Về một tứ giác trực tâm

20

KVAN T 2019/№7

Về một tứ giác trực tâm

A. ZASLAVSKY

Bài viết này dành cho việc xây dựng hình học từ bài toán M2553 “Bài toán Kvant (bài toán này cũng đã được đề xuất tại Cúp tưởng niệm XXII A.N. Kolmogorov). Trong quá trình nghiên cứu thiết kế này, cũng như làm việc với I. Bogdanov và P. Kozhevnikov, khá nhiều sơ đồ hình học thú vị đã được phát hiện mà chúng tôi muốn kể cho độc giả. Nhưng hãy bắt đầu với bản gốc bài toán. Bài toán M2553*. Hãy ký hiệu I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC, bằng A 1, B 1 và C 1 – các điểm tiếp tuyến của nó với các cạnh BC, CA và AB, lần lượt là K và L – tâm của các đường tròn nội tiếp các tứ giác AB 1 IC 1 và BA 1 IC 1, tương ứng là H – đáy đường cao,

Dưới đây, để ngắn gọn, chúng ta sẽ gọi hai hình vuông góc với nhau nếu chúng giống nhau, định hướng bằng nhau và góc giữa các đoạn tương ứng của các hình bằng 90°. Nói cách khác, chúng ta gọi các hình là tương tự vuông góc nếu một trong hai hình kia có thể thu được bằng phép quay đồng nhất (tức là thực hiện tuần tự phép quay và tính đồng nhất) với góc quay 90°. Lời giải bài toán. Trong trường hợp AC = BC, các điểm P, Q và C 1 trùng nhau và tam giác KC 1 L vuông và cân nên khẳng định bài toán là đúng. Hơn nữa, không mất tính tổng quát, ta giả sử AC < BC. Từ tính đối xứng của tứ giác BA 1 IC 1 so với VI (Hình 2) dễ dàng thấy rằng

Hình 2

Hình 1

rơi từ điểm C (Hình 1). Phân giác của góc AHC cắt đường thẳng A 1 C 1 tại điểm P, phân giác của góc BHC cắt đường thẳng B 1 C 1 tại điểm Q. Chứng minh Q là trực tâm của tam giác KLP. Điều kiện bài toán rõ ràng có nghĩa là mỗi điểm K, L, P, Q là trực tâm của tam giác tạo bởi ba điểm còn lại. Bộ bốn điểm như vậy được gọi là trực tâm.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20190703

đường thẳng C 1 A 1 (cũng nằm trên đó P) vuông góc với đường thẳng BI (cũng nằm trên đó L). Tương tự, các đường thẳng C 1 QB 1 và AKI vuông góc với nhau. Hơn nữa, vì C 1 K và C 1 L là các phân giác của góc vuông AC 1 I và BC 1 I nên ta có PH P C 1 K A C 1 L P QH. Do đó, các tam giác KIC 1 và QC 1 H đồng dạng vuông góc. Ngoài ra, các tam giác LIC 1 và C 1 PH vuông góc với nhau, nghĩa là điều tương tự cũng đúng với các tứ giác KILC 1 và QC 1 PH, do đó PQ và KL vuông góc với các đường chéo tương ứng của các tứ giác vuông góc giống nhau. Bây giờ chỉ cần chứng minh PK A QL là đủ. Đặt $X HP \cap AI$ và $Y HQ \cap$

22

KVAN T 2019/№7

uuuuur uuur đẩy HC 1 vào C 1 I. Tâm của phép đồng đẳng quay đó là hình chiếu của đỉnh C 1 lên cạnh huyền IH của tam giác vuông IC 1 H. Như vậy, E trùng với hình chiếu của C 1 lên IH.

Điểm D

Vì PH A QH và PD A DQ nên điểm D nằm trên đường tròn (PHQ) (Hình 5).

Bài tập

5. Từ mô tả thu được của điểm D, suy ra rằng các đường thẳng CD, IC 1 và KL cắt nhau tại một điểm. Gợi ý. Các đường thẳng này là các tiếp tuyến chung và là đường tâm của các đường tròn. 6. Chứng minh bằng cách khác theo định lý Desargues rằng a) D nằm trên AB, b) E nằm trên IH. Gợi ý. Bạn có thể áp dụng định lý Desargues cho các tam giác a) KLC 1 và QPH, b) QYL và PXK.

Cuối cùng, chúng ta hãy lưu ý thêm một thực tế nữa về các điểm P và Q: đường thẳng PQ đi qua C. Điều này có thể được chứng minh, chẳng hạn như sau, bằng cách sử dụng các bộ tứ điều hòa. Xét các điểm U và V của giao điểm CH với B 1 C 1 và A 1 C 1 tương ứng (Hình 6). Việc chứng minh không khó (ví dụ:

Hình 5

Bài 4. Chứng minh E cũng nằm trên đường tròn (PHQ).

Như chúng ta đã biết, tam giác PDQ là tam giác vuông cân, D là trung điểm của cung PQ nên HD là phân giác của góc PHQ. Điều này có nghĩa là đường thẳng HD trùng với AB, tức là D nằm trên AB. Lưu ý rằng D cũng nằm trên đường tròn ( KC 1 L ) có đường kính KL. Do đó D là điểm tại đó đường tròn (KLC 1) cắt AB lần thứ hai. Đã biết (ví dụ, xem bài “Tứ giác nội tiếp và đường đứt nét” ở «Kvant» Số 1 năm 2010, bài toán 3) rằng tiếp tuyến chung trong của đường tròn nội tiếp tứ giác AB 1 IC 1 và BA 1 IC 1, khác IC 1, đi qua C. Cho tiếp tuyến này là CD c, trong đó D c là một điểm trên đường thẳng AB. Khi đó C 1 và D c ​​nằm trên đường tròn có đường kính KL, vì KD c A LD c (phân giác của các góc giữa đường thẳng CD c và AB) và tương tự KC 1 A LC 1 (phân giác của các góc giữa đường thẳng IC 1 và AB). Khi đó D c trùng với D.

Hình 6

sử dụng định lý Ceva cho tam giác C 1 UV), các đường thẳng UP, VQ và C 1 H cắt nhau tại một điểm, do đó U, V, H và điểm $PQ \cap CH$ tạo thành một bộ tứ điều hòa. Nhưng các đường thẳng C 1 B 1, C 1 A 1, C 1 H và C 1 C cũng tạo thành một tứ giác điều hòa, nghĩa là giao điểm $PQ \cap CH$ trùng với C.

Bài 7. Chứng minh các đường thẳng AH và AD đối xứng qua AF. Gợi ý. Sử dụng bài tập 5.