Hình học của giấy ca rô

27

“Lượng tử”

VÌ

TRẺ HƠN

SHK O LNIK O V

Hình học của giấy ca rô

A.ONOPRIENKO

CHÚNG TÔI SẼ KỂ VỀ MỘT câu chuyện THÚ VỊ, được biên soạn dựa trên tài liệu từ giới toán học tại Đại học Sư phạm Tổng hợp Mátxcơva $(МПГУ).^{1}$ Một tờ giấy ca rô bình thường ẩn chứa nhiều điều bất ngờ. Chúng ta sẽ thảo luận về một số bài toán, các công trình được chế tạo trên mặt phẳng ca-rô. Như trong các bài toán xây dựng tiêu chuẩn, bạn có thể sử dụng thước không chia để vẽ các đường thẳng, nhưng chúng ta không cần đến compa. Theo quy định, la bàn chứ không phải thước kẻ cho phép người ta “đo” các đoạn trong các bài toán xây dựng (chẳng hạn như không phải để tìm chiều dài của chúng mà để dựng một đoạn bằng một đoạn đã cho chẳng hạn). Ở đây công cụ đo lường chính là chiếc máy bay! Các chữ in hoa A, B, C,… trong mọi bài toán đều biểu thị nút thắt của tờ giấy ca-rô. Chúng ta lấy cạnh của một ô là 1. Hãy bắt đầu hành trình của mình với một nghiên cứu bài toán đơn giản. Bài toán 1. a) Vẽ đoạn AB trên giấy ca rô không chạy dọc theo các cạnh của ô và đánh dấu điểm C. Đánh dấu nút D sao cho AB = CD. b) Xây dựng tất cả các phân đoạn như vậy. Bạn đã nhận được bao nhiêu trong số đó? Hình 1 cho thấy các tùy chọn khác nhau cho đoạn AB. Hãy thử giải bài toán cho mỗi phương án này. Bạn có thể chọn điểm C tại bất kỳ nút nào (từ lời giải của chúng tôi, vị trí của nó không quan trọng).

Hình 1

Lời giải. a) Hãy dựng một tam giác vuông dọc theo các cạnh của lưới, một trong các cạnh của nó là đoạn AB (nói chung, việc này có thể được thực hiện theo hai cách, nhưng hãy sửa một trong số chúng). Sau đó, chúng ta di chuyển tam giác này đến điểm C. Cạnh của tam giác này không đi dọc theo các cạnh của lưới sẽ bằng đoạn AB, vì các tam giác bằng nhau ở hai cạnh. Đây sẽ là CD phân đoạn mong muốn (Hình 2, a). lời giải tương tự phù hợp với bất kỳ đoạn AB nào khác. b) Nói chung, ở điểm a) không thể dựng được tam giác mà phải xem xét cẩn thận đoạn AB. Để đến điểm B, chúng ta phải đi từ điểm A qua bên phải 5 ô và lên trên 2 ô (các số này được cho cho đoạn đầu tiên, các đoạn khác số ô sẽ khác). Nếu đi từ điểm C 5 ô theo một hướng và 2 ô theo hướng vuông góc

1 Các câu lạc bộ đã mở cửa từ năm 2016 và năm nay họ đã nhận được sự hỗ trợ từ Bộ Giáo dục Mátxcơva trong khuôn khổ sự kiện “Trường Đại học Sư phạm Quốc gia Mátxcơva (tổ chức các câu lạc bộ dành cho học sinh Mátxcơva trên cơ sở Đại học Sư phạm Quốc gia Mátxcơva).” Thông tin thêm về vòng tròn có sẵn tại mathcircles.mpgu.org

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20181103

Hình 2