Параллелограмм замечательных точек

42

КВ АН T 2020/№7

после остановки волчка меняется ее направление – это, видимо, раскручивается нитка. Такое поведение кажется неожиданным для гироскопа, ведь на ракетах используется именно сохранение ориентации оси вращения гироскопа… Сегодня цена этой игрушки настолько упала, что мировые производители наверняка утратили к ней интерес и массовое производство прекратилось. А жаль, было бы интересно поиграть с этим волчком, только с

заменой трех грузов одним тяжелым кольцом, чтобы волчок стал ближе к обычному гироскопу. Полезно и поломать голову над тем, откуда берется сила, поворачивающая ось висящего на нити волчка (так сказать, призрак центробежной силы). И как проявляется в этом опыте закон сохранения момента количества движения системы. Подумайте обо всем этом!

НА М П ИШ УТ

Параллелограмм замечательных точек

К.КОЗЕРЕНКО

СУЩЕСТВУЕТ ОГРОМНОЕ МНОЖЕство замечательных точек, связанных с треугольником, более 30000 из них уже включены в известную энциклопедию Encyclopedia of Triangle Centers (ETC) Кларка Кимберлинга (Clark Kimberling). Конечно, многие точки интересны не только сами

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200706

по себе, но в связи с другими замечательными точками. Здесь мы опишем весьма регулярную конструкцию из многих замечательных точек (см. рисунок). Она во многом резюмирует известные факты и результаты из статьи К.Козеренко и П.Факанова «Птолемеева ось треугольника» («Квант» №2 за 2017 г.). Используем обозначения: АВС – произвольный треугольник, М – его центр масс, т.е. точка пересечения медиан $AA_{m}, BB_{m}, CC_{m}$, Н – ортоцентр, О – центр описанной окружности, Е – центр окружности девяти точек. Хорошо известно, что четыре перечисленные точки лежат на одной прямой (прямая Эйлера), при этом Е – середина ОН, а М делит отрезок ОН в отношении ОМ: МН 1: 2. Это следует, например, из гомотетии

46

КВ АН T 2020/№7

F. Докажите, что треугольник MCD подобен треугольнику MFE. 4. Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 15 различных делителей, включая число 1 и само число. 5. Найдите количество четырехзначных натуральных чисел, в десятичной записи которых используется ровно две различные цифры. 6. Решите уравнение $x^{2} 2 x 8 x 3$.

10 класс

1. Найдите все корни уравнения $x^{4} 7 x^{2} 2 x 2 0$, если известно, что число 2 1 является одним из его корней. 2. Из коробки, содержащей монеты по 5 копеек и по 10 копеек, монету в 10 копеек можно вынуть с вероятностью 5 7. После того как в коробку добавили несколько монет по 5 копеек, вероятность выбора монеты в 10 копеек из коробки стала равной 4 11. Чему равно наименьшее число монет по 5 копеек, которые добавлялись в коробку? 3. Даны две непересекающиеся окружности, ни одна из которых не лежит внутри другой. Две внешние касательные к этим окружностям пересекаются с двумя внутренними касательными в четырех точках. Докажите, что эти четыре точки и центры окружностей расположены на одной окружности. 4. При каждом натуральном n найдите сумму

S n

2 ˜ $2^{0} 3$ ˜ $2^{1} 4$ ˜ $2^{2}$ … n 1 ˜ $2^{n} 1$.

5. Прямоугольник P расположен на клетчатой бумаге так, что его горизонтальные стороны и вертикальные стороны расположены на линиях сетки, а длины сторон равны 9 и 15 шагов сетки. Найдите количество всех других прямоугольников, расположенных внутри прямоугольника P, со сторонами, расположенными на линиях сетки, и не имеющих общих точек со сторонами прямоугольника P. 6. Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 24 различных делителя, включая число 1 и само число.

11 класс

1. Вася задумал два натуральных числа, умножил их сумму на 8, а затем вычел из полученного числа квадрат одного из заду-

манных чисел. Оказалось, что результат этих действий на 47 меньше произведения задуманных чисел. Какие числа задумал Вася? 2. Найдите все корни уравнения $x^{4} 8 x^{3} 19 x^{2} 12 x 2 0$, если известно, что число 2 + 3 является одним из его корней. 3. Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана вокруг окружности, а ее боковые стороны AB и CD касаются окружности в точках K и L соответственно. Найдите отношение оснований трапеции, если известно, что $AK : KB k_{1}, DL : LC k_{2}. 4.$ Из коробки, содержащей монеты по 5 копеек и по 10 копеек, монету в 10 копеек

4 7 можно вынуть с вероятностью. После того как в коробку добавили несколько монет по 10 копеек, вероятность выбора монеты в 10 копеек из коробки стала равной

7. Чему 9 равно наименьшее число монет по 10 копеек, которые добавлялись в коробку? 5. Найдите все корни уравнения

3 x 2. 4 6. Решением уравнения $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}$ cos 2 x cos n в натуральных числах называется упорядоченный набор $x_{1} ; x_{2} ; x_{3} ; x_{4}$ четырех натуральных чисел, сумма которых равна n. Найдите, сколько всего различных решений в натуральных числах имеет уравнение $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} 100$.

Физическое отделение

7 класс 1. Определите скорость движения кончиков минутной и часовой стрелок стенных стрелочных часов (необходимые параметры задайте самостоятельно). 2. Определите диаметр Солнца. Известно, что Луна, радиус которой 1700 км, находящаяся на расстоянии 380000 км, имеет такой же видимый размер, как и Солнце. Радиус орбиты Земли 150 млн км. 3. Велосипедист и пешеход одновременно отправились в соседний город. В середине пути велосипедист проколол колесо и потратил час на его замену. В итоге в соседний город они прибыли одновременно. Чему равно расстояние между городами? Скорость велосипедиста 15 км ч, пешехода 6 км ч.

51

ЭКЗ А М ЕНАЦИОНН Ы Е

М А Т ЕРИАЛ Ы

4. В баллоне находилось $N_{1}$ атомов гелия и $N_{2}$ молекул водорода. При повышении температуры на D 20% половина молекул водорода покинула баллон и давление в баллоне увеличилось на E 10%. Найдите отношение $N_{2} N_{1}. 5.$ После размыкания ключа K в схеме, изображенной на рисунке 8, показания амперметра изменились в n 12 раз. Определите сопротивление амперметра, если сопротивление каждого резистора R 100 Ом, а сопротивление источника постоянного $на-^{Рис.} 8$ пряжения пренебрежимо мало.

Вариант 2 1. Поезд движется с постоянной скоростью v 40 км ч. Найдите длину поезда, если в момент времени $t_{1} 0$ его локомотив поравнялся с километровым знаком $x_{1} 106$ км, а в момент времени $t_{2} 216$ с его последний вагон проскочил мимо знака $x_{2} 108$ км. 2. Грузы массами 3m, m и M соединены в систему, как показано на рисунке 9, с помощью двух невесомых нерастяжимых нитей и невесомого блока, который состоит из жестко соединенных соосных цилиндров радиусами r и R 2r. Одна нить плотно намотана на цилиндр радиусом R (много круговых витков в один слой), а другая перекинута через цилиндр радиусом $r. Определите:_{Рис.} 9$ а) отношение M m, при котором система будет в равновесии; б) ускорение груза массой М при M m. Трением в осях блоков и проскальзыванием нитей пренебречь. Ускорение свободного падения равно g. 3. Груз массой m 100 г, подвешенный на пружине, удерживают в положении, когда пружина растянута на ’ $x_{1} 7$ см, а ее ось вертикальна. После того как груз без толчка отпустили, он стал совершать колебания, при которых максимальное сжатие пружины составило ’ $x_{2} 3$ см. Определите жесткость k пружины. 4. Над идеальным газом совершают процесс 1–2–3, в котором зависимость давления газа р от его температуры Т имеет вид, показанный на рисунке 10. Во сколько раз максимальный объем газа в этом процессе больше минимального?

Рис. 10

5. Из приведенных значений сопротивления: 120 Ом, 140 Ом, 160 Ом, 180 Ом, 200 Ом, 220 Ом выберите наиболее близкое к эквивалентному сопротивлению цепи, изображенной на рисунке 11, где R = 100 Ом. Выбор ответа обоснуйте.

Рис. 11

11 класс

Вариант 1 1. Тележка налетает на покоящийся брусок. Через время $t_{1} 1$ с после столкновения брусок останавливается, а еще через время $t_{2} 3 c$ на него вновь налетает тележка. Определите скорость тележки $v_{т}$ между столкновениями, если тележка между столкновениями движется равномерно, а брусок равнозамедленно с ускорением a 2 м $с^{2}. 2.$ На горизонтальном столе находится брусок массой m 1 кг, соединенный с грузом массой 2m с помощью двух невесомых нерастяжимых нитей и двух невесомых блоков, как показано на рисунке 12. Прямолинейные отрезки нити у подвижного блока вертикальны, нить, прикрепленная к бруску, горизонтальна. Коэффи- Рис. 12 циент трения бруска по столу P 0,4. а) Определите ускорение бруска массой m. б) Какую горизонтальную силу нужно приложить к бруску, чтобы груз поднимался с постоянной скоростью? Ускорение свободного падения g 10 м $с^{2}. 3.$ В баллоне находилось $N_{1}$ атомов гелия и $N_{2}$ молекул водорода. При повышении темпе-

53

ЭКЗ А М ЕНАЦИОНН Ы Е

но, что в момент времени, когда напряжение на катушке станет равным U 3 В, энергия магнитного поля катушки будет равна W 2,25 мкДж.

Олимпиада «Электронный наномир»

Избранные задачи

10 класс

1. а) Камень бросают вертикально вверх со скоростью 5 м с. Определите путь, пройденный камнем за первую секунду полета. б) Определите начальную скорость камня, брошенного с балкона вертикально вверх, если при трехкратном увеличении этой скорости путь, пройденный камнем за первую секунду полета, остается неизменным. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения g 10 м $с^{2}. 2.$ Костя Иночкин забежал в кабинет физики и при помощи суперклея закрепил в двух одинаковых ящиках три каких-то предмета. Потом взвесил ящики на пружинных весах – масса каждого из них оказалась равной 3 кг. Костя уронил ящики с нулевой начальной скоростью. Один из них начал падать с ускорением g, а другой – с ускорением 1,5g. Какие предметы и как Костя закрепил в ящиках? Какова масса пустого ящика? 3. По горизонтальным рельсам без трения движется тележка. Дождь увеличивает массу тележки с быстротой P ’ m ’ t 2 кг с. В начальный момент масса тележки М 50 кг, а ее скорость $v_{0} 5$ м с. С какой скоростью и с каким ускорением будет двигаться тележка в момент времени, когда ее масса увеличится вдвое? Капли дождя падают вертикально. 4. Объем одного моля одноатомного идеального газа медленно увеличили в 2 раза в процессе 1–2 (рис.19). График этого процесса в коор-

Рис. 19

М А Т ЕРИАЛ Ы

динатах T–V (T – температура, V – объем) совпадает с участком параболы, проходящей через начало координат и достигающей максимума в точке 2 при температуре $T_{2} 400$ К. Определите: а) температуру $T_{1}$ газа в состоянии 1; б) количество теплоты Q, полученное газом в этом процессе. Универсальная газовая постоянная R 8,31 Дж К ˜ моль. 5. В однородном электрическом поле, вектор напряженности которого направлен горизонтально, на двух шелковых нитях, закрепленных в одной точке, висят два маленьких шарика. Заряд каждого шарика q, масса m, одна нить длиннее другой в 2 раза. В положении равновесия длинная нить вертикальна, а короткая отклонена от вертикали на угол 90q. Определите величину вектора напряженности однородного электрического поля. Ускорение свободного падения равно g.

11 класс

1. С каким ускорением движется электрон в однородном электрическом поле напряженностью E 100 В м? Определите начальную скорость электрона, направленную вдоль силовой линии этого поля, если при ее трехкратном увеличении путь, пройденный электроном за первую микросекунду, остается неизменным. Отношение элементарного заряда к массе электрона e m 1,76 ˜ $10^{11}$ Кл кг. 2. Два протона сближаются, двигаясь в одной плоскости. На большом расстоянии электрическое взаимодействие протонов пренебрежимо мало, их скорости одинаковы по величине и направлены взаимно перпендикулярно. В процессе сближения и разлета протонов на большое расстояние вектор скорости одного из них повернулся на угол D 60 q. Во сколько раз изменилась величина скорости этого протона? Считать, что скорости протонов малы по сравнению со скоростью света в вакууме. 3. На тонкую пластиковую трубочку массой m и длиной l нанесены заряды q и q, локализованные у ее концов. Трубочка без трения может скользить по диэлектрическому кольцу радиусом R, который значительно превышает l (рис.20). В центре кольца закреплен положительный точечный заряд Q. В начальный момент времени трубочка покоится. Определите: а) величину $силы,^{Рис.} 20$