Giải đấu toán học XXIV mang tên A.P. Savin

24

KVAN T 2018/Số 8

Giải đấu toán học XXIV mang tên A.P. Savina

Giải đấu Đấu tranh Toán học XXIV mang tên A.P. Savin được tổ chức từ ngày 26 tháng 6 đến ngày 2 tháng 7 năm 2018 tại vùng Kostroma tại trung tâm giải trí Berendeyev Polyany. Giải đấu có sự tham gia của 34 đội học sinh tốt nghiệp lớp 5–9 đến từ Moscow, St. Petersburg, Yaroslavl, Ivanovo, Vologda và Zhukovsky. Bài toán được sáng tác và lựa chọn bởi ban giám khảo dưới sự lãnh đạo của A. Gribalko và các giải đấu cao cấp: M. Khachaturyan - lớp 5, E. Bakaeva - lớp 6, A. Peshnin - lớp 7, M. Artemyev - lớp 8. Căn cứ vào kết quả của đội tuyển Olympic, các đội lớp 6 được chia thành hai giải: hạng nhất và hạng nhất. Các đội sau đã trở thành đội chiến thắng và đoạt giải của giải đấu (đội trưởng tại giải đấu được ghi trong ngoặc). Liên đoàn 5 lớp, bằng cấp 1: Vologda Mathematical Lyceum-1 (A. Chegodaev), bằng cấp 2: Moscow-1543-5-1 (I. Raskina), bằng cấp 3: Moscow-1543-5-2 (I. Raskina). Major League 6 lớp Bằng cấp 1: Moscow-TsDO-6B (K. Skoptsov), Bằng cấp 2: Moscow-2007-6-1 (R. Hristolyubov) và Zhukovsky-5-6 (I. Ivanov-Pogodaev), Bằng cấp 3: Zhukovsky-6 (E. Rudkova) và Moscow-1514-6-2 (O. Morozova). Giải đấu đầu tiên gồm 6 lớp, bằng cấp 1: Yaroslavl-6 (I. Preobrazhensky), bằng tốt nghiệp cấp 2: Moscow-1514-6-1 (O. Morozova), bằng tốt nghiệp cấp 3: Moscow-New School-6 (N. Martynova). Liên đoàn gồm 7 lớp, bằng cấp 1: Yaroslavl-7 (I. Preobrazhensky), bằng cấp 2: Moscow-1329-7 (E. Bakaev), bằng cấp 3: Moscow-2007-7-1 (O. Agakhanova). Liên đoàn gồm 8 lớp, bằng cấp I: Moscow-2007-8 (O. Derkach), bằng cấp II: Yaroslavl-8 (I. Preobrazhensky), bằng cấp III: St. Petersburg-30 (A. Sadovnikov) và Moscow-1543-8 (O. Zaslavsky).

Những người chiến thắng trong Olympic cá nhân lớp 5 là Vladislav Burmistrov (Moscow, trường 444) và Anton Mordakin (Moscow, trường 1543). Người chiến thắng tuyệt đối (học sinh ghi được nhiều điểm nhất) Olympic lớp 6: Abo Polina (St. Petersburg, trường 369), Ilya Kondkov (Moscow, trường 1514), Tikhonov Grigory (Moscow, trường 1543). Ở lớp 7, người chiến thắng là Ekaterina Kobysheva (Moscow, trường 1329), và ở lớp 8 – Timofey Dyudin (Moscow, trường 2007). Thông tin chi tiết về giải đấu có thể được tìm thấy trên trang web tursavin.ru

Yêu thích bài toán Hãy gọi một số tự nhiên là số siêu nguyên tố nếu tổng các chữ số của nó là số nguyên tố. Gọi một số tự nhiên là số siêu nguyên tố nếu tổng các chữ số của nó là số siêu nguyên tố. Số siêu nguyên tố lớn nhất có thể xuất hiện liên tiếp trong chuỗi tự nhiên là bao nhiêu? D. Shnol 2. (8) Trên bàn cờ có kích thước 100 ¥ 100 có 100 quân xe được đặt không tấn công lẫn nhau. Đối với mỗi quân trong số đó, chúng tôi đã tính toán tổng đường đi nhỏ nhất mà quân xe còn lại phải đi để đến ô vuông nơi quân xe này tọa lạc. Chứng minh rằng nếu đối với một số hai quân xe thì các giá trị thu được bằng nhau thì tâm của các ô chứa các quân xe này cách đều tâm bàn cờ. A. Gribalko 3. (6–8) Coward, Dunce và Experience nhận được ba chai moonshine. Họ biết rằng ở một số chai, sức mạnh của nó là 45%, ở một số chai là 65% và ở một số chai là 70%. Họ có thể đo lường bất kỳ lượng ánh trăng nào. Sau khi uống một ly, mỗi người uống rượu sẽ bỏ nó đi khi và chỉ khi chất trong đó mạnh hơn

$1. (8)^{1}$

1 V

Lớp mà nó được cung cấp được ghi trong ngoặc đơn sau số bài toán.

25

“Lượng tử”

VÌ

TRẺ HƠN

SHK O LNIK O V

trong một chiếc vòng cổ? (Chiếc vòng cổ được nối thành một chiếc nhẫn.) E. Gorskaya

60%. Làm thế nào cả ba người họ có thể rót đầy ly và uống cùng lúc, xác định được độ mạnh của mỗi chai? S. Tokarev

4. (8) Tất cả các số tự nhiên từ 1 đến $n^{2}$ cần được sắp xếp trong một bảng có kích thước n ¥ n sao cho trong mỗi “góc” của ba ô tổng các số không chia hết cho 3. Điều này có thể xảy ra với n nào? A. Gribalko

5. (8) Trong số mười sáu đồng xu, có hai đồng tiền giả và nhẹ hơn. Nếu bạn đặt một đồng tiền giả và một đồng tiền thật lên cân thì cân sẽ cân bằng nhưng hai đồng tiền thật nặng hơn hai đồng tiền giả. Có thể tìm thấy cả hai đồng tiền giả trong không quá sáu lần cân không? A. Zaslavsky, K. Knop

6. (8) Petya và Vasya chơi một trò chơi trên dải ô có 1 ¥ N. Petya đi trước, đặt một con chip vào bất kỳ ô nào. Tiếp theo, Vasya di chuyển nó 3 hoặc 4 ô theo bất kỳ hướng nào, sau đó Petya di chuyển con chip theo cách tương tự, v.v. Bạn không thể đặt một con chip trên cùng một ô hai lần. Người nào không thể di chuyển sẽ thua. Người chơi nào có thể đảm bảo chiến thắng bất kể nước đi của đối thủ? E. Bakaev

7. (8) Shah có N viên đá nặng 1, 2,…, N carat (N > 2). Anh ta muốn làm một chiếc vòng cổ từ một số viên sao cho khối lượng của hai viên đá lân cận bất kỳ trong chiếc vòng cổ khác nhau ít nhất hai lần. Số lượng đá lớn nhất có thể có là bao nhiêu?

8. (7–8) Ở ô góc của bàn cờ có kích thước 100 ¥ 100 ô vuông có một quân cờ vua. Petya và Vasya lần lượt thực hiện các nước đi cho họ sao cho khoảng cách từ tâm của ô ban đầu đến tâm của ô mà vua đang ở sẽ tăng lên sau mỗi lần di chuyển. Người nào không thể thực hiện bước tiếp theo sẽ thua. Ai có thể thắng, bất kể nước đi của đối thủ? A. Gribalko

9. (8) Trong một giải đấu bóng chuyền, đội có hiệu số thắng thua ghi được ít điểm nhất. Số đội nhỏ nhất có thể tham gia giải đấu này là bao nhiêu? (Mỗi đội chơi một trận với mỗi đội, bao gồm nhiều trận cho đến khi một trong các đội có ba chiến thắng. Nếu tỷ số trận đấu là 3: 0 hoặc 3: 1 thì thắng 3 điểm, thua 0 điểm; nếu tỷ số trận đấu là 3: 2 thì thắng - 2 điểm, thua - 1 điểm.) A. Zaslavsky

10. (7–8) Gọi hình bảy cạnh là hình chữ nhật nếu nó có bốn góc vuông. Chứng minh rằng bất kỳ hình bảy cạnh bên phải nào cũng có thể cắt thành bảy hình bảy cạnh bên phải. A. Peshnin

11. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh BC đánh dấu điểm K, trên cạnh CD đánh dấu điểm L sao cho CK = DL và – DAL = – LAK.