Olympic quốc tế XXV “Marathon trí tuệ”

46

KVANT 2017/№4

anh ta có thái độ thù địch với ít nhất một thành viên của nó. Số lượng băng đảng lớn nhất có thể có ở Chicago là bao nhiêu? Văn hóa dân gian (do L. Shabanov đề xuất)

Vòng miệng lớp 11

1. Vào ngày đầu tiên $2^{n}$ học sinh chơi bóng bàn đến chết: hai người đầu tiên chơi, sau đó người chiến thắng chơi với người thứ ba, người chiến thắng trong cặp này chơi với người thứ tư, v.v., cho đến khi học sinh cuối cùng chơi (không có trận hòa trong bóng bàn). Vào ngày thứ hai, các em học sinh đó cũng tranh cúp: đầu tiên, các em ngẫu nhiên chia thành từng cặp và chơi theo cặp, những người thua cuộc bị loại, những người chiến thắng lại chia ngẫu nhiên thành từng cặp và chơi theo cặp, v.v. Hóa ra cặp chơi ngày thứ nhất và ngày thứ hai giống nhau (có lẽ người chiến thắng khác nhau). Tìm giá trị lớn nhất có thể có của n. B.Frenkin

2. Quả cầu chạm vào 99 cạnh của một kim tự tháp 50 cạnh lồi nào đó. Liệu nó có nhất thiết phải chạm vào cạnh thứ 100 của kim tự tháp này không? M. Evdokimov

3. Xem bài toán M2459 “Bài toán Kvant”.

4. Các ô vuông của bàn cờ $100 \times 100$ có màu đen và trắng theo kiểu bàn cờ. Có thể đổi màu chính xác 2018 ô vuông khác nhau của bảng này theo màu đối diện sao cho mỗi hàng và cột có số ô vuông màu đen bằng nhau không? Yu. Chekanov

5. Cho tam giác XBC. Các điểm phân biệt $A_{H}, A_{I}, A_{M}$ sao cho X là trực tâm của tam giác $A_{H} BC$, tâm đường tròn nội tiếp tam giác $A_{I} BC$ và giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác $A_{M} BC$. Chứng minh rằng nếu $A_{H} A_{M}$ và BC song song thì $A_{I}$ là trung điểm của $A_{H} A_{M}$. E. Bakaev

6. Với những số tự nhiên n nào thì mệnh đề sau đây đúng: với một đa thức P tùy ý bậc n có hệ số nguyên, tồn tại các số tự nhiên a và b phân biệt sao cho P ( a ) + P ( b ) chia hết cho a + b? G. Zhukov

Ấn phẩm được biên soạn bởi I. Bogdanov, S. Dorichenko, L. Mednikov

Olympic quốc tế XXV “Marathon trí tuệ”

Câu lạc bộ Trí tuệ Quốc tế (IIC) “Gluon” trong khuôn khổ chương trình quốc tế “Trẻ em. Trí tuệ. Sáng tạo” với sự tham gia của M.V. Đại học quốc gia Lomonosov Moscow, Viện nghiên cứu sư phạm năng khiếu của Học viện giáo dục Nga (Novosibirsk) và với sự hỗ trợ của Hiệp hội quốc tế “Sư phạm năng khiếu và tài năng”, Quỹ 1C và các tạp chí «Kvant», “Tiềm năng” và “Vật lý cho học sinh” đã tổ chức Kỳ thi xếp hạng kiểm tra quốc tế XXV “Cuộc thi chạy marathon trí tuệ”. Thế vận hội diễn ra từ ngày 2 tháng 10 đến ngày 9 tháng 10 năm 2016 tại thành phố Protvino, khu vực Moscow, tại Viện Vật lý Năng lượng Cao. Những người tham gia từ các thành phố khác nhau của Nga đã đến Olympic. Học sinh năng khiếu từ lớp 9–11 thể hiện sự quan tâm đến các môn khoa học cơ bản sẽ thi đấu theo nhóm và vòng cá nhân về toán học, vật lý cũng như lịch sử của các ý tưởng và khám phá khoa học. Các giáo viên và nhà tâm lý học tập trung cho phiên họp khoa học của họ lần thứ tám. Lần này, học sinh lớp Lyceum 2 đến từ thành phố Almetyevsk (Tatarstan) đã giành chiến thắng ở phần thi cá nhân. Người chiến thắng tuyệt đối của Olympic là Eduard Sabirov, anh được trao huy chương vàng lớn, huy chương vàng vật lý và huy chương bạc môn toán. Người đoạt giải nhì chung cuộc là Ruslan Kamalov, người nhận được huy chương bạc lớn và huy chương vàng nhỏ môn toán. Azat Yamanaev giành huy chương đồng lớn; ông cũng nhận được một huy chương đồng nhỏ về vật lý.

49

Thế Vận Hội

Hình 2

Các cạnh của bình được mạ kim loại và đặt cách nhau l = 1 cm. Bình chứa đầy chất điện môi lỏng có mật độ là $\rho = 1,4$ G $см^{3}$, MỘT Hình 3 hằng số điện môi $\varepsilon = 65$. Chất điện môi và thành bình trung hòa về mặt hóa học. Bình được nối với pin có suất điện động E = 100 V. Một lỗ O được mở ở mép dưới của bình, qua đó chất lỏng bắt đầu được bơm ra ngoài. Khối lượng điện môi được bơm ra trong một đơn vị thời gian $\mu = 100$ g/s. Xác định sự phụ thuộc của số chỉ ampe kế vào thời gian. Pin và ampe kế đều hoàn hảo. 4. Hai vệ tinh thăm dò chuyển động theo quỹ đạo tròn giao nhau quanh một hành tinh nhỏ. Góc giữa các mặt phẳng quỹ đạo $\alpha = 75 ^\circ$ (hình 4). Khối lượng của một vệ tinh là M = 100 kg. Với khối lượng m của vệ tinh kia, nó có thể mất hoàn toàn tốc độ sau va chạm đàn hồi với vệ tinh thứ nhất và rơi xuống hành tinh này? 5. Tại buổi lễ Hình Lần khai mạc thứ 4 của Cuộc thi Marathon trí tuệ XXV, trên một chiếc bàn dài nhẵn, 25 thanh có khối lượng m bằng nhau được đặt thành một hàng, trên mỗi thanh có ghi năm hoạt động của Gluon MIC, các khoảng cách đều nhau có chiều dài l = = 0,2 m (hình5). Với dòng chữ “Giải marathon kỷ niệm 25 năm khai mạc”, Chủ tịch Bộ TTTT “Gluon” phóng một khối đá có khối lượng cách trái 3m dọc theo đường khối đứng với vận tốc $v_{0} = 10$ m/s, dẫn đến sự va chạm của các thanh. Tìm thời gian từ tsaema. Nhiệt độ của khí lúc đầu là $T_{0} = 300$ K. Bỏ qua ma sát. 3. Tụ điện có dạng một bình nhựa có thành mỏng hình chữ nhật song song (hình 3). Bên-

Hình 5

ý kiến ​​và thách thức nỗ lực của các nhà toán học trong nhiều thế kỷ. Nhà toán học này là ai và chúng ta đang nói về định lý gì? Kể tên một số thuật ngữ, định lý, sự kiện gắn với tên ông mà bạn biết.

VẬT LÝ

Viết chuyến tham quan riêng

1. Một công nhân đường sắt có khối lượng m = 60 kg đứng trên mép một toa xe đứng yên có khối lượng M = 100 kg (hình1). Một người muốn đẩy ra khỏi mép xe và nhảy

Hình 1

trên một bệ cao hơn xe một khoảng H = 30 cm và cách xe một khoảng l = 1 m. Công việc tối thiểu anh ta phải làm cho việc này là gì? Tốc độ tối thiểu cho một bước nhảy như vậy là bao nhiêu? Bỏ qua ma sát giữa xe và mặt đất. 2. Trong một ống kín dài đặt giữa hai pít-tông có khối lượng m = 1 kg, mỗi pít-tông có $\nu = 0,1$ mol Ar (argon). Phần còn lại của không gian ống là chân không. Tại thời điểm ban đầu, piston bên trái có tốc độ $v_{1} = 15$ m/s, và piston bên phải có tốc độ $v_{2} = 5$ m/s (hình2). Tìm nhiệt độ cực đại của khí trong quá trình chuyển động nếu thành ống và pít tông không thấm nhiệt

50

KVANT 2017/№4

thời điểm va chạm đầu tiên cho đến thời điểm khối đầu tiên rơi, thời điểm rơi của khối tương ứng với IM-2000, cũng như thời điểm va chạm cuối cùng trong hệ này, coi mọi va chạm là đàn hồi. Liệu khối cuối cùng có rơi trước khi Olympic kết thúc, diễn ra sau 6 ngày nữa không? 6. Một bông hoa cúc được vẽ trên bức tường phía sau bể cá. Đường kính góc của bông hoa thay đổi bao nhiêu lần khi bể chứa đầy nước, nếu mắt người quan sát cách tường trước của bể một khoảng l = 30 cm? Chiều dài của bể cá là L = 60 cm. Bỏ qua độ dày của thành bể cá và cho rằng kích thước của hoa cúc nhỏ hơn nhiều so với kích thước của bể cá. 7. Một vỏ hình cầu có bán kính $R_{1} = = 40$ cm, tích điện đều q = 1 mC, được mở rộng đến bán kính $R_{2} = 50$ cm. Tìm công mà lực điện thực hiện.

Đội hùng biện vòng 1. Ánh sáng ở xung quanh chúng ta. Tại sao ban ngày bầu trời có màu xanh, mặt trời có màu trắng vàng, lúc hoàng hôn mặt trời và bầu trời có màu đỏ? 2. Khai thác ở cực. Tại Cực Bắc của Trái đất, một trục được đào dọc theo trục Trái đất, đi qua toàn bộ Trái đất và nổi lên ở Cực Nam. Một vật nhỏ được phép rơi tự do vào trục. Mô tả chuyển động của một vật thể, chỉ ra các thông số chính của chuyển động và ước tính giá trị của chúng. 3. Du hành vũ trụ. Khi nào chúng ta di chuyển quanh Mặt trời nhanh hơn - vào ban ngày hay ban đêm? 4. Theo bước chân của Nam tước Munchausen. Theo Nam tước Munchausen, ông có thể bắt được một viên đạn đại bác bằng tay. Bỏ qua rằng lõi nóng, hãy giải thích liệu anh ta có thể làm được điều này vào thế kỷ 18 và bây giờ không. Hãy xem xét rằng phạm vi bay tối đa của lõi là 1 km và có thể bỏ qua sức cản của không khí. 5. Nghịch lý cân nặng. Trọng lượng 1 kg bạch kim có khác trọng lượng 1 kg nhôm không? 6. Tủ lạnh. Chúng ta cần làm nguội một bình chứa đầy nước nóng. Chúng tôi có đá và thậm chí cả đá khô. Làm thế nào để đặt viên đá so với bình để nước nguội nhanh?

7. Vệ tinh trái đất. Một vệ tinh chuyển động theo quỹ đạo tròn quanh Trái đất sẽ dần mất năng lượng do ma sát với tầng khí quyển phía trên. Tốc độ của nó sẽ thay đổi và nếu có thì như thế nào? Đáp số giải thích bằng phép tính.

Lịch sử của những ý tưởng và khám phá khoa học

1. Giải Nobel Vật lý năm 1956 được trao cho ba nhà khoa học Mỹ vì nghiên cứu cơ bản trong lĩnh vực vật lý chất rắn và phát hiện ra một hiệu ứng mà vào thời điểm đó đã trở thành nền tảng cho một hướng đi mới trong công nghệ điện tử. Các thiết bị được tạo ra dựa trên hiệu ứng này nhanh chóng bắt đầu được sử dụng cả trong các thiết bị điện tử “nghiêm túc” và điện tử tiêu dùng. Thiết bị điện tử đã trở nên nhỏ gọn và với sự phát triển theo hướng này - thậm chí còn nhỏ gọn hơn. Một trong những người đoạt giải đã trở thành nhà vật lý duy nhất hai lần nhận được giải Nobel Vật lý. Ông đoạt giải lần thứ hai vào năm 1972 nhờ công trình nghiên cứu về lĩnh vực siêu dẫn. 1) Kể tên những người đoạt giải Nobel Vật lý năm 1956. 2) Đặt tên cho hiệu ứng và thiết bị được tạo ra dựa trên nghiên cứu của họ. 2. Bốn năm trước, tờ New York Times đã công bố kết quả của một cuộc khảo sát được thực hiện giữa các nhà vật lý nổi tiếng. Mỗi người trả lời phải kể tên mười thí nghiệm vật lý đẹp nhất trong lịch sử vật lý. Kể tên các thí nghiệm này. 3. Nhà vật lý lý thuyết, một trong những người sáng lập vật lý lý thuyết hiện đại, người đoạt giải Nobel Vật lý năm 1921, nhân vật của công chúng và nhà nhân văn. Sống ở Đức, Thụy Sĩ và Hoa Kỳ. Tiến sĩ danh dự của khoảng 20 trường đại học hàng đầu thế giới, thành viên của nhiều Viện Hàn lâm Khoa học, trong đó có thành viên danh dự của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô. Tác giả của hơn 300 công trình khoa học về vật lý, cũng như khoảng 150 cuốn sách và bài báo trong lĩnh vực lịch sử và triết học khoa học, báo chí, v.v. Ông đã phát triển một số lý thuyết vật lý quan trọng đã được xác nhận bằng thực nghiệm. Sau khi viết một lá thư cho Tổng thống Hoa Kỳ vào năm 1939 về sự cần thiết phải tiến hành nghiên cứu trong lĩnh vực ứng dụng thực tế của năng lượng hạt nhân, sau đó ông đã hành động

56

KVANT 2017/№4

trong những điều kiện nhất định có thể gây ra mối đe dọa cho sự sống trên Trái đất. Ông lấy ví dụ rõ ràng là bộ phim khoa học viễn tưởng “Armageddon” (Mỹ, 1998). Nó kể câu chuyện về một chuyến thám hiểm không gian được gửi đến một tiểu hành tinh khổng lồ đang tiếp cận Trái đất để tiêu diệt nó. Muốn học sinh hình dung rõ hơn về điều kiện làm việc của các thành viên đoàn thám hiểm, giáo viên đưa ra câu hỏi sau bài toán: “Tiểu hành tinh có dạng một quả bóng có bán kính R = 5 km. Xét tiểu hành tinh đồng nhất với mật độ $\rho = 5,5$ g $см^{3}$, bỏ qua ảnh hưởng của các thiên thể khác và lấy hằng số hấp dẫn bằng $G = 6,67 \cdot 10^{-} 11$ H $\cdot м^{2} кг^{2}$, tìm vận tốc thoát đầu tiên $v_{1к}$ cho tiểu hành tinh này.” Học sinh đã đạt được kết quả gì? Đáp số làm tròn đến một chữ số thập phân. 2. Một quả bóng tròn nằm bất động trên mặt băng nằm ngang. Cũng chính quả bóng đó trượt dọc theo mặt băng và chịu va chạm đàn hồi tuyệt đối với quả bóng đang đứng yên. Tốc độ của quả bóng chuyển động trước khi va chạm là $v_{0} = 3$ ms. Sau khi va chạm, quả bóng này đi được quãng đường $l_{1} = 1$ m trên mặt băng. Xác định khoảng cách L giữa các quả bóng sau khi chúng dừng lại. Hệ số ma sát giữa vòng đệm và mặt băng là $\mu = 0,05$. Lấy gia tốc rơi tự do bằng g = 10 m $с^{2}$. Xem xét các bề mặt bên của vòng đệm phải nhẵn. Đáp số tính theo mét và làm tròn đến một chữ số thập phân. 3. M = 500 g nước được đổ vào hai bình giống hệt nhau. Nhiệt độ nước trong bình thứ nhất là $t_{1} = 20 ^\circ C$, và trong bình thứ hai $t_{2} = 40 ^\circ C$. Từ bình thứ hai, nóng hơn, đổ $\Delta m = 50$ g nước vào bình thứ nhất và trộn. Sau đó đổ nước có cùng khối lượng $\Delta m$ vào bình thứ hai và trộn đều. Điều này hoàn thành chu kỳ truyền máu đầu tiên. Xác định chênh lệch nhiệt độ $\Delta t$ của nước trong bình sau ba chu kỳ như vậy, bao gồm việc đổ nước từ bình thứ hai vào bình thứ nhất và quay lại. Có thể bỏ qua nhiệt dung của bình và sự trao đổi nhiệt của nước với môi trường. Đáp số cho biết độ C với độ chính xác bằng một phần mười.

4. Một tụ điện không khí bản phẳng có chiều dài bản L được nối với nguồn điện áp không đổi. Điện tích của tụ sẽ thay đổi bao nhiêu lần k nếu đẩy một tấm kim loại vào trong tụ điện song song với các bản một khoảng cách L n, trong đó n = 3 (hình6)? Độ dày của tấm bằng một nửa khoảng cách giữa các tấm tụ điện và chiều rộng bằng Hình 6 tấm. Hiệu ứng cạnh có thể được bỏ qua. Đáp số Làm tròn đến hai chữ số thập phân. 5. Một thấu kính phẳng-lồi mỏng, có tiêu cự F = 10 cm trong không khí, tiếp xúc với mặt phẳng của nó với mặt nước đổ vào một bình hình trụ (hình7). Ở khoảng cách d = = 20 cm tính từ thấu kính trên trục chính của nó có một nguồn sáng điểm S, tạo ra một chùm ánh sáng hẹp. Xác định độ cao h của mực nước trong bình để ảnh của nguồn nằm đúng đáy bình. Lấy chiết suất của nước bằng Hình 7 n = 1,3. Xin lưu ý rằng đối với các giá trị nhỏ của đối số x, được tính bằng radian, các công thức gần đúng sin $x \approx tg x \approx x$ là hợp lệ. Cho Đáp số tính bằng centimet, làm tròn đến một chữ số thập phân.

Giai đoạn cuối

Giai đoạn cuối cùng của Olympic dự kiến ​​diễn ra vào ngày 24 tháng 2 năm 2017. Đối với học sinh các lớp, giai đoạn này được tiến hành trực tiếp tại Khoa Vật lý của Đại học Tổng hợp Moscow và tại bốn địa điểm khu vực ở các thành phố Astana, Belgorod, Vladivostok và Volgograd. Bài tập dành cho học sinh lớp 7–8, cũng như lớp 9, bao gồm bốn bài toán về các chủ đề được nghiên cứu như một phần của chương trình vật lý ở trường trung học cơ bản. Bài tập dành cho học sinh lớp 10–11 được biên soạn đầy đủ theo Bộ luật thi thống nhất năm 2017

60

KVANT 2017/№4

những chiếc máy bay lượn sống, giống như những chiếc máy bay bằng cây bồ đề, nhờ đó gió có thể đưa chúng đi rất xa “nơi sinh ra”. 3. Sự dao động nhiệt độ đáng chú ý ở vùng núi biểu hiện ở mức độ thấp hơn ở tầng đất so với ở độ cao thậm chí vài mét. 4. Hình dạng của lá và cánh hoa này giúp chúng có thêm độ cứng và sức mạnh. 5. Hệ thống rễ của cây thông ăn sâu vào lòng đất hơn cây vân sam (hình4). Để tạo ra một cây vân sam

Hình 3

Nếu ban đầu có x hàng và y cột bị chiếm thì có nhiều nhất xy xe. Vì vậy, $xy \ge 10$. Sau khi thử các giá trị có thể có của x từ 1 đến 6, dễ dàng kiểm tra được rằng $s = x + y \ge 7$. Ở vị trí cuối cùng, tất cả các quân xe không tấn công lẫn nhau và điều này xảy ra khi và chỉ khi s = 20. Hãy chứng minh rằng với s < 20 luôn có thể thực hiện một nước đi làm tăng s. Từ đó, không quá 20 – 7 = 13 nước đi chúng ta sẽ có được sự sắp xếp xe thỏa mãn điều kiện. Hãy cùng điểm qua tất cả các quân xe không đánh bại được ai. Chúng tôi gạch bỏ các hàng chứa các quân xe như vậy. Giả sử có một hàng không giao nhau với đúng một quân xe, hãy coi đó là một hàng. Có ít nhất hai quân xe trong cột chứa quân xe này, nghĩa là có một cột trống. Sau đó quân xe có thể được di chuyển vào đó. Trong trường hợp này, s tăng lên. Vẫn còn phải xem xét lựa chọn khi không có loạt bài như vậy. Khi đó tất cả các dòng không giao nhau đều trống hoặc có ít nhất hai quân xe và cả hai dòng đều có mặt. Xét một dòng trống và một dòng chứa ít nhất hai xe, sao cho không có đường nào không giao nhau giữa chúng. Sau đó, hãy di chuyển quân xe từ hàng này sang hàng khác. Dễ hiểu là một động thái như vậy có thể được thực hiện và s sẽ tăng lên. Cũng có thể chứng minh rằng ước tính này là chính xác, tức là không phải lúc nào cũng có thể thực hiện được trong 12 nước đi (đối với lời giải bài toán điều này không cần phải chứng minh).

KÍNH KÍNH KÍNH “QUANTA”

Câu hỏi và bài toán

1. Lớp vỏ cứng của đai ốc không cho nước lọt qua, bên trong đai ốc có không khí mang lại sức nổi và cho phép “di cư” trong thời gian dài. 2. Nhiều loại trái cây và hạt có chùm lông giống như bồ công anh hoặc giá đỡ

Hình 4

với rễ cây thì cần mô men gió nhỏ hơn so với cây thông. Và để nhổ một cây thông cần một mômen gió lớn hơn là làm gãy nó. 6. Một trong những nguyên nhân là do thân cây bị rỗng. Khi uốn, vùng bên trong của nó thực tế không bị biến dạng, trong khi chất lấp đầy vùng này sẽ chỉ làm tăng lực uốn và lực nén. Ngoài ra, thân của ngũ cốc bao gồm một số hình trụ rỗng được nối với nhau bằng các nút đàn hồi, giúp chúng có thêm tính linh hoạt. 7. Ở tư thế thẳng đứng, thực vật dưới nước được giữ bởi lực Archimedes. Tác dụng của nó được tăng cường nhờ các khoang khí bên trong thân cây, hoạt động như những chiếc phao. 8. Lá hoặc bèo che phủ mặt nước có thể hạn chế quá trình khuếch tán trong việc cung cấp oxy cần thiết cho các tầng sâu hơn cho cư dân dưới nước. 9. Trong tất cả các trường hợp này, vấn đề nằm ở đặc điểm bề mặt thực vật không bị nước làm ướt. 10. Một cây quá cao sẽ không chịu được trọng lượng của chính nó - khi kích thước của nó tăng lên, khối lượng và khối lượng của nó phát triển nhanh hơn diện tích của gốc thân cây. Nhưng một hạn chế nghiêm trọng hơn liên quan đến áp suất thẩm thấu - sự khuếch tán một chiều của các phân tử qua màng tế bào - làm tăng nhựa từ rễ lên lá lên độ cao không quá vài chục mét. Cùng với sự thẩm thấu, sự gia tăng