Hình bình hành của những điểm đáng chú ý

42

KV AN T 2020/№7

sau khi phần trên dừng lại, hướng của nó thay đổi - đây rõ ràng là sợi dây đang được tháo ra. Hành vi này có vẻ bất ngờ đối với một con quay hồi chuyển, bởi vì trên tên lửa, người ta sử dụng chính xác sự bảo toàn hướng quay của con quay hồi chuyển… Ngày nay, giá của món đồ chơi này đã giảm mạnh đến mức các nhà sản xuất thế giới có lẽ đã không còn quan tâm đến nó và việc sản xuất hàng loạt đã ngừng. Thật đáng tiếc, sẽ rất thú vị khi chơi với chiếc áo này, chỉ với

thay thế ba quả nặng bằng một vòng nặng, để phần trên trở nên gần giống với một con quay hồi chuyển thông thường. Nó cũng hữu ích khi giải đố xem lực làm quay trục của một đỉnh treo trên một sợi dây đến từ đâu (có thể nói là bóng ma của lực ly tâm). Và định luật bảo toàn xung lượng góc của hệ biểu hiện như thế nào trong thí nghiệm này? Hãy suy nghĩ về tất cả điều này!

NA M P ISH UT

Hình bình hành của những điểm đáng chú ý

K. KOZERENKO

Có RẤT NHIỀU điểm tuyệt vời liên quan đến tam giác, hơn 30.000 điểm trong số đó đã được đưa vào Bách khoa toàn thư về các trung tâm tam giác (ETC) nổi tiếng của Clark Kimberling. Tất nhiên, nhiều điểm thú vị không chỉ

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200706

riêng của nó, nhưng có liên quan đến những điểm tuyệt vời khác. Ở đây chúng tôi mô tả cách xây dựng rất đều đặn với nhiều điểm đáng chú ý (xem hình). Nó phần lớn tóm tắt các sự kiện và kết quả đã biết từ bài báo của K. Kozerenko và P. Fakanov “Trục Ptolemaic của Tam giác” («Kvant» Số 2, 2017). Ta sử dụng ký hiệu sau: ABC là tam giác tùy ý, M là tâm khối, tức là giao điểm của các đường trung tuyến $AA_{m}, BB_{m}, CC_{m}$, H – trực tâm, O – tâm đường tròn ngoại tiếp, E – tâm đường tròn gồm chín điểm. Ta biết rằng bốn điểm nêu trên cùng nằm trên một đường thẳng (đường thẳng Euler), trong khi E là trung điểm của OH và M chia đoạn OH theo tỷ lệ OM: MH 1: 2. Ví dụ, điều này suy ra từ tính đồng nhất

46

KV AN T 2020/№7

F. Chứng minh tam giác MCD đồng dạng với tam giác MFE. 4. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có đúng 15 ước khác nhau, trong đó có số 1 và chính số đó. 5. Tìm số tự nhiên có bốn chữ số mà ký hiệu thập phân sử dụng đúng hai chữ số khác nhau. 6. Giải phương trình $x^{2} 2 x 8 x 3$.

lớp 10

1. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình $x^{4} 7 x^{2} 2 x 2 0$ nếu bạn biết rằng số 2 1 là một trong các nghiệm của nó. 2. Từ một hộp chứa đồng xu 5 kopecks và 10 kopecks, có thể lấy ra một đồng xu 10 kopecks với xác suất là 5 7. Sau khi thêm vài đồng 5 kopeck vào hộp, xác suất chọn được một đồng xu 10 kopecks từ hộp trở thành 4 11. Số xu 5 kopecks nhỏ nhất được thêm vào hộp là bao nhiêu? 3. Cho hai đường tròn rời nhau, không đường nào nằm trong đường tròn nào. Hai tiếp tuyến ngoài của các đường tròn này cắt hai tiếp tuyến trong tại bốn điểm. Chứng minh rằng bốn điểm này và tâm của các đường tròn đều nằm trên cùng một đường tròn. 4. Với mọi số tự nhiên n, tính tổng

S n

2 ˜ $2^{0} 3$ ˜ $2^{1} 4$ ˜ $2^{2}$ … n 1 ˜ $2^{n} 1$.

5. Hình chữ nhật P được đặt trên giấy ca-rô sao cho các cạnh ngang và cạnh dọc của nó nằm trên các đường lưới, chiều dài các cạnh là 9 và 15 bậc lưới. Tìm số tất cả các hình chữ nhật khác nằm bên trong hình chữ nhật P có các cạnh nằm trên đường lưới và không có điểm chung với các cạnh của hình chữ nhật P. 6. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có đúng 24 ước số khác nhau, bao gồm cả số 1 và chính số đó.

lớp 11

1. Vasya nghĩ ra hai số tự nhiên, nhân tổng của chúng với 8, rồi lấy số kết quả trừ bình phương của một trong các số đó.

số manna. Hóa ra kết quả của những hành động này nhỏ hơn 47 so với tích của các con số dự định. Vasya đã nghĩ đến những con số nào? 2. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình $x^{4} 8 x^{3} 19 x^{2} 12 x 2 0$ nếu bạn biết rằng số 2 + 3 là một trong các nghiệm của nó. 3. Hình thang ABCD có đáy AD và BC ngoại tiếp một đường tròn, các cạnh AB và CD lần lượt tiếp xúc với đường tròn tại các điểm K và L. Tìm tỉ số hai đáy của một hình thang nếu biết rằng $AK : KB k_{1}, DL : LC k_{2}. 4.$ Từ một hộp chứa đồng xu 5 kopecks và 10 kopecks, một đồng xu 10 kopecks

4 7 có thể được lấy ra với xác suất. Sau khi thêm vài đồng xu 10 kopeck vào hộp, xác suất chọn được đồng xu 10 kopeck từ hộp trở nên bằng nhau

7. Số 9 bằng số nhỏ nhất của đồng xu 10 kopeck được thêm vào hộp là bao nhiêu? 5. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình

3 x 2. 4 6. Giải phương trình $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}$ cos 2 x cos n trong số tự nhiên được gọi là tập có thứ tự $x_{1} ; x_{2} ; x_{3} ; x_{4}$ bốn số tự nhiên có tổng bằng n. Tìm xem có bao nhiêu điểm khác nhau lời giải trong số tự nhiên có phương trình $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} 100$.

Khoa vật lý

Lớp 7 1. Xác định tốc độ chuyển động của các đầu kim phút, kim giờ của đồng hồ treo tường (tự đặt các thông số cần thiết). 2. Xác định đường kính của Mặt trời. Được biết, Mặt trăng có bán kính 1700 km, nằm ở khoảng cách 380.000 km, có kích thước biểu kiến ​​tương đương với Mặt trời. Bán kính quỹ đạo của Trái đất là 150 triệu km. 3. Một người đi xe đạp và một người đi bộ đi cùng một lúc đến thành phố lân cận. Đi được nửa đường, người đi xe đạp bị thủng lốp và mất cả tiếng đồng hồ để thay. Kết quả là họ đến thành phố lân cận cùng lúc. Khoảng cách giữa các thành phố là gì? Vận tốc của người đi xe đạp là 15 km/h, vận tốc của người đi bộ là 6 km/h.

51

BÀI KIỂM TRA

NGUYÊN VẬT LIỆU

4. Quả bóng chứa $N_{1}$ nguyên tử helium và $N_{2}$ phân tử hydro. Khi nhiệt độ tăng D 20%, một nửa số phân tử hydro rời khỏi quả bóng và áp suất trong quả bóng tăng E 10%. Tìm tỉ số $N_{2} N_{1}. 5.$ Sau khi mở công tắc K trong mạch như hình 8, số chỉ trên ampe kế thay đổi n 12 lần. Xác định điện trở của ampe kế nếu điện trở của mỗi điện trở R là 100 Ohm và điện trở của nguồn có điện áp không đổi $на-^{Рис.} 8$ không đáng kể.

Phương án 2 1. Tàu chuyển động với vận tốc không đổi v 40 km h. Tìm chiều dài của đoàn tàu nếu tại thời điểm $t_{1} 0$ đầu máy của nó chạm tới biển hiệu km $x_{1} 106$ km, và tại thời điểm $t_{2} 216$ s toa xe cuối cùng của nó đi qua biển báo km $x_{2} 108$ km. 2. Các tải trọng có khối lượng 3 m, m và M được nối thành một hệ như trên Hình 9, sử dụng hai sợi ren không giãn không trọng lượng và một khối không trọng lượng gồm các hình trụ đồng trục được nối cứng có bán kính r và R 2r. Một sợi được quấn chặt trên một hình trụ có bán kính R (nhiều vòng trong một lớp), còn sợi kia được ném qua một hình trụ có bán kính $r. Определите:_{Рис.} 9$ a) tỷ lệ M m mà tại đó hệ sẽ ở trạng thái cân bằng; b) gia tốc của một tải có khối lượng M tại M m. Bỏ qua ma sát ở trục khối và độ trượt của ren. Gia tốc trọng trường là g. 3. Một khối lượng m có khối lượng 100 g được treo vào một lò xo được giữ ở vị trí mà lò xo bị giãn ’ $x_{1} 7$ cm và trục của nó thẳng đứng. Sau khi thả tải mà không dùng lực đẩy, nó bắt đầu dao động, lúc đó độ nén cực đại của lò xo là ’ $x_{2} 3$ cm. Xác định độ cứng k của lò xo. 4. Một quá trình 1–2–3 được thực hiện trên một khí lý tưởng, trong đó sự phụ thuộc của áp suất khí p vào nhiệt độ T của nó có dạng như trên Hình 10. Thể tích tối đa của khí trong quá trình này lớn hơn thể tích tối thiểu bao nhiêu lần?

Hình 10

5. Từ các giá trị điện trở đã cho: 120 Ohm, 140 Ohm, 160 Ohm, 180 Ohm, 200 Ohm, 220 Ohm, chọn giá trị gần nhất với điện trở tương đương của mạch như trên Hình 11, trong đó R = 100 Ohm. Biện minh cho sự lựa chọn đáp số.

Hình 11

lớp 11

Phương án 1 1. Xe va chạm với một vật đứng yên. Sau một thời gian $t_{1} 1$ s sau khi va chạm, khối dừng lại, và sau một thời gian khác $t_{2} 3 c$ xe lại va vào khối đó. Xác định vận tốc của xe $v_{т}$ giữa các lần va chạm nếu xe chuyển động đều giữa các lần va chạm và khối được giảm tốc đều với gia tốc a 2 m $с^{2}. 2.$ Trên một bàn nằm ngang có một khối khối lượng m 1 kg nối với một vật nặng có khối lượng 2m bằng hai sợi dây không dãn không trọng lượng và hai khối không trọng lượng, như hình 12. Đoạn thẳng sợi ren của khối di động là sợi thẳng đứng, sợi dây gắn vào thanh nằm ngang. Hệ số Hình 12 Hệ số ma sát của khối trên bàn P 0,4. a) Xác định gia tốc của vật có khối lượng m. b) Phải tác dụng lực ngang nào vào vật để tải tăng với tốc độ không đổi? Gia tốc trọng trường g 10 m $с^{2}. 3.$ Quả bóng chứa $N_{1}$ nguyên tử helium và $N_{2}$ phân tử hydro. Với nhiệt độ ngày càng tăng

53

BÀI KIỂM TRA

nhưng tại thời điểm điện áp trên cuộn dây bằng U 3 V thì năng lượng từ trường của cuộn dây sẽ bằng W 2,25 μJ.

Olympic “Thế giới nano điện tử”

Yêu thích bài toán

lớp 10

1. a) Một hòn đá được ném thẳng đứng lên trên với vận tốc 5 m/s. Xác định đường đi của hòn đá trong giây đầu tiên của chuyến bay. b) Xác định vận tốc ban đầu của một hòn đá được ném thẳng đứng từ ban công lên trên nếu khi tốc độ này tăng gấp ba lần, quãng đường mà hòn đá di chuyển trong giây đầu tiên của chuyến bay không đổi. Bỏ qua sức cản của không khí. Gia tốc rơi tự do g 10 m $с^{2}. 2.$ Kostya Inochkin chạy vào lớp học vật lý và dùng keo siêu dính giữ chặt ba đồ vật vào hai hộp giống hệt nhau. Sau đó, anh ta cân các hộp trên cân lò xo - khối lượng của mỗi hộp là 3 kg. Kostya thả các hộp với tốc độ ban đầu bằng không. Một trong số chúng bắt đầu rơi với gia tốc g, còn vật kia rơi với gia tốc 1,5 g. Những món đồ nào và Kostya đã bảo quản chúng như thế nào trong hộp? Khối lượng của hộp rỗng là bao nhiêu? 3. Một chiếc xe chuyển động không ma sát trên đường ray nằm ngang. Mưa làm tăng khối lượng của xe với tốc độ P’ m’ t 2 kg s. Tại thời điểm ban đầu, khối lượng của xe là M50 kg và tốc độ của nó là $v_{0} 5$ ms. Xe sẽ chuyển động với tốc độ bao nhiêu và gia tốc bằng bao nhiêu khi khối lượng của nó tăng gấp đôi? Giọt mưa rơi theo phương thẳng đứng. 4. Thể tích của một mol khí lý tưởng đơn nguyên tử tăng dần lên gấp đôi trong quá trình 1–2 (Hình 19). Lịch trình của quá trình này phối hợp

Hình 19

NGUYÊN VẬT LIỆU

dinata T–V (T – nhiệt độ, V – thể tích) trùng với đoạn parabol đi qua gốc tọa độ và đạt cực đại tại điểm 2 ở nhiệt độ $T_{2} 400$ K. Xác định: a) nhiệt độ $T_{1}$ của chất khí ở trạng thái 1; b) lượng nhiệt Q mà khí nhận được trong quá trình này. Hằng số khí phổ R 8,31 J K mol. 5. Trong một điện trường đều có vectơ cường độ hướng theo phương ngang, hai quả cầu nhỏ treo trên hai sợi tơ cố định tại một điểm. Điện tích của mỗi quả cầu là q, khối lượng là m, một sợi dây dài gấp 2 lần sợi dây kia. Ở vị trí cân bằng, sợi dài thẳng đứng, sợi ngắn lệch khỏi phương thẳng đứng một góc 90°. Xác định độ lớn vectơ cường độ của điện trường đều. Gia tốc trọng trường là g.

lớp 11

1. Một electron chuyển động trong điện trường đều có cường độ E 100 V m với gia tốc bằng bao nhiêu? Xác định tốc độ ban đầu của electron hướng dọc theo đường sức của trường này nếu khi nó tăng gấp ba lần thì đường đi của electron trong micro giây đầu tiên không đổi. Tỷ số giữa điện tích cơ bản và khối lượng của electron là e m 1,76 $10^{11}$ C kg. 2. Hai proton tiến lại gần nhau và chuyển động trong cùng một mặt phẳng. Ở khoảng cách lớn, tương tác điện của các proton là không đáng kể, tốc độ của chúng có độ lớn bằng nhau và hướng vuông góc với nhau. Trong quá trình các proton đến gần và tán xạ trên một khoảng cách lớn, vectơ vận tốc của một trong chúng quay một góc D 60 q. Vận tốc của proton này đã thay đổi bao nhiêu lần? Cho rằng tốc độ của proton nhỏ so với tốc độ ánh sáng trong chân không. 3. Một ống nhựa mỏng có khối lượng m và chiều dài l có điện tích q và q tập trung ở hai đầu. Ống có thể trượt không ma sát dọc theo vòng điện môi có bán kính R, vượt quá đáng kể l (Hình 20). Một điện tích điểm Q cố định ở tâm vòng. Tại thời điểm ban đầu ống đứng yên. Xác định: a) giá trị $силы,^{Рис.} 20$