Một đợt tuyển dụng khác tại VZMSH

THÔNG TIN

Một đợt tuyển dụng khác tại VZMSH

Trường Phổ thông Đa môn Toàn Nga (VZMSH), là một phần trong cấu trúc của “Trường thứ hai” Lyceum Moscow và hoạt động tại Đại học quốc gia Moscow mang tên M.V. Lomonosov, đang tuyển sinh lần thứ 54. Ngôi trường này được thành lập theo sáng kiến ​​​​của viện sĩ I.M. Gelfand vào năm 1964. Trong nhiều năm, I.M. Gelfand đứng đầu Hội đồng khoa học của trường. VZMSH là một tổ chức giáo dục bổ sung của nhà nước, dành cho tất cả mọi người, không chỉ dành cho học sinh, để mở rộng kiến ​​thức về một hoặc nhiều lĩnh vực khoa học sau: toán học, sinh học, ngữ văn, vật lý, lịch sử (được liệt kê theo thứ tự thời gian mở các khoa). Hiện VZMSH, cùng với các tổ chức khoa học và sư phạm khác, đang tiến hành nghiên cứu phát triển các công nghệ tương tác mới trong giáo dục và dịch một phần tổ hợp giáo dục và phương pháp của mình sang ngôn ngữ viễn thông hiện đại. Trong thời gian VZMSH tồn tại, hàng trăm nghìn học sinh và hàng nghìn vòng tròn - nhóm “Tập thể sinh viên VZMSH” đã nhận được chứng chỉ hoàn thành khóa học. Giáo dục ở trường là PHƯƠNG PHÁP, tức là bắt đầu từ tháng 9 đến tháng 10 năm 2018, tất cả các ứng viên sẽ nhận được một cách có hệ thống các tài liệu được thiết kế đặc biệt cho việc học từ xa, bao gồm phần trình bày các vấn đề lý thuyết và phương pháp lý luận, nhiều loại bài toán cho công việc độc lập, mẫu lời giải bài toán, trò chơi kinh doanh, bài kiểm tra và nhiệm vụ thực tế. Bài thi của học sinh sẽ được các giáo viên - sinh viên, nghiên cứu sinh, giáo viên và nhà nghiên cứu của Đại học quốc gia Moscow cũng như các trường đại học và cơ sở khác nơi trường có phân hiệu kiểm tra và xem xét cẩn thận. Bản thân nhiều giáo viên đã tốt nghiệp VZMSH cùng một lúc và do đó hiểu đặc biệt rõ tầm quan trọng của việc chỉ ra, ngoài việc

những thiếu sót cụ thể, cách khắc phục những lỗ hổng kiến ​​​​thức hiện có, đề xuất bổ sung tài liệu, mắng mỏ nếu thiếu chú ý và khen ngợi những tiến bộ đáng chú ý (và đôi khi là nhỏ nhất) và sự chăm chỉ. Những người được nhận vào VZMSH sẽ có thể tìm hiểu về những điều thú vị thường bị bỏ lại trên những trang sách giáo khoa ở trường, làm quen với những bài toán phi tiêu chuẩn thú vị và thử sức mình với chúng lời giải. Đối với nhiều người, đó sẽ là sự khám phá rằng bài toán không chỉ tồn tại trong toán học, vật lý và hóa học mà còn trong sinh học, ngữ văn và các ngành khoa học khác. Lời giải bài toán sẽ giúp làm sáng tỏ và làm thú vị nhiều phần tưởng chừng như không rõ ràng và nhàm chán. Một trong những đặc điểm của chương trình giảng dạy và sách hướng dẫn VZMS là chúng được biên soạn bởi các nhà khoa học tài năng và những giáo viên xuất sắc giàu kinh nghiệm làm việc đi đầu trong lĩnh vực khoa học. Để học thành công tại một trường tương ứng, bạn sẽ phải học cách làm việc độc lập và hiệu quả với một cuốn sách, bày tỏ suy nghĩ của mình một cách thành thạo, rõ ràng, ngắn gọn và rõ ràng, và như bạn biết, không phải ai cũng có thể làm được điều này. Có lẽ trường tương ứng của chúng tôi sẽ giúp bạn chọn nghề và tìm vị trí của mình trong thế giới xung quanh. Tất cả những người hoàn thành chương trình VZMSh đều nhận được bằng tốt nghiệp. Mặc dù chúng không mang lại lợi thế chính thức, nhưng hội đồng tuyển sinh của nhiều trường đại học tính đến việc những người sở hữu những chứng chỉ này đã làm việc quên mình trong một thời gian dài để tiếp thu kiến ​​thức và học cách làm việc độc lập một cách sáng tạo, điều đó có nghĩa là họ sẽ trở thành những sinh viên giỏi và trong tương lai sẽ trở thành những chuyên gia có năng lực, chu đáo, được đào tạo rộng rãi. Bạn sẽ có thể nhận bài tập của chúng tôi bằng cả thư thông thường và e-mail, đồng thời tham gia thử nghiệm các chương trình đào tạo tương tác mới. Để vào VZMSH, bạn phải hoàn thành thành công bài kiểm tra đầu vào. Hội đồng tuyển chọn trước hết quan tâm đến khả năng suy luận, nỗ lực của bạn (ngay cả khi ban đầu không hoàn toàn thành công) để suy nghĩ độc lập và đưa ra kết luận. Ưu tiên nhập học dành cho những người sống ở khu vực nông thôn -

54

KVANT 2018/№1

các làng mạc và thị trấn nhỏ, nơi không có các trung tâm khoa học và cơ sở giáo dục lớn và chỉ có thể nhận được giáo dục bổ sung qua thư từ. Lời giải bài toán của tác phẩm giới thiệu phải được viết bằng tiếng Nga vào vở học sinh thông thường trong một hình vuông. Những người muốn đăng ký vào nhiều khoa cùng một lúc sẽ gửi từng tác phẩm vào một cuốn sổ riêng. Trên bìa cuốn sổ ghi rõ: họ, tên, họ, năm sinh, trình độ học vấn cơ bản (có bao nhiêu lớp trung học sẽ được hoàn thành trước tháng 9 năm 2018), địa chỉ gửi thư đầy đủ (có mã zip), nơi bạn đã biết về VZMSH (từ «Kvant», từ bạn bè, từ áp phích của trường thư tín, v.v.), bạn muốn đăng ký vào khoa nào. Địa chỉ VZMSH: 119234 Moscow, Vorobyovy Gory, Moscow State University, VZMSH, dành cho lễ tân (ghi rõ bộ phận) Điện thoại: (495) 939-39-30 Bạn có thể tìm hiểu về tất cả các bộ phận của chúng tôi trên trang web VZMSH toàn trường: www.vzmsh.ru Chúng tôi sẽ trả lời câu hỏi của bạn qua e-mail: vzms@yandex.ru Hồ sơ dự tuyển sẽ không được gửi lại. Không có phần giới thiệu, chỉ khi nộp đơn, những người chiến thắng trong các vòng thi Olympic toàn Nga khu vực (lãnh thổ, cộng hòa) ở các môn học liên quan, cũng như những người tham gia vòng cuối cùng của các Olympic này, mới được chấp nhận tham gia đào tạo cá nhân. Sinh viên VZMSH được hoàn trả một phần chi phí giáo dục. Theo yêu cầu của những người không có khả năng thanh toán khoản phí này, VZMSH sẵn sàng liên hệ với nhà trường, cơ quan giáo dục công lập hoặc nhà tài trợ khác để yêu cầu nhà hảo tâm này thanh toán các chi phí tương ứng. Ngoài đào tạo cá nhân, tất cả các khoa của VZMSH, ngoại trừ sinh học, đều có hình thức đào tạo “Sinh viên tập thể”. Đây là một nhóm sinh viên làm việc dưới sự hướng dẫn của một giáo viên (giáo viên phổ thông, giáo viên đại học, sinh viên hoặc những người đam mê khác) và theo quy định, sử dụng các sách hướng dẫn và chương trình giống nhau như từng cá nhân. Việc tuyển sinh vào các nhóm này được thực hiện cho đến ngày 15 tháng 10 năm 2018. Đối với

để đăng ký một nhóm phải có tờ khai của người đứng đầu nhóm (ghi rõ nghề nghiệp, chức vụ, danh sách sinh viên và thông báo về lớp sẽ học từ tháng 9 năm 2018); hồ sơ phải có chữ ký của trưởng đoàn, có xác nhận và chữ ký của thủ trưởng cơ quan nơi đoàn công tác. Làm việc với các nhóm “Học sinh tập thể” có thể được các trường trả phí như một hoạt động tự chọn. Ở Tây Bắc nước Nga có một trường toán tương ứng Tây Bắc tại “Trường Vật lý và Kỹ thuật” Lyceum (chỉ khoa toán, lớp 8–11). Những người muốn đăng ký vào Khoa Toán và sống ở Tây Bắc nước Nga (ở Arkhangelsk, Kaliningrad, Leningrad, Murmansk, Novgorod, vùng Pskov, Cộng hòa Karelian và Komi, cũng như ở St. Petersburg), hãy gửi bài giới thiệu đến địa chỉ: 194021 St. Petersburg, st. Khlopina, 8 tuổi, tòa nhà 3, chữ A, S-Z ZMSH tại Lyceum “FTSH”. Bạn có thể gửi bản scan tác phẩm tới địa chỉ email: mathscool@mail/ru. Địa chỉ email tương tự có thể được sử dụng để liên hệ với S-Z ZMSH. Thông tin chi tiết có trên trang web đào tạo từ xa: http://distmath.ru/. Những người sống ở các vùng khác của Nga, gần và xa ở nước ngoài, gửi tác phẩm toán học của họ đến VZMSH hoặc chi nhánh tương ứng. Địa chỉ các chi nhánh của khoa toán của VZMSH: 241035 Bryansk, st. Malo-Orlovskaya, 8 tuổi, tel.: (4832) 56-18-08, e-mail: brotek@mail.ru; 610002 Kirov, PO Box 2039, TsDOOSH, tel.: (8332) 35-15-03, 35-15-04, e-mail: sms@extedu.kirov.ru, trang web: http://cdoosh.kirov.ru; 150000 Yaroslavl, st. Sovetskaya, 14 tuổi, điện thoại: (0852) 11-82-03, e-mail: olimp@olimp.edu.yar.ru.

Dưới đây bạn sẽ tìm thấy thông tin ngắn gọn về các khoa của Trường Cao đẳng Y tế và các điều kiện cho kỳ thi tuyển sinh.

55

THÔNG TIN

Khoa Toán

Chúng tôi dạy toán cho học sinh lớp 6–11 bằng thư từ. Chúng tôi chấp nhận các cá nhân đào tạo cá nhân dựa trên kết quả của công việc giới thiệu và gửi lợi ích. Người phụ trách chủ trì đào tạo: soạn thảo chương trình, kiểm tra bài tập và trả lời các câu hỏi. Chúng tôi nhận học viên vào đào tạo nhóm “Sinh viên tập thể” theo đơn của trưởng nhóm. Chúng tôi gửi lợi ích cho toàn bộ nhóm. Học sinh gửi một bài tập chung về mỗi chủ đề để kiểm tra cho VZMSH. Chúng tôi nhận học sinh cho tất cả các khóa học từ 0 đến 5 (tức là học sinh từ lớp 6–11). Gửi đơn đăng ký và bài giới thiệu của bạn đến địa chỉ email tuyển sinh: priem@math-vzms.org hoặc đến địa chỉ bưu chính của trường: 119234 Moscow V-234, Vorobyovy Gory, Đại học quốc gia Moscow, khoa toán của VZMSH. Trang web của chúng tôi: http://www.math-vzms.org/ Điện thoại của chúng tôi: +7 495 93 93 93 0 Nếu bạn muốn học riêng lẻ, hãy hoàn thành bài giới thiệu, các điều kiện bài toán được đưa ra dưới đây. Lời giải bài toán mà bạn đã giải quyết được, bạn cần phải viết nó vào một cuốn sổ tay học sinh thông thường và gửi nó trong một bưu kiện đơn giản cùng với đơn đăng ký nhập học của bạn. Giấy tờ đầu vào và đơn đăng ký cũng được chấp nhận qua email. Trong trường hợp này, tác phẩm phải được định dạng dưới dạng tệp .doc hoặc .pdf; bạn cũng có thể quét văn bản tác phẩm và đính kèm vào đơn đăng ký nhập học. Đơn xin nhập học được viết dưới dạng miễn phí. Vui lòng cung cấp họ, tên, họ, năm sinh, trình độ học vấn cơ bản (sẽ thuận tiện cho chúng ta đọc: “Từ ngày 1 tháng 9 năm 2018, tôi sẽ học ở… lớp”), địa chỉ bưu điện đầy đủ với mã zip nơi bạn đã biết về VZMSH (từ Internet, từ tạp chí «Kvant», “Khoa học và Cuộc sống”, từ giáo viên, phụ huynh, bạn bè hoặc từ các nguồn khác). Vui lòng cung cấp địa chỉ email của bạn, nếu có. Đừng quên cho biết rằng bạn đang vào khoa toán. Hạn chót nộp tác phẩm dự thi là ngày 15 tháng 6 năm 2018.

Trong phần giới thiệu bên dưới, bên cạnh số sê-ri bài toán trong ngoặc đơn, nó cho biết học sinh lớp nào (nghĩa là lớp mà bạn dự kiến ​​học từ ngày 1 tháng 9 năm 2018) bài toán này được dự định. Nếu muốn, bạn có thể giải thêm bài toán dành cho các lớp cũ hơn. Hãy dành thời gian của bạn và nếu bài toán không hiệu quả, hãy quay lại với chúng nhiều lần. Vẫn còn đủ thời gian cho đến ngày 15 tháng 6. Bạn có thể không giải được hết bài toán của lớp, sau đó gửi lời giải những câu mà bạn đã giải được. Đừng quên biện minh cho lời giải của bạn, đáp số đến bài toán “trần trụi” không được coi là một giải pháp.

Bài toán

1 (6–7). Các số nguyên tố được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Có đúng là trung bình số học của hai số nguyên tố liền kề không thể là số nguyên tố? 2 (6–7). Hộp chứa bóng bay: 10 màu đỏ và 10 màu xanh. Người bán lấy ra từng quả bóng một mà không cần nhìn. Anh ta cần lấy ra bao nhiêu quả bóng để trong số đó chắc chắn có: a) hai quả bóng cùng màu; b) hai quả bóng khác màu; c) ba quả bóng cùng màu? 3 (6–7). Thêm một chữ số vào bên phải và bên trái của số 10 để số kết quả chia hết cho 12,4 (6–8). Petya uống 1/2 ly cà phê và đổ thêm sữa vào. Sau đó anh ta uống hết 1/3 ly và đổ sữa lại vào. Cuối cùng, anh uống hết 1/6 ly, đổ sữa vào và uống hết ly. Petya đã uống gì nhiều hơn: cà phê hay sữa? 5 (7–10). a) Có thể đánh số các cạnh của một hình lập phương bằng các số tự nhiên từ 1 đến 12 sao cho mỗi đỉnh của hình lập phương có tổng số các cạnh hội tụ tại nó bằng nhau? b) Câu hỏi tương tự nếu bạn đặt các số –6, –5, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 6 (8–10) dọc theo các cạnh của khối lập phương. Hai thành phố A và B nằm bên bờ sông cách nhau 10km. Một chiếc tàu thủy có thể đi từ A đến B rồi quay về trong 1 giờ. Liệu anh ta sẽ mất nhiều hay ít thời gian để bơi 20 km qua hồ?

57

THÔNG TIN

Hình 2

gương. Màn hình và gương vuông góc với trục chính của thấu kính. Khoảng cách từ thấu kính đến gương là F 2, đến màn 3 F 2. Giá trị của r nhỏ hơn nhiều so với bán kính của thấu kính. Một chùm tia sáng song song song song với trục chính của nó chiếu qua màn hình vào thấu kính. Hình dạng và kích thước của vùng được chiếu sáng trên màn hình nhìn từ phía thấu kính sẽ như thế nào? 6. Hai con bọ nằm ở đỉnh A và B của hình vuông ABCD bắt đầu bò dọc theo các cạnh của hình vuông này theo chiều kim đồng hồ. Tốc độ của bọ cánh cứng là như nhau. Vẽ quỹ đạo của một con bọ trong hệ quy chiếu liên kết với con bọ kia. 7. Các lực $F_{1} = 1$ N và $F_{2} = 2$ N tác dụng vào hai đầu của một thanh có chiều dài L = 20 cm, hướng một góc A 45 o so với thanh (hình3). Phải tác dụng lực F nào vào thanh này để nó nằm yên

Lực tác dụng lên pít-tông bằng Mg 5. Tại một thời điểm nào đó, một lỗ nhỏ được hình thành ở đáy bình, qua đó khí thoát ra với tốc độ không đổi u mol/phút. Vẽ đồ thị chiều cao của pít-tông theo thời gian và tìm xem sau bao lâu để nó giảm xuống còn một nửa chiều cao của bình. 10. Từ trường chiếm một diện tích giới hạn bởi hai nửa mặt phẳng A và B, cắt nhau vuông góc (hình4).

Hình 4

Nửa mặt phẳng và cảm ứng trường B vuông góc với mặt phẳng hình. Một electron bay vào trường tại điểm A với vận tốc v và trong quá trình chuyển động tiếp theo bay qua điểm C, người ta biết AO = OC. Tìm đường đi của electron trong vùng bị từ trường chiếm giữ. Khối lượng electron $m_{e}$, điện tích e; vận tốc v nằm trong mặt phẳng hình.

Khoa Ngữ văn

Hình 3

THĂNG BẰNG? Lực này nên được áp dụng ở đâu? 8. Một vật nhỏ có khối lượng m = 50 g được treo trên một sợi dây lý tưởng có chiều dài L = 30 cm. Cơ thể được di chuyển sang một bên để sợi chỉ nằm ngang và thả ra. Tại thời điểm sợi chỉ tạo góc A 30 o với phương thẳng đứng thì sợi chỉ bị đứt. Tìm vận tốc của vật tại thời điểm nó bay ngay dưới điểm treo của sợi dây. 9. Trong một bình là một hình trụ hẹp thẳng đứng có chiều cao H, phía trên được đậy bằng một pít-tông có khối lượng M, có N mol oxy. Thành bình ở một phần ba phía trên nhẵn, phía dưới gồ ghề và giá trị lực ma sát cực đại là

Khoa đã tồn tại từ năm 1989. Trong thời gian này, một số lượng lớn sách giáo khoa độc đáo về tiếng Nga, ngôn ngữ học đại cương, lịch sử và lý thuyết văn học đã được biên soạn và xuất bản. Bất cứ ai được đào tạo cơ bản với số lượng 7 lớp đều được nhận vào khoa. Thông tin về chương trình, quy trình đào tạo được gửi kèm theo thông báo lời giải đến Hội đồng tuyển sinh và đăng tải trên website. Bạn có muốn cải thiện khả năng đọc viết của mình không? Bạn muốn làm quen với những vấn đề thú vị về lý thuyết và thực hành tiếng Nga? Nắm vững các kỹ thuật phân tích ngôn ngữ hoặc văn học? Đạt được những kỹ năng bạn cần để vượt qua kỳ thi của bạn? Sau đó hoàn thành và gửi cho chúng tôi phần giới thiệu-

58

KVANT 2018/№1

nhiệm vụ giáo dục, các câu hỏi được đưa ra dưới đây. Chú ý! Trên trang đầu tiên, hãy cho biết các thông tin sau: tên đầy đủ, bạn tốt nghiệp lớp nào, địa chỉ bưu điện đầy đủ (có mục lục!), số điện thoại, e-mail. Hạn chót nộp bài dự thi là ngày 15/6/2018. Chấp nhận nhóm “sinh viên tập thể” không cần làm bài giới thiệu. Email của chúng tôi: filologiyvzmsh@mail.ru

Câu hỏi

1. LÀ. Gorky đã cười rất lâu khi cựu thượng nghị sĩ, một ông già đáng kính, người đã đảm bảo với ông rằng ông có thể dịch từ “mười thứ tiếng”, đã mang bản dịch một câu chuyện cổ tích lãng mạn sau đây đến nhà xuất bản “Văn học Thế giới”: “Vì thiếu một bông hồng đỏ, cuộc đời tôi sẽ bị hủy hoại”. Phương án “Không có hoa hồng đỏ, cuộc đời tôi sẽ bị hủy hoại” cũng bị bác bỏ. Tại sao bạn nghĩ vậy? 2. Andrei Bely tin rằng cấu trúc âm thanh của M.Yu. Bài thơ “Borodino” của Lermontov được xây dựng dựa trên sự đấu tranh của hai chủ đề âm nhạc: nguyên âm mở rộng “a”, đi kèm với đặc điểm của người Nga, và âm “u” trầm, buồn tẻ, tương ứng với chủ đề của tiếng Pháp. Cố gắng chỉ ra bằng các ví dụ bạn hiểu luận điểm này của A. Bely như thế nào. 3. Làm thế nào để các nguyên tắc chính tả khác nhau của tiếng Nga - hình thái, ngữ âm, truyền thống và phân biệt - “hoạt động” trong các từ LATE và KAZHEG?

Khoa Lịch sử

Học tại khoa sẽ cho phép tất cả mọi người, kể cả cư dân của các thành phố và làng mạc xa xôi nhất, mở rộng tầm nhìn và chuẩn bị cho kỳ thi thống nhất cấp bang trong lịch sử. Những người hoàn thành khóa học sẽ nhận được bằng tốt nghiệp. Tại sao bạn cần học lịch sử? Trước hết, nó chỉ thú vị. Thật thú vị khi biết con người đã từng sống như thế nào, họ mặc gì, ăn gì, đọc gì, kết hôn như thế nào, họ đấu tranh vì điều gì và “họ bước vào cuộc sống gì”. Thứ hai, nó hữu ích. Chỉ khi biết quá khứ thì người ta mới có thể hiểu được hiện tại và dự đoán được tương lai. Chúng tôi sẽ giúp

Hãy để chúng tôi tìm ra điều này cho bạn. Giáo viên có kinh nghiệm viết sách đặc biệt cho bạn. Bạn sẽ là một trong những người đầu tiên biết những tin tức mới nhất từ ​​​​thế giới lịch sử! Chúng tôi sẽ giữ liên lạc thường xuyên với bạn. Theo sách của chúng tôi, bạn sẽ thực hiện các nhiệm vụ đặc biệt và cho chúng tôi biết những gì bạn đã khai quật được. Xét cho cùng, về bản chất, công việc của một nhà sử học bao gồm những cuộc khai quật này. Nhà sử học-khảo cổ học khi đào đất và cát, tìm thấy những hạt của thời đã qua; nhà sử học-lưu trữ đào bới một đống giấy tờ và lấy ra từ kho lưu trữ và thậm chí từ thư từ riêng tư mọi thứ có thể cho phép anh ta hiểu được hình ảnh của thời gian; một nhà sử học lý thuyết, giống như một cuốn tiểu thuyết hấp dẫn, đọc các bảng khảo cổ học, các báo cáo khô khan, số liệu thống kê và sử dụng chúng để tái tạo lại kết cấu sống động của một cuộc đời đã qua. Nhà sử học có một nghề đặc biệt: ông là điều tra viên, công tố viên và luật sư thời đó trong một người. Nhiệm vụ giới thiệu dưới đây phải được hoàn thành trên một tờ giấy đôi. Hạn chót nộp bài dự thi là ngày 1/6/2018. Các nhóm “sinh viên tập thể” được tiếp nhận không cần làm bài giới thiệu theo đơn của trưởng nhóm.

Bài tập

1. Đoán xem ai $это:_{i}$ Nhà công nghiệp người Nga, ông trùm vải hoa, $меценат._{i}$ Vợ và bạn của ông, Vera Nikolaevna - nee $Мамонтова._{i}$ Một thương gia trẻ với người hướng dẫn và bản đồ đã đi đến tất cả các bảo tàng châu Âu và trở thành một người sành sỏi $живописи._{i}$ Ở tuổi 24, ông thành lập một phòng trưng bày riêng về tiếng Nga $живописи._{i}$ Ở tuổi 60, ông đã tặng phòng trưng bày của mình $Москве._{i}$ Trong số tất cả các nghệ sĩ đương thời, anh ấy thích $передвижников._{i}$ Anh ấy mơ ước tìm thấy các biểu tượng của Rublev, nhưng may mắn đã mỉm cười với người khác $коллекционеру._{i}$ Anh ấy trở thành giám đốc đầu tiên của bảo tàng do anh ấy thành lập, tiêu hết tiền tiết kiệm cho nó, nhưng vì khiêm tốn nên không bao giờ xuất hiện cho riêng mình $юбилеи._{i}$ Hoàn toàn không quan tâm. Ví của anh ấy luôn sẵn sàng cho $нуждающихся._{i}$ Anh ấy không bao giờ mặc cả với các nghệ sĩ. Khi đặt tranh tôi đã thanh toán đầy đủ.

59

ĐÁP ÁN,

HƯỚNG DẪN

i Một bảo tàng quốc gia và một ga tàu điện ngầm ở $Москве._{i}$ Bức chân dung của ông do Repin vẽ tô điểm cho các sảnh của $музея._{i}$ do ông tạo ra. Lời cuối cùng của ông với người thân: “Hãy chăm sóc phòng trưng bày”. 2. Hãy miêu tả trong không quá 7 câu chân dung chính trị của vị tổng thống thứ hai của nước Nga.

---

Chú ý! VZMSH đang tuyển dụng khóa học “Xã hội học”. Khóa học bao gồm các chuyên ngành sau: triết học, con người và xã hội, khoa học chính trị, lý thuyết nhà nước, chính phủ Nga, luật, kinh tế. Học sinh được gửi đồ dùng dạy học gốc được tạo ra trên cơ sở nhiều

GIẢI PHÁP

Số năm kinh nghiệm của các tác giả khóa học. Kiểm tra kiến ​​thức được thực hiện bằng hệ thống kiểm tra được chấp nhận rộng rãi. Chương trình học kéo dài 1 năm. Khóa đào tạo mang tính chất tương ứng và nhằm mục đích cung cấp cho học sinh tốt nghiệp - cả thành phố lớn và làng nhỏ - kiến ​​thức sâu về các ngành xã hội, để chuẩn bị cho họ vượt qua kỳ thi Thống nhất về nghiên cứu xã hội. Để đăng ký khóa học, bạn phải nộp đơn đăng ký trước ngày 1 tháng 6 năm 2018. Trong đơn đăng ký, vui lòng cho biết họ, tên, họ viết tắt, địa chỉ nhà đầy đủ của bạn (có mã zip!), và lớp bạn sẽ học từ ngày 1 tháng 9 năm 2018. Gửi đơn đăng ký đến địa chỉ: 119234 Moscow, Vorobyovy Gory, Moscow State University, VZMSH (khóa học “Nghiên cứu xã hội”).

ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN, GIẢI PHÁP

CUỘC THI ĐẶT THEO A.P. SAVINA

(xem «Kvant» số 11 cho năm 2017)

9. Để Alyosha hái quả việt quất H và quả nam việt quất B. Sau đó mọi người hái quả B + B và tổng cộng các bạn đã thu được 9 quả B + 11 B. Nếu không quá 9 kẻ thì tổng cộng không quá 9 quả (B + B), nếu có ít nhất 11 kẻ thì tổng cộng không có ít hơn 11 quả (B + B), trong mỗi trường hợp số quả không được bằng 9H + 11B. Điều này có nghĩa là có 10 chàng trai, khi đó 9H + 11B = 10H + 10B, từ đó B = H. 10. a) Đa giác thứ nhất là tứ giác có các góc $70\infty, 70\infty, 90\infty$ và $130\infty$, và đa giác thứ hai là tứ giác có các góc $70\infty, 70\infty, 70\infty$ và $150\infty$. b) Người thứ nhất có một, người thứ hai không có. Hãy ước tính một đa giác lồi có thể có bao nhiêu góc không tù. Cho một đa giác có n góc, trong đó k không tù. Một mặt, tổng các góc của n-giác là $180 \infty$◊(n - 2). Mặt khác, k góc của nó tối đa là $90\infty$ và các góc còn lại (n - k) nhỏ hơn $180\infty$. Ta thu được bất đẳng thức $180 \infty$ ◊ ( n - 2 ) £ $90 \infty$ ◊ $k + + 180 \infty$ ◊ ( n - k ), từ đó sau khi biến đổi ta thu được k £ 4. Do đó, không có nhiều hơn bốn góc không tù. Trong trường hợp này, sự bình đẳng chỉ đạt được khi tất cả các góc đều vuông góc. Điều này có nghĩa là không có nhiều hơn ba góc nhọn. Khi tính đến điều này, chúng tôi kết luận rằng đa giác thứ nhất chỉ có thể có 2 góc nhọn, góc thứ hai - 3 và mỗi góc đều có một góc tù. Đa giác thứ hai không có góc vuông (vì đã có ba góc nhọn). Điều này có nghĩa là đa giác thứ nhất có một góc vuông và vì nó đã có hai góc nhọn nên chỉ có một góc vuông. 11. Chúng ta hãy miêu tả các cô gái là những điểm trên mặt phẳng và các chàng trai là những đường thẳng (hình1). Một cô gái thích một chàng trai nếu điểm tương ứng với cô ấy nằm trên đường tương ứng với chàng trai. Khi là con trai, chúng ta lấy các cạnh của một tam giác đều, đường trung tuyến và đường tròn nội tiếp của nó, và Hình 1 khi là con gái - những điểm mà ba đường thẳng giao nhau. Bạn sẽ nhận được 7 cô gái và 7 chàng trai. Cấu hình này được gọi là mặt phẳng Fano. 12. a) Có thể được. Tuyên bố về điểm này tiếp nối tuyên bố của điểm b). b) Có thể được. Bên cạnh mỗi đường ngang chúng ta viết số góc mà nó giao nhau. Vì tổng số góc là 12 ◊ 12 3 = 48 và mỗi góc đều

60

KVANT 2018/№1

cắt hai đường ngang thì tổng của các số này là $48_{◊} 2_{=} 96$. Hãy chứng minh điều đó bằng phản chứng: giả sử trong số các số này không có số nào lớn hơn hoặc bằng 9. Nếu trong số đó có số nào nhỏ hơn 8 thì tổng của chúng không vượt quá 95. Điều này có nghĩa là tất cả các số đều bằng 8. Đường ngang phía trên cắt 8 góc. Rõ ràng chúng đều nằm ở hai đường ngang phía trên. Các góc này chiếm 8 ◊ 3 = 24 ô và hai đường ngang phía trên cùng nhau chiếm cùng số ô. Điều này có nghĩa là hai đường ngang trên cùng có thể được cắt bỏ mà không làm hỏng các góc. Những đối số này cho ngành ngang có thể được lặp lại cho hai ngành dọc bên trái. Bằng cách này, khi cắt bỏ hai chiều ngang trên và hai chiều dọc bên trái, các góc sẽ không bị hư hại. Nhưng điều này sẽ cắt đi hình vuông phía trên bên trái 2 ¥ 2, không bị cắt thành các góc. c) Điều đó là không thể được. Một phản ví dụ được hiển thị trong hình2.

Hình 2

KÍNH KÍNH KÍNH “QUANTA”

Câu hỏi và bài toán

1. Nguyên nhân của hiện tượng này là do sự chuyển động của các mảng lục địa dọc theo các lớp nóng chảy của vật chất bên dưới. 2. Không, phần lớn thể tích và khối lượng của Trái đất ở trạng thái vô định hình dưới dạng chất lỏng rất nhớt và nó khôi phục lại hình dạng hình cầu dưới tác động của trọng lực. 3. Khi nước lọt vào các vết nứt trên đá đóng băng, băng tạo ra sẽ tạo ra áp suất vượt quá sức chịu đựng của đá và chúng bắt đầu tan chảy.

họ muốn sụp đổ. Một lý do khác là sự giãn nở nhiệt không đồng đều của các khoáng chất tạo nên đá. Khi nhiệt độ dao động, chúng bị biến dạng ở các mức độ khác nhau, điều này cũng góp phần khiến chúng bị phá hủy. 4. Mật độ vật chất của lõi Trái đất lớn hơn mật độ trung bình của nó. Vật liệu lõi có thể là sắt, mật độ của nó là 7,8 g $см^{3}. 5.$ Chiều cao của ngọn núi được xác định bởi ứng suất cơ học tối đa mà tại đó mạng tinh thể bắt đầu sụp đổ, nói cách khác, bởi trọng lượng của ngọn núi. Trên sao Hỏa, trọng lượng của các vật thể nhỏ hơn trên Trái đất khoảng 2,5 lần, điều đó có nghĩa là chiều cao của những ngọn núi của chúng có thể lớn hơn gấp nhiều lần. Điều này được xác nhận bởi các quan sát. 6. Nếu nhiều nước vào hồ hơn là bốc hơi khỏi bề mặt, thì mực nước trong hồ có thể tăng lên, nhưng chỉ đến độ cao của dòng chảy sâu nhất, khi chảy ra khỏi đó hình thành nên một dòng sông. 7. Đáp số nằm trong một trong các biểu đồ - hiện tượng xói lở bờ sông phát sinh do tác dụng của lực Coriolis trong hệ quy chiếu phi quán tính quay cùng Trái đất. 8. Tại những thời điểm này, Mặt trăng và Mặt trời thẳng hàng với Trái đất và tác động của chúng lên mặt nước là tối đa. 9. Khi Trái đất quay, nó có xu hướng làm biến dạng khối thủy triều do Mặt trăng kéo. Do ma sát giữa nước và đáy đại dương rắn chắc, vòng quay của Trái đất chậm lại và độ dài của ngày tăng lên. 10. Nước làm mát dưới $4 \infty C$ không chìm xuống đáy. Băng hình thành trên mặt nước cũng không chìm vì mật độ của nó nhỏ hơn mật độ của nước. 11. Băng biển non hình thành từ vùng nước trong trong những đợt giá lạnh, để lại những tổ nước muối trong đó tạo nên độ đàn hồi, cho phép băng uốn cong theo sóng như một tấm thảm cao su. 12. Với việc mất đi lượng nước có nhiệt dung lớn, quán tính nhiệt của Trái đất sẽ giảm đi đáng kể. Nhiệt độ trong ngày sẽ cao hơn và sự biến động của chúng trong ngày và trong năm sẽ lớn hơn. 13. Cực Bắc từ nằm ở Nam bán cầu, ở Nam Cực. Nó nằm ở khoảng cách hơn 18 nghìn km tính từ Cực Địa lý Bắc. 14. Sự hiện diện của từ trường gần Trái đất. 15. Các hạt gió mặt trời (electron và proton) xoáy quanh các đường sức từ của Trái đất, xuyên qua các cực và va chạm với các nguyên tử, phân tử không khí, làm ion hóa

61

ĐÁP ÁN,

HƯỚNG DẪN

gây khó chịu và kích thích chúng, dẫn đến ánh sáng phát quang - cực quang. 16. Theo hàm lượng các đồng vị chì hình thành trong đá trong quá trình phân rã phóng xạ của các đồng vị urani, theo tính toán, tuổi của vỏ Trái đất là 4,5 tỷ năm.

Kinh nghiệm vi mô

Những vũng nước nông đóng băng xuống đáy; đi trên chúng, bạn chỉ có thể trượt một chút. Nhưng sẽ nguy hiểm hơn nếu giẫm lên lớp băng mỏng đã bao phủ một vũng nước sâu qua đêm - nếu bị ngã, ít nhất bạn sẽ bị ướt chân.

GIẢI PHÁP

một dấu hiệu và hai dấu hiệu khác. Do đó – đáp số. 2. Ví dụ: Có 100! – 100, 100! – – 99,…, 100! – 2. 3. Xét đồng xu thứ 26, 52 và 78. Rõ ràng là chính xác một trong số đó là giả. So sánh hai trong số ba đồng tiền bất kỳ sẽ tiết lộ điều đó. Có nhiều cách khác, chẳng hạn như so sánh 25 hoặc 26 đồng tiền đầu tiên với đồng xu cuối cùng. 4. Bạn có thể. Lời giải (Aviel Boag, Israel). Thậm chí 25 động tác là đủ. Chúng ta sẽ di chuyển dọc theo con đường được chỉ ra ở hình 3. Khi máy dò mìn được kích hoạt,

ĐƯỜNG DÀI TRONG ĐỒ HỌA

2. Nó không thể. Gợi ý. Nước đi của hiệp sĩ làm thay đổi màu sắc của hình vuông. 4. Không thể. Gợi ý. Chúng tôi sẽ gọi vị trí là một màu nếu các chip nằm trên các trường cùng màu và nhiều màu nếu không. Tìm số lượng của các vị trí một màu và nhiều màu và sử dụng thực tế là trong một lần di chuyển, vị trí nhiều màu sẽ trở thành một màu và ngược lại. 6. 23. Gợi ý. Vẽ đồ thị vị trí tương ứng, tô màu các đỉnh của nó bằng hai màu và ước tính độ dài đường đi dựa trên Định lý 2. 9. Gợi ý. Một tập bao gồm các đường dẫn p có thể được chuyển thành một đường dẫn duy nhất bằng cách thêm các cạnh p – 1. 10. 2 cách. Gợi ý. Xét chu trình Hamilton trong “đồ thị cuối”. 11. a) 16 con châu chấu; b) Sắp xếp 1 chỗ ngồi. Gợi ý. Bạn có thể sử dụng đường dẫn châu chấu từ bài toán 5. 12. a) 6 hạt; b) 125 chiếc vòng cổ loại tốt; c) d [ m 2 ] hạt và $t^{d}$ dây chuyền tốt, trong đó d = gcd ( n, k + 1), m = n d, t = 2 nếu m chẵn và t = m nếu m lẻ. Gợi ý. Tìm hiểu cấu trúc của “biểu đồ cấm” là gì.

GIẢI ĐẤU THÀNH PHỐ XXXIX

MỤC ĐÍCH CỦA TOUR THU (2017)

Tùy chọn cơ bản

lớp 8–9

1. Bốn là tích cực, sáu là tiêu cực. Nếu trong số các số có sẵn có bốn số cùng dấu thì chúng sẽ đưa ra sáu tổng của dấu này. Do đó có ba số

Hình 3

Đây là lần đầu tiên kho báu có thể được đặt trong không quá ba ô. Ví dụ: nếu nó hoạt động trong một ô màu đen, thì ba ô được đánh dấu bằng dấu cộng sẽ đáng ngờ. Thật dễ dàng để chọn thứ bạn cần trong hai lần di chuyển. Nếu máy dò kim loại hoạt động lần đầu tiên ở nước đi thứ 24, thì sẽ còn lại hai ô đáng ngờ, và vào ngày 25 - một, và những nước đi còn lại là đủ. Nếu máy dò mìn không hoạt động dù chỉ một lần thì kho báu nằm trong ô màu đỏ. Như kiểm tra trên máy tính cho thấy, 24 nước đi là không đủ. 5. Đường tròn nằm trong khung 8 ô bao quanh ô được chỉ định, nếu không khoảng cách từ một điểm trên đường tròn ngoài khung đến đỉnh xa của ô ban đầu sẽ lớn hơn 2 – đường kính của đường tròn. Do đó, hình tròn được chia thành tám cung có màu xen kẽ (các cung màu trắng có thể bằng 0). Lưu ý rằng mỗi cung đen không nhỏ hơn $60\infty$, vì dây cung phụ nó không nhỏ hơn cạnh của ô, tức là bán kính của hình tròn. Do đó, bốn cung màu đen chiếm ít nhất 2/3 chu vi.

lớp 10–11

1. Họ không tồn tại. Cho { x } = A, { y } = B thì { x + y } = { A + B }.

Nó tuân theo điều kiện A + B - AB là số nguyên. Điều này có nghĩa là số

1 - ( A + B ) + AB =

= ( 1 - A )( 1 - B ) – số nguyên. Nhưng điều đó không đúng. 2. Hãy vẽ điểm chung A của các đường tròn này

62

KVANT 2018/№1

tiếp tuyến l và m tương ứng. Góc giữa l và dây AB bằng góc C. Góc giữa m và dây AL bằng

– AKL = – KAC + – KCA = 2 – KCA = – C.

Do đó, các đường l và m trùng nhau theo yêu cầu. 3. 120. Tổng số tiền là 210, tức là mỗi ký hiệu có 105 lượng. Giả sử có x số của một dấu và y của dấu khác. Chúng ta cần giảm thiểu số lượng sản phẩm âm xy. Đối với một tổng cố định, tích của các số càng nhỏ khi chúng càng ở xa nhau. Không có số nào x và y có thể lớn hơn 15 (nếu không thì tổng của một dấu sẽ lớn hơn 15 ◊ 14: 2 = 105), nên kết quả tốt nhất sẽ là x = 15, y = 6 (hoặc ngược lại). Trong trường hợp này, số tích âm là 90. Đạt được số lượng tổng dương yêu cầu, ví dụ: nếu mười lăm số bằng 1 và sáu số bằng –2. 4. Có thể trên cả hai khía cạnh. a) Cho một tứ diện đều sao cho một quả bóng chạm vào các cạnh của nó cắt ra các đường tròn có bán kính lớn hơn 4 trên các mặt của nó. Sau đó, chúng ta sẽ di chuyển một trong các mặt ra xa tâm quả bóng cho đến khi cắt được một hình tròn bán kính 4 trên mặt này. Khối tứ diện sẽ vẫn đều, bán kính của các hình tròn trên các mặt khác không thay đổi. Hãy thu nhỏ các khuôn mặt còn lại theo cách tương tự để có được các vòng tròn mong muốn. b) Xét một quả bóng có tâm O bán kính 5. Hãy mô tả một tứ diện đều xung quanh nó. Trên bán kính nối O với các điểm tiếp tuyến, ta tìm các điểm mà tại đó các mặt phẳng đi qua các điểm này và vuông góc với các bán kính này cắt quả bóng dọc theo các đường tròn có bán kính 1, 2, 3, 4. Còn phải chứng minh rằng bốn đường tròn này không cắt nhau (khi đó các mặt phẳng này tạo thành một tứ diện). Chỉ cần chứng minh điều này cho các đường tròn có bán kính 3 và 4 là đủ. Lưu ý: nếu các bán kính tương ứng vuông góc thì các đường tròn sẽ chạm nhau (vì tam giác có các cạnh 3, 4, 5 là vuông góc). Vì góc giữa các bán kính thực tế là tù nên các vòng tròn sẽ không giao nhau. 5. Tô màu các ô theo hình bàn cờ sao cho ô X phía dưới bên trái có màu đen. Sau đó, Y trên cùng bên trái có màu trắng. Nước đi theo chiều ngang được thực hiện từ hình vuông X màu đen, nước đi tiếp theo được thực hiện từ hình vuông màu trắng theo chiều dọc, sau đó lại từ hình vuông màu đen theo chiều ngang, v.v., luân phiên. Điều này có nghĩa là một quân cờ luôn xuất hiện theo chiều ngang từ ô đen và theo chiều dọc từ ô trắng. Đặc biệt, chip đánh Y bằng một bước di chuyển theo chiều ngang.

Không có động thái giống hệt nhau. Khi đó mảnh không thể đi qua bất kỳ cạnh nào của ô hai lần: theo cùng một hướng - do giả định và theo hướng ngược lại - do sự xen kẽ ở trên. Vì phía đã qua của ô không thể vượt qua được nữa nên chúng ta sẽ “xây” một bức tường dọc theo nó. Rõ ràng, các bức tường tạo thành một tập hợp được kết nối. Khi mảnh đạt Y, các bức tường sẽ nối cạnh dưới và cạnh trên của bảng. Toàn bộ bảng sẽ được chia thành các khu vực theo tường, với ô Y và ô Z trên cùng bên phải kết thúc ở các khu vực khác nhau. Do đó, token sẽ không thể di chuyển từ Y sang Z. Mâu thuẫn.

Tùy chọn phức tạp

lớp 8–9

1. Nó sẽ hoạt động. Đặt quả nặng lên bát bên trái và cân bằng 8 kg đường. Nhấc tạ ra và đổ 6 kg đường vào tô bên trái. Hãy đổi túi và thêm vật nặng vào chiếc bát bên phải. Bây giờ ở bát bên trái – 8 kg, bên phải – 12 kg. Để cân bằng, bát bên trái không đủ 1 kg đường mà chúng ta đổ vào. 2. Bạn có thể. Tại hình 4 tâm của bốn đồng xu nằm ở đỉnh của hai tam giác có cạnh 3, 4, 5.

Hình 4

5. Nó không thể. Trước tiên hãy lưu ý rằng tích của hai số có k chữ số là số ( 2 k - 1 ) chữ số hoặc số có 2k chữ số. Thật vậy, số có k chữ số nhỏ nhất $10^{k-} 1$ nhân với chính nó sẽ ra số $10^{2} k-^{2}$, có 2k – 1 chữ số và số có k chữ số lớn nhất nhân với chính nó sẽ nhỏ hơn số có chữ số nhỏ nhất (k + 1) $10^{k}$ nhân với chính nó, do đó kết quả nhỏ hơn số có chữ số nhỏ nhất (2 k + 1) $10^{2} k$. Cho các số $a_{k} a_{k} -_{1}^{…} a_{2} a_{1}$ và $a_{1} a_{2}^{…} a_{k} -_{1} a_{k}$. Hãy tưởng tượng rằng chúng ta nhân chúng thành một cột. Chữ số ngoài cùng bên phải sẽ chứa $a_{1} a_{k}$ (có thể có chữ số mang theo tiếp theo).

63

ĐÁP ÁN,

HƯỚNG DẪN

ing chữ số) và ở chữ số thứ ( 2 k - 1 ) ở bên phải thì có tối thiểu là $a_{1} a_{k}$. Theo điều kiện, $a_{1} a_{k}$ kết thúc bằng 1. Nếu cũng có số mang thì $a_{1} a_{k}$ ít nhất là 11 và ít nhất số mang đó nằm ở chữ số thứ (2 k - 1). Nhưng tích của hai chữ số không thể cho kết quả 11, tức là $a_{1} a_{k}$ thậm chí nhiều hơn. Điều này có nghĩa là ở chữ số thứ ( 2 k - 1 ) sau tất cả các lần chuyển, kết quả phải có ít nhất là 111 (nếu không, kết quả sẽ không phải là số duy nhất), điều này là không thể - sẽ có quá nhiều chữ số trong sản phẩm của chúng tôi (ít nhất là 2k + 1). Do đó không có chuyển tiếp, và $a_{1} = a_{k} = 1$. Khi đó tích các số của chúng ta sẽ nhỏ hơn 2 ◊ $10^{k} -^{1}$ ◊ 2 ◊ $10^{k} -^{1} = 4$ ◊ $10^{2} k^{-} 2$, tức là trong tích có 2k – 1 chữ số. Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào chữ số thứ hai từ bên phải. Có $a_{k} a_{2} + a_{k} -_{1} a_{1}$, có thể có dấu gạch nối. Nếu có sự chuyển tiếp thì ít nhất cùng một sự chuyển tiếp đó sẽ ở chữ số thứ (2 k - 2) và đơn vị ở chữ số thứ (2k - 1) sẽ bị hỏng. Điều này có nghĩa là không có chuyển tiếp và $a_{k} a_{2} + a_{k} -_{1} a_{1} = 1$. Tương tự, chúng ta thấy rằng ở chữ số thứ ba (phải và trái) không có số mang và có 1 ở đó, v.v. Vì vậy, chúng tôi đến giữa và nhận được rằng cũng có 1 không mang theo. Nhưng ở vị trí chính giữa có $a_{1}^{2} +$ … $+ a_{k}^{2}$, không nhỏ hơn 2 (xét cho cùng, $a_{1} = a_{k} = 1 ).$ là một mâu thuẫn. Điều này có nghĩa là không thể lấy được số này chỉ từ các đơn vị.

(

)(

GIẢI PHÁP

đỉnh Tây Nam, B – Đông Nam (hình5). Chúng ta hãy gọi trọng số của một nút lưới là độ dài tối thiểu của đường đi dọc theo lưới từ nó đến đỉnh A và C. Có một mũi tên ở tất cả các nút bên trong, cũng như tại B và D

)

lớp 10–11

2. Xét một góc đối xứng với góc này đối với điểm O. Theo định lý về độ lớn của góc giữa hai dây cung, hai góc này cắt ra hai cung có tổng kích thước 2A trên mỗi đường tròn và 12 góc có tổng kích thước 12A trên cả sáu đường tròn. Vì hình ảnh đối xứng qua O nên mỗi góc cắt ra sáu cung có tổng giá trị là 6A. 6. Chúng ta sẽ sử dụng các ký hiệu chuẩn a, b, c và p cho độ dài các cạnh và bán chu vi của tam giác ABC. Cho đường tròn ngoại tiếp thứ nhất tiếp xúc với đường thẳng BC tại điểm K. Vì KM là đường trung bình của tam giác vuông CKI nên khi quay qua góc $J = 180 \infty -$ – C thì đường thẳng BC trở thành đường thẳng AC. Trong trường hợp này, điểm K đến C, điểm B đến $B_{1}$ và điểm $A_{1}$ đến A (như đã biết, $KB = = CB_{1} = p$ – $a, BA_{1} = B_{1} A = p - c ).$ Do đó $MA = MA_{1}, MB = MB_{1}$. Tam giác cân $A_{1} MA$ và $B_{1} MB$ tương tự nhau (cả hai đều có các góc ở đỉnh M bằng J). Do đó, – MAN = – $MAA_{1} =$ – $MB_{1} B =$ – $MB_{1} N$, theo yêu cầu 7. Trên mỗi cạnh của lưới (đoạn phố) chúng ta đặt các mũi tên theo hướng bắc hoặc đông.

Hình 5

vào và ra như nhau, hãy gọi các nút này là trạng thái cân bằng. Hai mũi tên đi vào các nút trên đoạn BC và CD và một mũi tên đi ra. Hãy gọi các nút này là nút cuối cùng và biểu thị chúng $B_{k}$ trên BC và $C_{k}$ trên CD, trong đó k là trọng số. Và một mũi tên đi vào các nút trên các đoạn AB và AD và hai mũi tên đi ra. Hãy gọi các nút này là các nút bắt đầu và biểu thị chúng là $A_{k}$ trên AB và $D_{k}$ trên AD. Đường đi từ A đến C theo mũi tên. Các đường đi từ C đến A đi ngược chiều với các mũi tên, nhưng chúng ta cũng sẽ coi chúng là những đường đi dọc theo các mũi tên từ A đến C. Mỗi đường đi có độ dài 2n, trọng số của các nút trên nó đầu tiên tăng từ 0 lên n, sau đó giảm từ n xuống 0. Chúng ta sẽ đánh số ngày bắt đầu từ 0 và cũng giả sử rằng các cạnh đi qua có màu xanh lam (màu ban đầu của các cạnh là màu đen). Chúng ta hãy chứng minh bằng quy nạp theo k rằng vào ngày thứ k đúng 4 n k cạnh sẽ có màu xanh, sau đó tất cả các cạnh liên quan đến các nút có trọng số không lớn hơn k sẽ có màu xanh, và tất cả các cạnh màu xanh liên quan đến các nút có trọng số lớn hơn k sẽ chỉ được duyệt một lần. Cơ sở (k = 0). Hãy vẽ bất kỳ đường đi nào từ A đến C. Rõ ràng có một đường đi khác từ A đến C dọc theo các mũi tên chưa đi qua, ví dụ, đối xứng với đường đi trước đối với đường thẳng AC. Hãy đi theo bất kỳ con đường nào như vậy. Tất cả bốn cạnh liên quan đến A và C (tức là các nút có trọng số 0) đều được đi qua. Mỗi nút có trọng số 1 có độ 3 và một đường đi qua mỗi nút. Bước cảm ứng. Hãy để ngày thứ k đến. K liên kết đầu tiên của bất kỳ đường dẫn nào đều đi ra khỏi các nút có trọng số từ 0 đến k – 1. Theo giả thuyết quy nạp, chúng sẽ đi dọc theo các cạnh màu xanh. Điều tương tự cũng đúng với k liên kết cuối cùng. Điều này có nghĩa là không thể có nhiều hơn 2 n k cạnh màu đen trên đường đi. Hãy chứng minh rằng có một đường đi có đúng 2 n k cạnh như vậy. Không còn nút trọng số nào trên các cạnh của hình vuông