Định lý đẳng giác

LỊCH SỬ TOÁN HỌC

Định lý đẳng giác

A. KULIKOVA, D. PROKOPENKO

Phân giác là các đường đẳng giác trùng nhau

bài toán đầu tiên tương đương với bài toán M141 từ “Bài toán Kvant”. Bài toán 1. Trong tam giác ABC, các đường Chevian $AA_{1}, BB_{1}$ và $CC_{1}$ cắt nhau tại một điểm (Hình 2). Hóa ra là $B_{1} A_{1} C$ $C_{1} A_{1} B$. Chứng minh rằng $AA_{1}$ là chiều cao.

Những đường thẳng đi qua đỉnh của một góc và đối xứng qua tia phân giác của nó ta gọi là đường đẳng giác đối với góc này. Bài viết sẽ thảo luận về định lý quan trọng sau đây và các ứng dụng của nó. Định lý về đường đẳng giác. Cho OB và OC là hai đối giác của góc AOD. Đường thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm Q, đường thẳng AB và CD cắt nhau tại điểm P. Khi đó OP và OQ cũng là hai góc đối với góc AOD. Hình 1 cho thấy hai trường hợp có thể xảy ra về vị trí của các đường đẳng giác OP và OQ so với góc AOD. Để thuận tiện, chúng tôi sẽ đánh dấu các cạnh của góc ban đầu bằng màu xanh lam và các đoạn nằm bên trong các góc bằng nhau (đoạn AB và CD hoặc AC và BD) bằng màu đỏ và xanh lục.

Hình 2

Lời giải. Chúng ta hãy áp dụng định lý đẳng giác cho góc chưa gấp $BA_{1} C$ và các đường đẳng giác $A_{1} C_{1}$ và $A_{1} B_{1}$. Khi đó $A_{1} A$ và $A_{1} P$ là các đường đẳng giác trùng nhau của góc $BA_{1} C$, tức là $A_{1} A$ – phân giác của góc $BA_{1} C$. Do đó, $A_{1} A$ là chiều cao của tam giác ABC. Bài toán 2 (Olympic St. Petersburg, 2008). Cho tứ giác nội tiếp ABCD. Các đường chéo AC và DB cắt nhau tại điểm E và các đường thẳng chứa các cạnh đối diện cắt nhau tại điểm F (Hình 3). Trên đường thẳng EF ta lấy điểm sau

Hình 1

Ở cuối bài viết, chúng tôi trình bày một bổ đề hữu ích về tính chất và kiểm tra các đường đẳng giác và chứng minh định lý. Đầu tiên, hãy cho thấy định lý này hoạt động như thế nào. Hãy chuyển sang nhiệm vụ. Hãy bắt đầu với trường hợp đặc biệt khi các đường đẳng giác OB và OC trùng nhau.

Bài viết này là phiên bản sửa đổi của báo cáo của học sinh lớp 11 A. Kulikova tại Hội nghị Toán học dành cho học sinh Moscow (MMKSH) năm 2016. Tác giả thứ hai của bài báo là người đứng đầu công trình này.

Hình 3

P đó là BPE EPC. Chứng minh rằng APE DPE. Lời giải. Lưu ý rằng PE là các đường đẳng giác trùng nhau của góc BPC. Điểm E và F là các điểm trên đường đẳng giác này. Điểm A và D lần lượt là giao điểm của các đường thẳng FB và CE, FC và BE. Theo định lý đẳng giác thì PA và PD cũng là hai góc đẳng giác của góc BPC. Sledova-

42

KVAN T 2018/№4

Do đó, các đường thẳng PA và PD đối xứng nhau qua phân giác của góc BPC. Có thể chứng minh rằng trường hợp APE DPE 180 q không được thực hiện, tức là APE DPE, đây là điều cần phải chứng minh. Điều thú vị là đối với lời giải bài toán thực tế là tứ giác nội tiếp không được sử dụng, điều đó có nghĩa là phát biểu bài toán đúng với mọi tứ giác lồi.

Bài tập 1. Trong tam giác ABC, các đường cevian $AA_{1}, BB_{1}$ và $CC_{1}$ cắt nhau tại một điểm. Hóa ra $A_{1} A$ là phân giác của góc $C_{1} A_{1} B_{1}$. Chứng minh rằng $AA_{1}$ là chiều cao.

Bài toán 3 (Giải đấu các thành phố, 2006). Trong tam giác ABC vẽ đường phân giác AA c và chọn điểm X trên đoạn AA c (Hình 4). Đường thẳng BX cắt AC tại B c và đường thẳng CX cắt AB tại C c.

3. Trên đường thẳng chứa phân giác góc B của tam giác ABC, chọn hai điểm K và L sao cho B nằm giữa K và L. Đường thẳng CK và AL cắt nhau tại điểm M, đường thẳng AK và CL cắt nhau tại điểm N. Chứng minh rằng MBA NBC. 4 (St. Petersburg, Thế vận hội FML 239, 2016). Trong tứ giác lồi ABCD, các tia AB và DC cắt nhau tại điểm P, các tia BC và AD cắt nhau tại điểm Q. Trên đường chéo AC có một điểm T sao cho các tam giác BTP và DTQ lần lượt bằng nhau. Chứng minh rằng BD P PQ. Gợi ý. Từ sự giống nhau của các tam giác, suy ra TB và TD là các tam giác vuông góc PTQ. Điểm A và C lần lượt là giao điểm của các đường PB và QD, BQ và PD. Theo định lý đẳng giác thì TA và TC là hai đường đẳng giác trùng nhau. Do đó TC là phân giác của góc PTQ. Cần lưu ý rằng các tam giác ATP và ATQ có hai góc giống nhau (tại sao góc P và Q bằng nhau?) và có một cạnh chung nên chúng bằng nhau.

Trường hợp chung

Điều thú vị là thoạt nhìn hai bài toán tiếp theo sử dụng những cấu trúc hoàn toàn khác nhau. Bài toán 4 là về một hình tam giác và bài toán 5 là về một hình bình hành. Bài toán 4. Trên các cạnh AB và AC của tam giác nhọn ABC, các hình vuông ABFE và ACGT được dựng bên ngoài (Hình 5). Chứng minh rằng điểm P cắt nhau

Hình 4

Các đoạn A c B c và CC c cắt nhau tại điểm P, các đoạn A c C c và BB c cắt nhau tại điểm Q. Chứng minh rằng các góc PAC và QAB bằng nhau. Lời giải. Đối với lời giải bài toán, một lần nữa thuận tiện hơn khi coi phân giác A c A là hai đường đẳng giác trùng nhau của góc BAC. Các điểm X và A c nằm trên các cạnh đẳng giác, C c và B c nằm trên các cạnh của góc. Điểm Q và P lần lượt là giao điểm của các đường XB c và A c C c, XC c và A cBc. Theo định lý về các đường đẳng giác thì AQ và AP cũng là các đường đẳng giác của góc BAC, tức là PAC QAB.

Bài tập

2 (Ukraine, selection for the International Olympiad, 2004). Let M be a point on the bisector AL of triangle ABC. A straight line is drawn through L, intersecting AB at point P, and extending AC beyond point C to point Q. Let N be the intersection of BM and PQ, and K the intersection of QM and BC. Chứng minh rằng NAL KAL.

Hình 5

of the straight lines CF and BG lies at height $AA_{1}$. Bài toán 5 (A. Polyansky, Moscow Oral Olympiad in Geometry, 2010). Perpendiculars AM to BC and AN to CD are dropped from vertex A of the parallelogram ABCD, P is the intersection point of BN and DM (Fig. 6). Chứng minh hai đường thẳng AP và MN vuông góc. It turns out that both of these bài toán are special cases of the following construction.

44

KVAN T 2018/№4

Vậy CK là phân giác của góc BCD. Before moving on to bài toán 8, try solving this exercise yourself.

Bài tập 7 (P. Kozhevnikov). On the diagonal AC of the rhombus ABCD, an arbitrary point E is taken, different from points A and C, and on the lines AB and BC, points N and M are taken, respectively, so that AE = NE and CE = ME. Let K be the intersection point of the lines AM and CN. Prove that points K, E and D lie on the same line.

Bài toán 8 (V. Yasinsky, I.F. Sharygin Geometry Olympiad, vòng trao đổi thư từ, 2013). Trên cạnh AB của tam giác ABC lấy một điểm tùy ý $C_{1}$ (Hình 10).

Hình 10

Điểm $A_{1}, B_{1}$ trên các tia BC và AC sao cho $AC_{1} B_{1}$ ‘ $BC_{1} A_{1}$ ACB. Trực tiếp $AA_{1}$ Và $BB_{1}$ cắt nhau tại một điểm $C_{2}$.

góc $AC_{1} B$. Then the lines $C_{2} C_{1}$ and $CC_{1}$ are symmetrical with respect to the line AB. Consequently, line $C_{2} C_{1}$ always passes through point C c, symmetrical to point C relative to line AB. Interestingly, the $AC_{1} B_{1}$ $BC_{1} A_{1}$ ACB condition was not fully used. Chúng tôi chỉ sử dụng đẳng thức $AC_{1} B_{1}$ $BC_{1} A_{1}$. The next bài toán is taken from A. Akopyan’s book “Geometry in Pictures”, so we will give it almost without text. In lời giải the concept of isogonally conjugate points will be used. «Kvant» already wrote about this - for example, in the article by P. Kozhevnikov “Isogonally conjugate points” in No. 1 for 2016. Bài toán 9. Prove that AX, BY, CZ intersect at one point (Fig. 11, a). Lời giải. Consider the angle BAC, and this angle is drawn AZ and AY. Giả sử BY cắt CZ tại điểm D (Hình 11b). By the theorem on isogonals, AX c and AD are isogonals of the angle BAC. Note that X and X c are isogonally conjugate points. Consequently, AX c and AX – are also isogonalized. This means that straight lines AX and AD coincide. Các đường thẳng AX, BY, CZ đi qua điểm D.

Bài tập 8. Chứng minh rằng với điều kiện bài toán 9 (xem hình 11, b) các đường thẳng X c Z c, Hz, AC cắt nhau tại một điểm. Gợi ý. Xét góc ZAZc. Từ bài toán 9 chúng ta biết rằng AXc và AX là các đường đẳng giác của góc này.

Hình 11

Chứng minh rằng mọi đường thẳng $C_{1} C_{2}$ đều đi qua một điểm cố định. Lời giải. Xét góc chưa mở $AC_{1} B$, trong đó $C_{1} B_{1}$ và $C_{1} A_{1}$ là đẳng giác. Điểm C và $C_{2}$ lần lượt là giao điểm của các đường $AB_{1}$ và $BA_{1}, AA_{1}$ và $BB_{1}$. Theo định lý đẳng giác, $C_{1} C_{2}$ và $C_{1} C$ là hai đẳng giác

Các đường thẳng X c Z và Z c X cắt nhau tại điểm B. Khi đó các đường thẳng XX và X c Z c cắt nhau tại một điểm Q sao cho AB và AQ là các đường đẳng giác của góc ZAZc.

(Còn tiếp)

54

KVAN T 2018/№4

Hình 6

có thể được đặt trên hiện trường (Hình 6, b). Như vậy, chúng ta đã chứng minh được số lượng tàu ba tầng lớn nhất có thể đưa vào thực địa là 9.

KÍNH KÍNH KÍNH “QUANTA”

CÂU HỎI VÀ THÁCH THỨC

1. Người du hành sẽ đến (theo hình xoắn ốc) tới Bắc Cực. 2. Từ các điểm nằm trên vĩ tuyến cách xích đạo 5 km về phía Nam. 3. Việc di chuyển như vậy chỉ chứng tỏ sự khép kín của bề mặt trái đất; Một ví dụ về điều này có thể là bề mặt của một hình trụ. 4. Để đo vĩ độ, chỉ cần nhìn vào độ cao của Sao Bắc Đẩu so với đường chân trời. Và việc xác định kinh độ cũng tương đương với việc đồng bộ đồng hồ với nơi xuất phát, đòi hỏi phải có những chiếc đồng hồ bấm giờ chính xác, được phát minh sau những chuyến đi đầu tiên vòng quanh thế giới. 5. Lịch tàu chậm một ngày. Sau khi đi vòng quanh Trái đất từ ​​đông sang tây, các thủy thủ hoàn thành ít hơn một vòng mỗi ngày so với cảng đứng yên mà họ khởi hành và nơi họ quay trở lại. 6. Bóng của Trái đất trên Mặt trăng khi nguyệt thực có dạng hình tròn - bóng như vậy chỉ có thể xảy ra từ một quả bóng. 7. Do tự quay nên Trái đất bị dẹt, bán kính cực ngắn hơn bán kính xích đạo. Do đó, những điểm gần tâm Trái đất nhất là các cực của hành tinh và trong số con người - những người tham gia các chuyến đi bằng tàu ngầm ở Bắc Cực. 8. Không, vì sự giảm trọng lượng có thể là do độ dốc của Trái đất và độ lệch của đường thẳng đứng có thể là do sự phân bổ khối lượng không đồng đều trên hành tinh. 9. Ở cực, độ cao của Mặt trời so với đường chân trời hầu như không thay đổi trong ngày. Do đó, bóng của một thứ gì đó “đi theo vòng tròn” trong ngày, luôn giữ nguyên độ dài. 10. Mặc dù đối với người quan sát ở xích đạo, quỹ đạo của Mặt trời thay đổi tùy theo thời gian

năm, nó luôn dành nửa ngày phía trên đường chân trời. 11. Điều đó sẽ xảy ra, vì chuyển động theo quỹ đạo của Trái đất dẫn đến sự chuyển động biểu kiến ​​của Mặt trời quanh nó với chu kỳ một năm. 12. Hiệu ứng nhiệt của các tia càng đáng kể, chúng rơi càng dốc trên bề mặt của các vật thể nằm thẳng đứng, và đây chính xác là cách các tia ở các nước vùng cực đến từ Mặt trời mọc thấp phía trên đường chân trời. 13. Vài nghìn năm trước không có ngôi sao sáng nào ở khu vực Bắc Cực của thế giới. Việc định hướng vào ban đêm được thực hiện theo vòng quay hàng ngày của bầu trời, chỉ ra hướng “đông-tây” đáng tin cậy hơn là “bắc-nam”. 14. Còn tùy để làm gì. Để điều hướng trên biển khơi và quan sát thiên văn bằng mắt thường, hệ thống Ptolemaic thuận tiện hơn; để phóng vệ tinh - chắc chắn là hệ thống Copernicus. 15. Ở gần cực, thành phần nằm ngang của từ trường Trái đất nhỏ nên mômen quay tác dụng lên kim từ cũng nhỏ. 16. Từ trường Trái đất gần như đều và chỉ tạo ra một mômen quay tác dụng lên kim, trong khi từ trường không đồng nhất của nam châm vĩnh cửu ngoài chuyển động quay còn gây ra chuyển động tịnh tiến của kim.

KINH NGHIỆM VI MÔ

Nếu bạn thực hiện các phép đo và tính toán cẩn thận, thì khoảng cách “trên bản đồ” phải lớn hơn khoảng cách “trên địa cầu”; chúng sẽ chỉ trùng nhau nếu đường đi giữa các điểm đi dọc theo đường xích đạo hoặc dọc theo kinh tuyến.

LỖI Ở ĐÂU?

Có lỗi trong mỗi văn bản được đề xuất. 1. Không có số nào thỏa mãn điều kiện bài toán. Thật vậy, nếu a – b = 1 thì $a^{2} b^{2} =$ a + b = 119 = 7 17, tức là 119 là hợp số. Do đó, trong lời giải đã cho thu được điều kiện cần (a = 60, b = 59), nhưng việc xác minh cho thấy rằng điều kiện đó là chưa đủ. Điều này cũng có thể được hiểu là một điều kiện không chính xác (tổng của các số phải là số nguyên tố) hoặc là lỗi trong lời giải và đáp số (sau khi tính hiệu của các bình phương, người ta có thể kết luận ngay rằng các số được yêu cầu không tồn tại). 2. Tất nhiên, số 10 không được tính đến vì nó bị thiếu trong danh sách các số nguyên tố nhỏ hơn 40