Sóng trong đĩa nông (giao thoa)

PHÒNG THÍ NGHIỆM “QUANTA”

Sóng trong đĩa nông (giao thoa)

A.KOSOUROV

Khi ném sỏi xuống nước, hãy quan sát các vòng tròn mà chúng tạo thành. Kozma Prutkov

KHÔNG CÓ HIỆN TỤC NÀO PHỔ BIẾN TRONG THIÊN NHIÊN hơn sự lan truyền của sóng. Sóng trên mặt nước, âm thanh, ánh sáng, sóng vô tuyến, sự truyền biến dạng từ phần này của vật rắn sang phần khác - tất cả đều là các quá trình sóng. Cơ học lượng tử cho thấy chuyển động của các hạt vi mô bị chi phối bởi các định luật sóng. Tất cả các sóng này có bản chất vật lý khác nhau, tốc độ truyền khác nhau, tần số và bước sóng khác nhau. Nhưng bất chấp điều này, chuyển động của bất kỳ sóng nào cũng có nhiều điểm chung. Sau khi nghiên cứu các định luật truyền sóng cùng loại, hầu hết chúng có thể được truyền đi trên thực tế mà không làm thay đổi sóng loại khác.

Xuất bản năm «Kvant» số 1, 1971.

Trong thực tế, thuận tiện nhất là nghiên cứu sóng trên mặt nước. Sóng là gì? Ném một hòn đá xuống ao. Trên mặt ngang phẳng lặng của ao sẽ xuất hiện những vòng tròn rải rác. Những điểm trên mặt nước mà sóng tới bắt đầu dao động so với vị trí cân bằng của chúng. Vị trí này tương ứng với một bề mặt nằm ngang. Điểm càng xa nơi hòn đá rơi thì “biết” được về sự rơi của hòn đá càng muộn. Sự xáo trộn lan truyền ở một tốc độ nhất định. Các điểm mà nhiễu loạn đạt tới đồng thời ở cùng một giai đoạn chuyển động dao động, tức là trong cùng một pha. Tốc độ chuyển động của pha này chính là tốc độ của sóng. Nó được đo theo hướng vuông góc với mặt sóng. Đối với các sóng thuộc bất kỳ bản chất nào, luôn có thể chỉ ra các vật thể vật lý bị nhiễu loạn dưới tác động của sóng, tức là độ lệch so với các giá trị cân bằng của nó. Đối với âm thanh, đây là sự tăng giảm áp suất theo chu kỳ. Đối với sóng vô tuyến và ánh sáng, cường độ điện trường (và từ trường) thay đổi nhanh chóng. Đặc tính của tất cả các môi trường không có ngoại lệ là sự nhiễu loạn phát sinh trong một khu vực nhất định sẽ lan truyền từ điểm này sang điểm khác với tốc độ hữu hạn,

36

KVAN T 2020/№2

Cách tốt nhất để quan sát sóng là nhìn vào bóng ở đáy đĩa dưới ánh nắng trực tiếp hoặc ánh sáng của đèn sáng. Mỗi sóng, hoạt động giống như một thấu kính hình trụ, tạo ra một sọc sáng ở đáy tấm theo hình dạng của mặt trước sóng. Tuy nhiên, sóng truyền với tốc độ khoảng 10 cm/s sẽ hợp nhất đối với ánh nhìn cố định trên một tấm cố định. Chúng chỉ nhìn thấy được ở gần nguồn, nơi có biên độ lớn. Để nhìn thấy chúng trên toàn bộ mặt nước, bạn cần quay đầu nhanh. Tương tự như vậy, với chuyển động đầu nhanh chóng, bạn có thể nhìn thấy nan hoa của một bánh xe đang lăn. Thật ấn tượng khi quan sát sóng trên kính mờ của máy ảnh, đặc biệt là máy ảnh khổ lớn. Bằng cách cầm máy ảnh trên tay và lắc nhẹ máy, bạn có thể dễ dàng đảm bảo rằng các sóng có thể nhìn thấy được trên toàn bộ bề mặt. Đồng thời, có vẻ như họ đang chạy rất chậm. Bạn có thể nhìn vào sự phản chiếu của mặt nước trong gương. Những chuyển động nhẹ của gương cũng làm cho sóng có thể nhìn thấy được trên toàn bộ bề mặt. Nhưng thuận tiện nhất là quan sát sóng dưới ánh sáng hoạt nghiệm. Nếu bạn chiếu sáng hệ thống bằng những tia sáng ngắn có tần số bằng tần số của nguồn sóng, thì từ đèn flash này sang đèn flash tiếp theo, sóng sẽ di chuyển một bước sóng và kiểu sóng của sóng sẽ xuất hiện bất động. Loại ánh sáng này cực kỳ dễ đạt được. Chỉ cần bật một bóng đèn nhỏ song song với cuộn dây của nam châm chuông là đủ. Từ khoảng cách 0,5–1 m, nó sẽ chiếu sáng tốt và đồng đều cho hệ thống lắp đặt, đồng thời sẽ nhìn thấy rõ kiểu bóng bất động của sóng. Để chụp ảnh, tốt hơn là sử dụng ánh sáng mặt trời trực tiếp. Bây giờ gắn một “nĩa” dây uốn cong có các miếng nút chai ở hai đầu vào búa chuông. Khoảng cách giữa hai đầu của nĩa là 2–3 cm. Nếu hạ hai đầu xuống nước cùng một lúc, bạn sẽ nhận được hai nguồn sóng dao động không chỉ đồng bộ hoặc cùng pha mà còn cùng pha, tức là sóng từ cả hai nguồn sẽ xảy ra cùng một lúc. Hình ảnh sẽ trông giống như thế này. Các vùng có biên độ lớn tỏa ra từ nguồn sóng, được phân tách bằng các vùng “im lặng”.

Vùng trung tâm có biên độ lớn nằm vuông góc với đường nối các nguồn. Cả vùng im lặng và vùng có biên độ cao đều đi qua giữa các nguồn. Nghiên cứu hình ảnh giao thoa bằng thước sẽ cho thấy khoảng cách giữa hai cực đại trên đường nối hai nguồn bằng một nửa khoảng cách giữa hai bướu, tức là một nửa bước sóng. Nếu bạn thay đổi khoảng cách giữa các nguồn thì số lượng dải biên độ lớn cũng sẽ thay đổi. Khoảng cách giữa các nguồn càng lớn thì càng có nhiều “lông” trong quạt của chúng ta. Nhưng khoảng cách giữa các cực đại trên đường nối các nguồn luôn bằng một nửa bước sóng. Do đó, tổng số dải có biên độ cực đại sẽ lớn gấp đôi số bước sóng phù hợp với khoảng cách giữa các nguồn. Theo đó, nếu khoảng cách giữa các nguồn nhỏ hơn một nửa bước sóng thì sẽ không có hiện tượng giao thoa nào cả. Những nguồn như vậy hoạt động như một, tạo ra một hệ thống sóng tròn. Điều này có thể được nhận thấy bằng cách giảm dần khoảng cách giữa các nguồn. Cũng xin lưu ý rằng, nếu chúng ta tiếp tục cho mặt sóng đi qua bướu ở một số vùng có biên độ lớn, chúng ta sẽ gặp phải tình trạng lõm ở vùng lân cận. Nói cách khác: khi đi qua vùng 0, pha của sóng thay đổi thành một nửa dao động toàn phần. Bây giờ hãy tưởng tượng rằng chúng ta không có hai chiếc búa mà là hai nguồn sáng phát ra sóng ánh sáng và chúng ta đặt một màn vuông góc với mặt nước. Chúng ta sẽ thấy những vùng được chiếu sáng tương ứng với giao điểm của màn hình và những vùng có biên độ lớn, những vùng tối, không sáng. Nói cách khác, chúng ta sẽ thấy các vân giao thoa tối và sáng. Chúng ta sẽ nói về cách thực hiện các thí nghiệm giao thoa trong quang học vào lúc khác, nhưng bây giờ chúng ta hãy thử giải thích điều chúng ta đã thấy. Hãy vẽ cả hai hệ sóng trên một tờ giấy như thể chúng bị đóng băng tại một điểm nào đó (Hình 2). Chúng tôi đánh dấu các đỉnh sóng bằng màu đỏ và phần lõm bằng màu xanh lam. Hãy đánh số lại các sóng, đánh dấu bằng những con số giống nhau

37

PHÒNG THÍ NGHIỆM

Cơm. 2. Cộng các dao động trong quá trình giao thoa sóng của hai nguồn điểm. Đường màu đỏ là bướu, đường màu xanh là chỗ lõm. Các vòng cung dày lên cho thấy các sóng tạo thành

được phát ra từ các nguồn cùng một lúc. Từ hình vẽ có thể thấy rằng các sóng có cùng số lượng đồng thời đến trên một đường cách đều các nguồn. Điều này có thể hiểu được vì các đường truyền giống nhau đến các điểm của sóng trực tiếp này. Dựa trên nguyên tắc chồng chất, chúng ta có thể kết luận rằng trên đường này cả chiều cao của bướu và độ sâu của chỗ lõm sẽ tăng gấp đôi. Bên phải và bên trái của đường này là các điểm mà tại đó các đỉnh của hệ thống sóng này trùng với các đáy của hệ thống sóng khác. Trong khi sóng từ một nguồn sẽ gây ra sự lệch hướng lên tại những điểm này, thì sóng từ nguồn khác tại cùng thời điểm sẽ gây ra sự lệch hướng xuống tại những điểm này. Tổng độ lệch tại các điểm này sẽ gần bằng 0. Hãy kết nối tất cả các điểm như vậy bằng một đường màu đen liên tục. Nếu bạn đánh số các chỗ lồi và lõm, bạn có thể dễ dàng kết luận rằng tới tất cả các điểm trên đường bên phải, các sóng bên trái truyền một đường dài hơn một nửa bước sóng so với các sóng bên phải. Đối với đường bên trái, sóng bên phải trễ một nửa bước sóng. Bên phải và bên trái của đường số 0 là giao điểm của bướu thứ nhất với bướu thứ hai,

“QUANTA”

thứ hai với thứ ba, v.v. Dễ hiểu rằng đây cũng là những vùng có mức tối đa. Bằng cách kết nối những điểm này, chúng ta sẽ có được một đường thẳng, cho đến các điểm mà hệ thống sóng này chậm hơn hệ thống kia một bước sóng. Tiếp tục phân tích bản vẽ, bạn có thể tìm thấy tất cả các đường số 0 và tất cả các đường tối đa. Các dòng chúng ta nhận được được các nhà toán học gọi là hyperbol. (Hyperbol là quỹ tích của các điểm, hiệu khoảng cách từ đó đến hai điểm - tiêu điểm - là không đổi.) Bây giờ đã hoàn toàn rõ ràng tại sao khoảng cách giữa các cực đại trên đường nối hai nguồn lại bằng một nửa bước sóng. Thật vậy, các sóng đến điểm giữa của đường này trong cùng một pha và tăng cường lẫn nhau. Nếu bạn di chuyển từ điểm này thêm một nửa bước sóng, thì đường đi của một sóng sẽ tăng một nửa bước sóng và sóng kia sẽ giảm cùng một lượng. Độ chênh lệch đường đi giữa các sóng tại thời điểm này (sự chênh lệch đường truyền của sóng từ nguồn đến điểm) sẽ bằng một bước sóng và các sóng sẽ lại tăng cường lẫn nhau. Điều này sẽ xảy ra mỗi nửa bước sóng. Mức tối đa tương ứng với chênh lệch đường dẫn bằng 0 được gọi là nhiễu cực đại bằng 0 hoặc nhiễu bậc 0. Cực đại với độ lệch đường đi bằng một bước sóng là cực đại của bậc giao thoa đầu tiên, v.v. Bậc giao thoa cực đại được xác định bởi số nguyên gần nhất với 2d O, trong đó d là khoảng cách giữa các nguồn và O là bước sóng. Bây giờ, hãy thử tự phân tích nó bằng cách sử dụng hình vẽ và có thể kiểm tra bằng thực nghiệm xem hình ảnh sẽ thay đổi như thế nào nếu một trong các nguồn phát ra sóng bị trễ một nửa chu kỳ hoặc một số phần khác của nó. Điều gì sẽ xảy ra nếu sự dịch chuyển giữa các dao động thay đổi ngẫu nhiên? Để thực hiện thử nghiệm các sóng có sự lệch pha, việc tạo ra các đầu của ngã ba có độ dài khác nhau là đủ.

39

TOÁN HỌC

một nửa - với tỷ số 4:3. Chứng minh rằng tại một thời điểm nào đó tỷ số trên bảng điểm là hòa. Lời giải. Hãy xem xét một chuỗi có các phần tử là sự khác biệt giữa số bàn thắng được ghi bởi đội thứ nhất và đội thứ hai. Yếu tố đầu tiên của chuỗi thể hiện sự khác biệt ở đầu hiệp hai, yếu tố cuối cùng là sự khác biệt ở cuối hiệp hai. Với mỗi bàn thắng được ghi, một phần tử mới của chuỗi sẽ xuất hiện (nghĩa là mỗi phần tử của chuỗi tương ứng với bản cập nhật tỷ số trên bảng điểm). Vì phần tử đầu tiên của chuỗi là –1, phần tử cuối cùng là 1 và cứ hai giá trị liền kề chênh nhau 1, theo định lý giá trị trung gian rời rạc thì có một phần tử của chuỗi bằng 0. Yếu tố này tương ứng với thời điểm tỷ số trên bảng tỷ số là hòa. Bài toán 3. Ở một quốc gia nào đó, một người được coi là giàu nếu lương của anh ta cao hơn lương của thủ tướng. Ở đất nước này, đàn ông giàu thích cưới phụ nữ nghèo. Chứng minh rằng có thể đặt mức lương của thủ tướng sao cho số đàn ông giàu bằng số phụ nữ nghèo. (Tất cả mức lương trong nước đều khác nhau. Hãy xem xét rằng mức lương có thể là bất kỳ số thực nào.) Lời giải. Hãy sắp xếp theo thứ tự tăng dần tất cả các mức lương hiện có trong cả nước: $z_{1}, z_{2}$, … $, z_{n}$, biểu thị mức lương của thủ tướng bằng Z. Hãy xác định dãy số tự nhiên như sau: $a_{k}$ bằng hiệu giữa số lượng nam giàu và nữ nghèo, nếu $z_{k} Z z_{k} 1$. Ngoài ra, $a_{0}$ (tương ứng $a_{n} )$ có cùng chênh lệch nếu $Z z_{1}$ (tương ứng $Z > z_{n} ).$ Với định nghĩa này, bất kỳ hai phần tử liền kề nào của chuỗi $a_{k}$ và $a_{k} 1$ khác nhau 1, vì với sự thay đổi tương ứng trong lương của Thủ tướng, một người có mức lương $z_{k} 1$ trở nên giàu có, làm giảm sự khác biệt hiện tại đi 1 nếu người này là phụ nữ hoặc tăng 1 nếu anh ta là đàn ông. Phần tử đầu tiên của chuỗi tương ứng với tình huống khi tất cả người dân trong nước đều giàu có (ngoại trừ chính thủ tướng), và sau đó $a_{0}$ 0. Theo đó, phần tử cuối cùng sau -

VÒNG TRÒN

phương trình có nghĩa là tình huống mà tất cả mọi người đều nghèo và $a_{n} 0$. Theo định lý giá trị trung gian rời rạc, tồn tại k sao cho $a_{k} 0$. Sau đó chúng ta đặt mức lương của thủ tướng tương ứng với giá trị k này. Bài toán 4. Có 77 điểm được đánh dấu trên đường tròn, trong đó không có điểm nào đối xứng về đường kính. Chứng minh rằng có thể vẽ đường kính đi qua một trong các điểm sao cho có các điểm bằng nhau ở hai bên đường kính. Lời giải. Hãy vẽ đường kính của hình tròn qua một điểm được đánh dấu tùy ý và tô màu một nửa của hình tròn là màu xanh lam và nửa còn lại là màu đỏ. Nếu có số điểm bằng nhau ở hai nửa thì đường kính cần tìm đã được tìm thấy. Mặt khác, chúng ta xác định trình tự như sau: $a_{1}$ bằng hiệu giữa số điểm được đánh dấu trong phần màu xanh và phần màu đỏ đối với một vị trí đường kính nhất định. Chúng ta sẽ dần dần xoay đường kính xung quanh tâm của hình tròn (các nửa màu của hình tròn quay theo nó) và mỗi khi một điểm được đánh dấu rời khỏi đường kính hoặc rơi vào nó, chúng ta viết một phần tử mới của dãy (cũng bằng hiệu giữa số điểm được đánh dấu ở phần màu xanh và phần màu đỏ). Phần tử cuối cùng của dãy tương ứng với vị trí của đường kính khi nó lại đi qua điểm được đánh dấu đầu tiên. Ở vị trí này, đường kính quay 180°, nửa xanh và đỏ đổi chỗ cho nhau. Do đó, phần tử cuối cùng của chuỗi ngược lại với phần tử đầu tiên, tức là một trong số chúng là dương và phần tử thứ hai là âm. Vì hai phần tử liền kề bất kỳ của một chuỗi khác nhau 1, theo định lý giá trị trung gian rời rạc, có một phần tử của chuỗi bằng 0. Cần lưu ý rằng phần tử này của dãy tương ứng với vị trí của đường kính đi qua một trong các điểm được đánh dấu, vì tổng số điểm là số lẻ.

Cuối cùng, chúng ta sẽ thảo luận về một loại liên tục rời rạc khác. Hãy tưởng tượng một con châu chấu nhảy theo đường thẳng về phía trước hoặc phía sau. Châu chấu nhảy dọc theo chiều dài không

44

KVAN T 2020/№2

Cơm. 7

Cơm. 9

Cơm. 8

Bằng chứng của nhận định này đã xuất hiện nhiều lần trên các trang «Kvant», chẳng hạn như trên trang đầu tiên của bài viết [3]. Chúng tôi sẽ không sao chép nó ở đây. Trang bị đường thẳng Simson, chúng ta quay trở lại chứng minh Định lý 1. Trong Hình 8, chúng ta thấy rằng các điểm $A_{1}, B_{1}$ và P là hình chiếu của điểm I lên các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác A c B c C. Vì các điểm $A_{1}, B_{1}$ và P nằm trên cùng một đường thẳng nên theo Định lý 2, điểm I nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác A c B c C. Vì CI là phân giác của góc C và I là đường tròn ngoại tiếp tam giác A c B c C. trung điểm của cung A c IB c thì P là trung điểm của A c B c (IP là đường cao trong tam giác cân A c IB c ). Do đó, việc sử dụng đường thẳng Simson cho phép chúng ta có cái nhìn mới về lời giải bài toán 1. Lưu ý rằng đường thẳng Simson ẩn như vậy trong các bài toán không phải là chuyện hiếm gặp.

Một chút lịch sử

Ở đây chúng ta có thể dừng lại và nghỉ ngơi một chút. Hoá ra là thế bài toán 1 đều có câu chuyện riêng của nó. Gần đây, tác giả đầu tiên của bài viết này tình cờ thấy một số cũ của tạp chí “Toán học ở trường” xuất bản năm 1996. Hóa ra là cùng năm đó tại Olympic toàn Nga năm lớp 10 của chúng ta. bài toán 1 trong các ký hiệu khác. Tạp chí đã giới thiệu hai lời giải cái này bài toán. Vector đầu tiên, thuần túy tính toán - chiếm khoảng nửa trang văn bản in, vector thứ hai sử dụng các thuộc tính của phép biến đổi xạ ảnh và quan hệ kép. Tôi đang tự hỏi liệu có những cái hình học dễ tiếp cận hơn không lời giải. Thành quả của những suy nghĩ này đang ở trước mắt bạn. Bây giờ chúng ta hãy quay lại từ năm 1996 hơn 20 năm trước, đến năm 1973. Vì vậy, “Bài toán Kvant, bài toán M178, tác giả – Igor Fedorovich Sharygin. Đây bài toán 1 được đưa ra ở dạng tổng quát hơn: thay vì tâm của đường tròn nội tiếp, bạn có thể xét bất kỳ điểm nào trên đường phân giác! Hóa ra bản thân vòng tròn chẳng liên quan gì đến nó cả. Để thuận tiện, chúng tôi đưa ra công thức trong ký hiệu của chúng tôi. Bài toán 2 (khái quát hóa bài toán 1). Từ điểm T nào đó của phân giác góc C của tam giác ABC, ta vẽ các đường vuông góc $TA_{1}, TB_{1}$ Và $TC_{1}$ trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt. Gọi P là giao điểm của các đường $TC_{1}$ Và $A_{1} B_{1}$ (Hình 9). Chứng minh rằng CP chia đôi cạnh AB.

Bài tập. Giải quyết điều này bài toán. Gợi ý. Sử dụng bài toán 1.

Và cuối cùng, hơn một thế kỷ trước, trong cuốn sách cơ bản của D. Efremov “Hình học mới của một tam giác” [1], xuất bản năm 1902 (Hình 10), một định lý đã được đặt ra trùng hợp với bài toán của I.F. Sharygin theo ký hiệu. Nói chung, cuốn sách của D. Efremov có thể được giới thiệu cho tất cả những người yêu thích hình học. Nó chứa đựng một tổng quan lý thuyết phong phú về hình học tam giác.