Bài toán 17—20

38

KVAN T 2019/№1

2 (E. Gorsky). Hai số tự nhiên x và y (x d y) được viết theo thứ tự tăng dần lên bảng. Petya viết $x^{2}$ lên một tờ giấy, sau đó thay các số trên bảng bằng các số x và y – x, viết chúng theo thứ tự tăng dần. Với những con số mới trên bảng, anh ta thực hiện thao tác tương tự, v.v., cho đến khi một trong các số trên bảng trở thành số 0. Tổng các số trên tờ giấy lúc này là bao nhiêu? 3 (E. Gorsky, S. Dorichenko). Viết các số tự nhiên x, y, z lên bảng. Petya viết tích của hai người lên một tờ giấy, rồi viết số thứ ba lên bảng giảm đi 1. Với số mới

với ba số trên bảng, anh ta thực hiện thao tác tương tự, v.v., cho đến khi một trong các số trên bảng trở thành số 0. Tổng các số trên tờ giấy lúc này là bao nhiêu? Gợi ý cho bài toán 2 và 3: đưa ra cách giải thích hình học của số đếm. Chúng tôi khuyên bạn nên nghiên cứu thêm bài viết của E. Bakaev “Con trai, con gái, bảng, đồ thị…” («Kvant» Số 3, 2015), cũng thảo luận về cách tiếp cận hình học đối với các bài toán tổ hợp như vậy. (Ghi chú của biên tập viên)

K O NK URS I ME N A.P.S AVINA

Chúng tôi tiếp tục cuộc thi tiếp theo về lời giải toán học bài toán. Chúng chủ yếu nhắm đến học sinh từ lớp 7 đến lớp 9, nhưng chúng tôi hoan nghênh học sinh ở mọi lứa tuổi tham gia. Cuộc thi được tổ chức chung với tạp chí «Kvant». Gửi lời giải bài toán mà bạn có thể xử lý bằng e-mail đến địa chỉ: savin.contest@gmail.com hoặc bằng thư thông thường đến địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant» (được đánh dấu “Cuộc thi mang tên A.P. Savin”). Ngoài họ và tên của bạn, hãy cho biết thành phố, trường học và lớp nơi bạn học cũng như địa chỉ bưu điện gửi về của bạn. Chúng tôi hoan nghênh việc tham gia cuộc thi không chỉ của từng học sinh mà còn của các đội (trong trường hợp này, một tác phẩm sẽ được gửi kèm theo danh sách những người tham gia). Bạn có thể tham gia bắt đầu từ bất kỳ chuyến tham quan nào. Những người chiến thắng sẽ nhận được bằng tốt nghiệp từ tạp chí «Kvant» và các giải thưởng. Bài tập, lời giải và kết quả được xuất bản trên Sites.google.com/view/savin-contest Chúng tôi chúc bạn thành công!

17. Có 5 thẻ ghi các số 3, 4, 5, 6, 7. Có bao nhiêu thẻ có thể cộng các số có 5 chữ số chia hết cho 55? (Thẻ “6” không thể lật lại và sử dụng làm “9”.) P. Kozhevnikov

18. Petya và Vasya mỗi người mua một bộ công cụ xây dựng “Lắp ráp một khối tứ diện”. Hàm tạo chứa 4 hình tam giác - các mặt tương lai của tứ diện. Trên đường đi, Petya bị mất một hình tam giác. Nhận thấy điều này ở nhà, anh ta cùng với hài cốt của nhà thiết kế của mình chạy đến Vasya. So sánh các chi tiết, họ phát hiện ra rằng trong số bốn hình tam giác của Vasya có ba hình giống như của Petya. “Tuyệt vời, giờ tôi đã biết mình đã thua tam giác nào rồi!” - Petya kêu lên. “Nhưng tại sao giá của các nhà thiết kế lại khác nhau?” - anh nghĩ. Có thể nào bộ xây dựng của các chàng trai khác nhau trong một hình tam giác, nhưng từ mỗi bộ xây dựng có thể lắp ráp khối tứ diện của riêng mình? L. Emelyanov

19. a) Có 100 số tự nhiên khác nhau mà trung bình cộng của bất kỳ số nào trong số đó đều là số tự nhiên? b) Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta thêm điều kiện là hai số bất kỳ trong số một trăm này phải là số nguyên tố cùng nhau? P.Kozhevnikov

20. Cho một hình vuông ca rô có kích thước 100 x 100. Một số ô của nó có thể bị đóng. Chúng ta sẽ nói rằng các quân domino 1 và 2 được sắp xếp theo cách cho phép nếu mỗi quân chiếm đúng hai ô mở và không có hai quân domino nào có một đoạn ranh giới chung (nhưng các quân domino có thể có các đỉnh chung). Số ô nhỏ nhất có thể đóng được là bao nhiêu để: a) 2; b) 100 quân domino không thể xếp được theo cách cho phép? E. Bakaev