Насильственное движение тела…, брошенного не перпендикулярно к горизонту, никогда не имеет ни одной части, которая была бы совершенно прямой. Никколо Тарталья
…мы получим бесконечное количество различных точек… они опишут требуемую кривую линию. Рене Декарт
…график функции – кривая, начерченная свободным влечением руки. Леонард Эйлер
Высь, ширь, глубь. Лишь три координаты. Мимо них, где путь? Засов закрыт. Валерий Брюсов
…мы освободили понятие графика от всего случайного. Андрей Колмогоров
Это один способ описать движение <табличный – А. Л.>. Есть и другой способ – графический. Ричард Фейнман
А так ли хорошо знакома вам
?
Физика на языке функций и графиков
Еще наши очень далекие предки понимали, что окружающие их явления взаимосвязаны. Но как эту связь точно выразить? Даже в Древней Греции ученые, вплотную подойдя к понятию функциональной зависимости, не смогли его сформулировать. Потребовалось еще почти полторы тысячи лет, чтобы изучение соответствий между переменными величинами, исследование траекторий движущихся точек, введение координат и буквенных обозначений привели математиков к возможности записать законы природы в виде функций, а также изобразить их графически. Тем самым физике (да и не только ей!) была оказана неоценимая услуга, значительно укрепившая ее исследовательский потенциал. Увы, школьники зачастую пренебрегают применением графиков. А зря! Графики расширяют наши представления о физических процессах, делают их наглядными, а порой заметно облегчают решение задач. Попробуем в этом выпуске «Калейдоскопа» убедить вас в этом.
Вопросы и задачи
-
Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Через какое время они встретились, если автомобиль, выехавший из пункта А, доехал до пункта В через 9 часов после встречи, а автомобиль, выехавший из В, прибыл в А через 4 часа после встречи?
-
От движущегося поезда отцепляют последний вагон, но поезд продолжает двигаться с той же скоростью. Считая, что вагон движется с постоянным ускорением, найдите, во сколько раз путь, пройденный вагоном до его остановки, меньше пути, пройденного поездом к этому За пятую секунду прямолинейного движения с постоянным ускорением тело проходит путь s = 5 м и останавливается. Какой путь проходит тело за вторую секунду этого Концы стержня АВ длиной l скользят, не отрываясь, по вертикальной стене и горизонтальному полу. Найдите траекторию точки С – середины стержня, считая, что в начальный момент стержень располагался, полностью прилегая к Шарик, находящийся на расстоянии L от вертикальной стенки и на высоте H от горизонтального пола, бросают горизонтально по направлению к стенке. При какой минимальной начальной скорости шарик после упругого удара отскочит от стенки дальше, чем на Кубик со стороной a и плотностью плавает на поверхности жидкости, плотность которой . Изобразите график силы, действующей на кубик, в зависимости от глубины Начертите примерный график зависимости плотности воды данной массы от
температуры, изменяющейся в пределах от 0 до С постоянной массой идеального газа проводят процесс, в котором давление прямо пропорционально объему. Постройте графики этого процесса в координатах Для схем включения реостата, изображенных на рисунке, постройте графики зависимости сопротивления цепи между точками А и В от сопротивления r правой части реостата (до Какая зависимость связывает частоту и длину электромагнитной волны, например при настройке радиоприемника?
Микроопыт
Оберните цилиндрическую свечу 2-3 раза листом бумаги (можно взять и батон колбасы в оболочке) и разрежьте наискосок острым ножом. Как вы думаете, график какой функции получится по краю разреза при развертывании бумаги?
Любопытно, что…
…античная наука оставила будущим поколениям совсем мало кривых. Главные из них – окружность, а также эллипс, гипербола и парабола, появившиеся в трудах древнегреческого ученого Аполлония Пергского. …с именем французского математика и физика (и экономиста!) XIV века Никола Оресма связана одна из первых попыток построения системы прямолинейных координат. …неоднократно издававшийся трактат Оресма, возможно, оказал влияние на будущих ученых, в том числе и Декарта, ясно выразившего идею функциональной зависимости переменных величин и геометрического выражения этой зависимости, т.е. графика функции. …задача о нахождении перемещения, совершаемого при равноускоренном движении, впервые была решена графическим методом в XVII веке Галилео Галилеем.
…Галилей полагал, что цепная линия, по которой провисают гибкие нерастяжимые нити и свободно подвешенные цепочки, совпадает с параболой. Это утверждение было опровергнуто Гюйгенсом, который также выяснил, что циклоида, а не окружность, как считал Галилей, обладает тем свойством, что тело, скользящее по ней без трения, совершает колебания с периодом, не зависящим от начального положения. …по гиперболам движутся вокруг Солнца кометы, залетевшие издалека в Солнечную систему, и D -частицы, пролетающие мимо атомного ядра при его бомбардировке; закон радиоактивного распада отражает экспоненциальный характер этого процесса; по логарифмическим спиралям закручены многие галактики, в том числе и наша. Наблюдать «живьем» эти зависимости практически невозможно… …а вот в некоторых случаях графики функций видны, можно сказать, воочию. Так, металлическая линейка, сжатая с концов, изгибается по синусоиде (еще пример – в Микроопыте). В узкой щели, образованной двумя вертикальными стеклянными пластинками, опущенными в воду, четко вырисовывается гипербола свободной поверхности жидкости. Наклонив наполненный водой до середины цилиндрический стеклянный стакан, мы получим эллипс. Таких примеров немало, попробуйте их обнаружить вокруг себя.
Что читать в «Кванте» на эту тему (публикации последних лет) 1. «Когда помогают графики» – 2014, №1, с.47; 2. «Размышляем, решая задачу» – 2017, №9, с.31; 3. «Средняя скорость прямолинейного движения» – 2018, №2, с.48; 4. «И снова котенок на лестнице» – 2018, №4, с.36; 5. «Господин Великий Косинус» – 2019, №1, с.39; 6. «Кофе с экспонентами» – 2019, №7, с.25; 7. «Как выглядит график синуса» – 2020, №3, с.38; №4, с.11.
Материал подготовил А.Леонович