ở một thể tích không đổi, hỗn hợp đó nóng lên $\Delta T_{1} = 15$ K. Và nếu cùng một lượng nhiệt được thêm vào cùng một lượng hỗn hợp đó ở áp suất không đổi thì nhiệt độ của hỗn hợp sẽ tăng $\Delta T_{2} = = 10$ K. Tìm tỉ số giữa số phân tử nitơ và số lượng phân tử helium trong hỗn hợp.

F2468. Trong mạch điện ở hình 2, tất cả các phần tử đều có thể

Hình 2

được coi là lý tưởng. Tại một thời điểm nào đó sau khi đóng công tắc, nhiệt lượng được giải phóng bởi các điện trở có điện trở R và 2R lần lượt bằng $P_{1} = 9$ W và $P_{2} = 2$ W. Lúc này năng lượng của tụ tăng bao nhiêu?

Lời giải bài toán M2446–M2449, F2453–F2456

M2446. a) Mười đứa trẻ được phát 100 miếng mì ống trên đĩa của chúng. Các chàng trai không muốn ăn và bắt đầu chơi. Trong một hành động, một trong những đứa trẻ chuyển một chiếc mì ống từ đĩa của mình cho tất cả những đứa trẻ khác. Sau bao nhiêu bước để mỗi người có thể có số lượng mì ống khác nhau trên đĩa của mình? b) Câu hỏi tương tự nếu có 100 đứa trẻ và trong một hành động, một đứa trẻ chuyển một chiếc mì ống từ đĩa của mình cho một số đứa còn lại (bất cứ đứa trẻ nào muốn).

“QUANTA”

a) Đáp số. Sau 45 hành động. Cấp. Hãy xem xét sự khác biệt về số lượng mì ống ở hai đứa trẻ; giả sử số của Vasya bị trừ khỏi số của Petya. Hành động của Petya sẽ làm giảm sự khác biệt này đi 10, Vasya sẽ tăng nó lên 10 và hành động của những đứa trẻ khác không làm thay đổi điều đó. Do đó, sự khác biệt này sẽ khác 0 khi và chỉ khi Petya và Vasya thực hiện số hành động khác nhau. Vì vậy, để mỗi trẻ có số lượng mì khác nhau, cần thực hiện ít nhất 0 + + 1 + 2 + … + 9 = 45 hành động. Ví dụ. Người đầu tiên sẽ thực hiện một hành động, sau đó người thứ hai sẽ thực hiện 2 hành động, người thứ ba sẽ thực hiện 3 hành động, v.v. cho đến lần thứ chín. Mỗi người đưa ra không quá 9 ◊ 9 = 81 mì ống; 100 mì ống ban đầu của anh ấy là đủ cho việc này. b) Đáp số. Sau 50 hành động. Ví dụ. Hãy cho thấy số lượng mì ống có thể thay đổi như thế nào sau 50 lần thực hiện. Hãy đánh số cho trẻ từ 1 đến 100. Để trẻ thứ k, trong đó 1 £ k £ 50, chuyển từng sợi mì cho trẻ có số từ 51 đến 50 + k. Sau khi thực hiện xong các bé sẽ có lần lượt là 99, 98, …, 50, 150, 149, …, 101 mì ống. Cấp. Giả sử rằng không có nhiều hơn 49 hành động được thực hiện. Hãy xem xét tất cả những đứa trẻ không cho mì ống; có ít nhất 51 đứa trẻ như vậy. Đối với mỗi đứa trẻ, số lượng mì ống không giảm so với số đầu tiên, nhưng nó có thể tăng không quá 49. Điều này có nghĩa là đối với mỗi đứa trẻ này, số mì ống cuối cùng nằm trong khoảng từ 100 đến 149 (50 khả năng), vì vậy sẽ có hai trong số chúng có cùng số mì ống. S. Dorichenko, N. Chernyatiev

M2447. Lời giải trong số này bài toán xem trong bài viết của A. Zaslavsky “Về đường tròn nội tiếp của một tam giác vuông.”

M2448. Có 100 điểm được đánh dấu trên đường thẳng và một điểm nữa được đánh dấu bên ngoài đường thẳng. Xét tất cả các tam giác có đỉnh tại các điểm này. Số lượng lớn nhất trong số chúng có thể là cân là bao nhiêu?

18

KVANT 2017/№4

Đáp số. 150. Gọi l là đường thẳng cho trước, O là điểm đánh dấu bên ngoài nó, H là đáy đường vuông góc hạ từ O xuống l. Cấp. Tam giác cân có thể có hai loại: tam giác có đáy nằm trên đường thẳng l và tam giác không có đáy. Trong trường hợp đầu tiên, tam giác phải đối xứng với OH nên không có quá 50 tam giác như vậy (đối với một đỉnh X của đáy, đỉnh thứ hai được xác định duy nhất là đối xứng với điểm X đối với OH). Không thể có nhiều hơn một tam giác loại thứ hai có đáy OA cho trước, vì đỉnh được xác định bởi giao điểm của l và đường trung trực của OA. Vì vậy, không có quá 100 hình tam giác loại thứ hai. Ví dụ. Chúng ta hãy vẽ các tia từ chùm tia OH một góc $18\infty$ (xem hình). Chúng sẽ cắt l tại các điểm $A_{1}$ và $B_{1}$, hãy đánh dấu chúng. Chúng ta đặt đoạn $A_{1} A_{2} = A_{1} O$ trên l theo hướng khác từ $A_{1} B_{1}$ thì các góc của tam giác $OB_{1} A_{2}$ sẽ bằng $72\infty, 72\infty, 36\infty$. Sau đó, chúng ta đặt phân đoạn $A_{2} A_{3} = A_{2} O$, …, phân đoạn $A_{49} A_{50} = A_{49} O$ sang một bên. Tương tự, chúng ta đánh dấu các điểm $B_{2}$, … $, B_{50}$. 50 hình tam giác $OA_{i} B_{i}$, 49 hình tam giác $OA_{i} A_{i} +_{1}$ và $OB_{i} B_{i} +_{1}$, cũng như các hình tam giác $OA_{1} B_{2}$ và $OB_{1} A_{2}$ sẽ là hình cân. Một ý tưởng khác dẫn đến lời giải là thực hiện phép đảo ngược với tâm O. Phép đảo ngược sẽ biến đường thẳng thành một đường tròn và chúng ta sẽ có một 101-giác nội tiếp, một trong các đỉnh của nó là điểm O. Nếu X¢ và Y¢ là ảnh đảo ngược của các điểm X và Y, thì các tam giác OXY và OY ¢ X ¢ là tương tự nhau. Vì vậy, câu hỏi bài toán được đặt lại như sau: số lượng tam giác cân lớn nhất trong số các tam giác có dạng OXY là bao nhiêu, trong đó X và Y là các đỉnh của 101-giác? Một trong những ví dụ tốt nhất

sẽ là một 101-gon thông thường. E. Bakaev, I. Bogdanov

M2449*. Có một số hữu hạn những con ếch ngồi trên một đường thẳng tại các điểm nguyên khác nhau. Trong một lượt, có đúng một con ếch nhảy sang phải 1 cái và các con ếch đó vẫn phải ở các điểm khác nhau. Chúng tôi đã tính xem có bao nhiêu cách ếch có thể thực hiện n bước di chuyển (đối với một số vị trí ban đầu của ếch). Chứng minh rằng nếu chúng ta cho phép những con ếch đó nhảy sang trái nhưng cấm chúng nhảy sang bên phải thì sẽ có cùng số cách thực hiện n bước đi.

Chúng ta hãy gọi một mẫu là một chuỗi gồm n lệnh “Trái” hoặc “Phải”, trong đó lệnh thứ k cho biết một trong các con ếch sẽ nhảy theo hướng nào ở nước đi thứ k. Hãy chứng minh một phát biểu tổng quát hơn: số cách thực hiện n bước đi từ một vị trí cho trước (bằng cách thực hiện các lệnh) để các con ếch không nhảy lên nhau không phụ thuộc vào kiểu mẫu. (Câu lệnh bài toán khi đó là trường hợp đặc biệt cho một mẫu chỉ bao gồm các lệnh “Phải” và một mẫu chỉ bao gồm các lệnh “Trái”.) Bổ đề 1. Việc thay đổi lệnh cuối cùng của mẫu không làm thay đổi số cách. Bằng chứng. Hãy xem xét một vị trí tùy ý trước nước đi cuối cùng. Mỗi vị trí được chia thành từng nhóm ếch ngồi thành một hàng. Số cách để có được vị trí cuối cùng từ nó, bất kể lệnh cuối cùng của mẫu, bằng số lượng nhóm, vì trong mỗi nhóm chỉ có một con ếch có thể nhảy sang trái và một con ếch có thể nhảy sang phải. Bổ đề 2. Việc thay thế hai lệnh mẫu liền kề không làm thay đổi số cách. Bằng chứng. Giả sử hai mẫu chỉ khác nhau ở các nước đi k và k + 1, sao cho ở mẫu đầu tiên, đội thứ k là “Trái” và đội thứ (k + 1) là “Phải”, và trong mẫu thứ hai thì ngược lại: đội thứ k là “Phải” và đội (k + 1) là “Trái”. Xét một vị trí A tùy ý trước bước đi thứ k. Chúng tôi sẽ chỉ ra cách so sánh từng phương pháp thực hiện hai thao tác sau: