Bài toán M2534—M2537; F2541—F2544

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: math@kvant.ras.ru và Phys@kvant.ras.ru, tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2534-M2537 đã được cung cấp tại Giải đấu Thành phố XL.

Bài toán M2534–M2537, F2541–F2544

M2534. Các hiệp sĩ, kẻ nói dối và ca sĩ sống trên đảo; mọi người đều biết về mọi người, cái nào là cái nào. Họ xếp hàng tất cả cư dân trên đảo năm 2018 và yêu cầu mọi người trả lời “Có” hoặc “Không” cho câu hỏi: “Trên đảo có nhiều hiệp sĩ hơn những kẻ nói dối?” Các cư dân lần lượt trả lời và để những người khác có thể nghe thấy. Các hiệp sĩ trả lời sự thật, những kẻ nói dối nói dối. Mỗi ca sĩ đều trả lời giống như hầu hết những người trả lời trước anh ấy, và nếu có đáp số “Có” và “Không” bằng nhau, anh ấy sẽ đưa ra bất kỳ câu nào trong số này đáp số. Hóa ra là đáp số “Có” chính xác là 1009. Số lượng người hát theo lớn nhất có thể có trong số những cư dân trên đảo là bao nhiêu? M.Kuznetsov

M2535. Bạn cần viết ra một số có dạng 77…7, chỉ sử dụng số bảy (chúng có thể được viết từng chữ một hoặc nhiều chữ liên tiếp) và chỉ được phép cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa, cũng như dấu ngoặc đơn. Đối với số 77, ký hiệu ngắn nhất chỉ đơn giản là 77. Có số nào thuộc dạng 77…7 có thể được viết bằng các quy tắc này với ít số bảy hơn ký hiệu thập phân của nó không? S.Markelov

$М2536^{*}$. Ban đầu, trên một mặt phẳng ca rô màu trắng, có hữu hạn ô được tô màu đen. Nằm trên máy bay

đa giác rô giấy M, có nhiều hơn một ô. Nó có thể được di chuyển mà không cần quay theo bất kỳ hướng nào đến bất kỳ khoảng cách nào, nhưng sao cho sau khi dịch chuyển, nó nằm “trong các ô”. Nếu sau ca tiếp theo có đúng một ô của M nằm trên một ô trắng của mặt phẳng thì ô trắng này được sơn đen và thực hiện ca tiếp theo. Chứng minh rằng có một ô màu trắng không bao giờ bị sơn đen, cho dù chúng ta dịch chuyển M bao nhiêu lần theo quy tắc đã mô tả. D. Zakharov

$М2537^{*}$. Có vô số điểm có tọa độ tự nhiên được đánh dấu trên trục số. Khi một bánh xe lăn dọc theo trục, mỗi điểm được đánh dấu mà bánh xe đi qua sẽ để lại một dấu chấm trên đó. Chứng minh rằng bạn có thể chọn một R thực sao cho nếu bạn lăn một bánh xe bán kính R dọc theo trục, bắt đầu từ 0 thì trên mỗi cung của bánh xe có kích thước $1 ^\circ$ sẽ có ít nhất một vết được đánh dấu. I. Mitrofanov

F2541. Một vòng nhỏ lăn xuống từ đỉnh của một hình trụ nằm ngang không có tốc độ ban đầu (tỷ lệ giữa bán kính vòng và bán kính hình trụ là nhỏ). Hệ số ma sát giữa bề mặt của hình trụ và vòng là P 1. Khi

24

KVAN T 2018/№11

Từ đây giá trị điện trở mong muốn sẽ có dạng

Bảng 1

X i ◊ Â R j

$R_{i} =$

$j \pi i$

 R j - X i

.

$j \pi i$

Chúng ta sẽ sử dụng công thức thu được ở chế độ xấp xỉ số liên tiếp. Với xấp xỉ bằng 0, chúng tôi xem xét

$R_{i} 0 = X_{i}$.

Tiếp theo, chúng tôi tính toán các giá trị điện trở theo xấp xỉ đầu tiên:

X i ◊ Â X j

$R_{i} 1 =$

$j \pi i$

 X j - X i

$j \pi i$ và trong phép tính gần đúng thứ hai:

$X_{i}$ ◊ $Â R_{j} 1$

R i 2 =

$j \pi i$

$Â R_{j} 1 - X_{i}$

.

$j \pi i$

Chúng tôi tiếp tục quá trình tính toán lặp đi lặp lại cho đến khi giá trị kết quả không còn thay đổi đáng kể. Ví dụ, chúng tôi trình bày kết quả tính toán các giá trị điện trở bằng số điện trở. Bảng 1 bên trái hiển thị các giá trị điện trở của điện trở vòng. Các cột ở phía bên phải của bảng chứa các giá trị gần đúng tương ứng của các đại lượng này. Cột đầu tiên mô hình hóa các giá trị đo được, tức là xấp xỉ bằng 0. Các cột tiếp theo mô hình xấp xỉ tăng dần.

theo trật tự chung. Do đó, cột thứ tư chứa các giá trị điện trở được tính toán trong phép tính gần đúng thứ ba. Có thể thấy sai số trong phép tính gần đúng này chỉ khoảng 1,5% (đối với điện trở có điện trở 6 Ohms). Số lần lặp để đạt được độ chính xác tính toán cần thiết phụ thuộc vào tỷ lệ các giá trị điện trở của các điện trở vòng. Một ví dụ về sự hội tụ chậm được minh họa trong Bảng 2, trong đó điện trở của điện trở thứ sáu tăng gấp 10 lần. Ngoài ra, chúng tôi lưu ý những điều sau. Trong một số trường hợp tính toán lặp lại, giá trị mong muốn hội tụ theo hình xoắn ốc (các giá trị tăng cao và đánh giá thấp thay thế giá trị được tính toán). Ví dụ của chúng tôi đề cập đến tùy chọn này. Sử dụng giá trị trung bình cho một cặp lần lặp cho phép bạn xây dựng thuật toán tính toán nhanh.

F2532. Mối quan hệ giữa độ cao của núi h và độ sâu của trục H (Hình 1), nếu chu kỳ dao động nhỏ của một con lắc toán học ở đỉnh núi và ở đáy trục là như nhau? (Giả sử Trái đất là một quả cầu đồng nhất, không quay.)

Bảng 2