Giải đấu thành phố XXXIX

Thế Vận Hội

Giải đấu thành phố XXXIX

MỤC ĐÍCH CỦA TOUR THU (2017)

Tùy chọn cơ bản

lớp 8–9

$1. (3)^{1}$

ki bằng 1). Chứng minh rằng các đoạn của đường tròn này đi qua các ô màu trắng tổng cộng không quá 1/3 chiều dài của nó. M. Evdokimov

Có 5 số khác 0. Đối với mỗi hai trong số họ, tổng và sản phẩm của họ được tính toán. Hóa ra năm tổng là dương và năm tổng là âm. Có bao nhiêu sản phẩm dương tính và bao nhiêu sản phẩm âm tính? B.Frenkin

1. (4) Có tồn tại số không nguyên x và y mà { x } ◊ { y } = { x + y } không? (Ở đây { x } là phần phân số của số x.) M. Evdokimov

2. (4) Có 99 số tự nhiên liên tiếp sao cho số nhỏ nhất chia hết cho 100, số tiếp theo chia hết cho 99, số thứ ba chia hết cho 98, …, số cuối cùng chia hết cho 2? P.Kozhevnikov

3. (4) Cho tam giác ABC vẽ đường phân giác CL. Đường phân giác của cạnh AC cắt đoạn CL tại điểm K. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và AKL tiếp xúc nhau. M.Panov

4. (4) Có 100 đồng xu giống hệt nhau xếp thành một hàng. Trong số đó có đúng 26 cái giả, chúng nằm thành một hàng. Tiền thật có trọng lượng như nhau, tiền giả không nhất thiết phải nặng bằng nhau nhưng nhẹ hơn tiền thật. Làm thế nào bạn có thể tìm thấy ít nhất một đồng xu giả trong một chiếc cân trên chiếc cân hai đĩa mà không có quả cân? R.Zhenodarov

5. (4) Có 21 số khác 0. Đối với mỗi hai trong số họ, tổng và sản phẩm của họ được tính toán. Hóa ra một nửa số tiền là dương và một nửa là âm. Số lượng sản phẩm tích cực lớn nhất có thể là bao nhiêu? B. Frenkin, S. Kudrya

6. (5) Trên một trong các ô vuông của cánh đồng 8 ¥ 8 có một kho báu được chôn cất. Bạn dùng máy dò kim loại ở trung tâm của một trong các ô góc của trường này và di chuyển, di chuyển đến tâm của các ô liền kề bên cạnh. Máy dò kim loại sẽ tắt nếu bạn thấy mình đang ở trong phòng giam nơi kho báu được chôn cất hoặc ở một trong các phòng giam liền kề ở bên cạnh. Có thể chỉ ra một cách đáng tin cậy ô nơi kho báu được chôn cất bằng cách đi bộ một khoảng cách không quá 26 không? M. Evdokimov

7. (5) Vẽ một hình tròn bán kính 1 trên bàn cờ sao cho bên trong chứa toàn một hình vuông màu trắng (cạnh hình vuông là

1

Trong ngoặc đơn sau số bài toán là số điểm tối đa được thưởng cho lời giải của nó. Kết quả được tóm tắt theo ba nhiệm vụ đã đạt được kết quả tốt nhất.

lớp 10–11

4. a) (2) Một quả bóng nào đó có thể cắt các đường tròn có bán kính 1, 2, 3 và 4 trên các mặt của một số tứ diện đều không? b) (3) Câu hỏi tương tự, nếu bán kính của quả bóng phải bằng 5. M. Evdokimov

5. (5) Có một con chip 100 ¥ 100 ở ô vuông phía dưới bên trái của bảng. Lần lượt di chuyển theo chiều ngang và chiều dọc vào ô liền kề (lần đầu tiên di chuyển theo chiều ngang), đầu tiên cô đến ô phía trên bên trái, sau đó đến ô phía trên bên phải. Chứng minh rằng có hai ô A và B sao cho chip di chuyển từ A đến B ít nhất hai lần. A. Gribalko

Tùy chọn phức tạp

lớp 8–9

1. (4) Có trọng lượng sắt 6 kg, đường và túi không trọng lượng với số lượng không giới hạn.

52

KVANT 2018/№1

chất lượng, cũng như cân không chuẩn có hai đĩa: cân ở trạng thái cân bằng nếu trọng lượng ở đĩa bên trái và đĩa bên phải theo tỷ lệ 3:4. Trong một lần cân, bạn có thể đặt bất kỳ quả cân nào hiện có lên cân và thêm một túi đường có đủ vào một trong các bát để cân bằng các bát (những túi đường như vậy có thể được sử dụng để cân tiếp). Bạn có thể cân được 1 kg đường không? G. Galperin 2. (4) Cho hai đồng xu có bán kính 1 cm, hai đồng xu có bán kính 2 cm và hai đồng xu có bán kính 3 cm. Bạn có thể đặt hai đồng xu lên bàn sao cho chúng chạm vào nhau và thêm từng đồng xu một để đồng xu tiếp theo chạm vào ít nhất hai đồng xu đã nằm sẵn. Một đồng xu mới không thể được đặt trên một đồng tiền cũ. Có thể đặt nhiều đồng xu sao cho tâm của ba đồng xu nằm trên cùng một đường thẳng không? E. Bakaev 3. (6) Xem bài toán M2486 “Bài toán Kvant trong ba tháng thay vì mười hai.

4. a) (1) Xem bài toán M2490 và “Bài toán Kvant. b) (3) Xem bài toán M2490 b “Bài toán Kvant. c) (4) Xem bài toán M2490 trong “Bài toán Kvant.”

5. (9) Các chữ số của số tự nhiên n > 1 được viết theo thứ tự ngược lại và có kết quả nhân với n. Có thể có một số chỉ được viết bằng đơn vị? F. Petrov 6. (9) Xem bài toán M2487 “Bài toán Kvant.

6. a) (5) Xem bài toán M2488 và “Bài toán Kvant. b) (5) Xem bài toán M2488 b “Bài toán Kvant.

lớp 10–11

1. a) (1) Xem bài toán M2490 và “Bài toán Kvant. b) (2) Xem bài toán M2490 b “Bài toán Kvant. c) (3) Xem bài toán M2490 trong “Bài toán Kvant.”

2. (5) Cho một hình lục giác đều có tâm O. Vẽ sáu đường tròn bằng nhau có tâm ở các đỉnh của hình lục giác sao cho điểm O nằm bên trong các đường tròn. Một góc có độ lớn A với đỉnh O cắt sáu cung trên các đường tròn này. Chứng minh rằng tổng giá trị của các cung này là 6 A. E. Bakaev

3. (6) Xem bài toán M2486 “Bài toán Kvant”.

4. (8) Xem bài toán M2489 “Bài toán Kvant”.

5. a) (3) Xem bài toán M2491 và “Bài toán Kvant. b) (4) Xem bài toán M2491 b “Bài toán Kvant. c) (4) Xem bài toán M2491 trong “Bài toán Kvant.”

6. (10) Cho tam giác ABC. Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tiếp xúc với cạnh AB, và gọi $A_{1}$ và $B_{1}$ lần lượt là điểm tiếp tuyến của hai đường tròn ngoại tiếp khác có cạnh BC và AC. Gọi M là trung điểm của đoạn IC, các đoạn $AA_{1}$ và $BB_{1}$ cắt nhau tại điểm N. Chứng minh rằng các điểm $N, B_{1}, A$ và M nằm trên cùng một đường tròn. F.Ivlev

7. (10) Thành phố có hình vuông n ¥ n, được chia thành các khối 1 ¥ 1. Các đường phố chạy từ Bắc xuống Nam và từ Tây sang Đông. Mỗi ngày một người đi bộ từ góc tây nam đến góc đông bắc vào buổi sáng, chỉ di chuyển về phía bắc hoặc phía đông, và vào buổi tối anh ta quay trở lại, chỉ di chuyển về phía nam hoặc phía tây. Mỗi buổi sáng, anh ấy chọn con đường của mình sao cho tổng chiều dài của những đoạn đường quen thuộc (những đoạn mà anh ấy đã đi qua theo hướng này hay hướng khác) là tối thiểu và mỗi buổi tối cũng vậy. Chứng minh rằng trong n ngày anh ta sẽ đi hết các con phố. M. Didin

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi S. Dorichenko, L. Mednikov