Bài toán 13—16

11

CUỘC THI

TÊN

cách tiếp cận", Elem. Math. 55 (2000), 45–62). Bằng chứng mới sử dụng một lối thoát vào không gian! Và phát biểu quan trọng của anh ấy, mà chúng tôi mời bạn chứng minh, bản thân nó đã rất thú vị (chúng tôi đã thay đổi cách diễn đạt một chút):

Bài tập 4 (A. Hrasko, 2000). Một hình tròn được cho trên một mặt phẳng, và bên trong nó là hình tròn thứ hai. Châu chấu nhảy từ vòng này sang vòng khác và quay lại với độ dài bước nhảy không đổi. Kết quả là một đường đứt nét $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}^{…}$, trong đó tất cả các liên kết đều bằng nhau, các đỉnh có số lẻ nằm trên hình tròn đầu tiên và các đỉnh có số chẵn nằm trên hình tròn thứ hai. Chứng minh rằng các đoạn $A_{1} A_{3}, A_{3} A_{5}, A_{5} A_{7}$, … tiếp xúc với cùng một hình elip.

A.P SAVINA

Gợi ý. Chúng ta hãy vẽ một hình cầu tùy ý có bán kính lớn hơn bán kính của đường tròn đi qua đường tròn thứ hai. Chúng ta cũng sẽ vẽ một hình cầu có tâm $A_{2k}$ và bán kính bằng chiều dài của bước nhảy. Chứng minh rằng mặt phẳng chung của các mặt cầu này đi qua một điểm cố định với mọi k. Sau đó sử dụng thực tế hỗ trợ này. Thực tế hỗ trợ (không có bằng chứng). Trên mặt phẳng A cho một đường tròn và cho các điểm A, B ở ngoài mặt phẳng và hình chiếu của A lên A nằm bên trong đường tròn. Điểm M di chuyển dọc theo một đường tròn và vẽ một mặt phẳng vuông góc với AM đi qua điểm B. Sau đó, nó cắt A dọc theo đường thẳng tiếp xúc với hình elip cố định.

(Còn tiếp)

CUỘC THI ĐẶT THEO A.P. SAVINA

Chúng tôi tiếp tục cuộc thi tiếp theo về lời giải toán học bài toán. Chúng chủ yếu nhắm đến học sinh từ lớp 7 đến lớp 9, nhưng chúng tôi hoan nghênh học sinh ở mọi lứa tuổi tham gia. Cuộc thi được tổ chức chung với tạp chí «Kvant». Gửi lời giải bài toán mà bạn có thể xử lý bằng e-mail đến địa chỉ: savin.contest@gmail.com hoặc bằng thư thông thường đến địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant» (được đánh dấu “Cuộc thi mang tên A.P. Savin”). Ngoài họ và tên của bạn, hãy cho biết thành phố, trường học và lớp nơi bạn học cũng như địa chỉ bưu điện gửi lại. Chúng tôi hoan nghênh việc tham gia cuộc thi không chỉ của từng học sinh mà còn của các đội (trong trường hợp này, một tác phẩm sẽ được gửi kèm theo danh sách những người tham gia). Bạn có thể tham gia bắt đầu từ bất kỳ chuyến tham quan nào. Những người chiến thắng sẽ nhận được bằng tốt nghiệp từ tạp chí «Kvant» và các giải thưởng.

13. Chứng minh rằng tích của ba số tự nhiên liên tiếp bất kỳ là diện tích của một tam giác vuông nào đó có các cạnh đều là số nguyên. A. Biryulin (học sinh lớp 5)

14. Trên bảng 12 s 12, một số ô đã bị bôi sơn. Có bao nhiêu cách xếp 12 quân xe sao cho chúng không va vào nhau và không có quân xe nào bị dính sơn? P.Kozhevnikov

15. Nikolai Ivanovich, một người yêu thích giải trí bài toán, thích trang trí cây thông Noel cho các cháu của mình bằng đồ chơi xếp hình. Ông đã chuẩn bị một khối tứ diện đều (một hình chóp tam giác gồm các tam giác đều) từ giấy dày. Then he cut it, turned it around and got a herringbone polygon (it is made symmetrically from three equal halves of a regular hexagon. How did he do it? A. Domashenko 16. In the school chemistry laboratory there are two-pan scales with a set of n weights with masses 1 g, 2 g, …, n g. Kolya arranged all these weights among the cups of the scales so that they were balanced. Petya wants to remove some weights, but so that the balance is maintained. What is the smallest number of weights he will need to remove in order to be guaranteed to succeed (no matter how the weights are arranged in the cups)?