Окружности Карлейля, или Как решать квадратные уравнения циркулем и линейкой

Окружности Карлейля, или Как решать квадратные уравнения циркулем и линейкой

К.КНОП

КАЗАЛОСЬ БЫ, КАКАЯ МОЖЕТ быть связь между квадратными уравнениями и геометрическими инструментами – циркулем и линейкой? Однако эта связь есть, и ее исследование с разных сторон – увлекательнейшая задача, тесно связанная и с геометрией, и с алгеброй. А при чем тут Томас Карлейль? Согласно Википедии, это британский писатель, публицист, историк и философ, автор многотомных сочинений «Французская революция» (1837), «Герои, почитание героев и героическое в истории» (1841), «История жизни Фридриха II Прусского» (1858–1865). О его занятиях математикой практически ничего не известно, и тем не менее, в честь него назван класс окружностей, помогающих решать квадратные уравнения. А теперь – обо всем по порядку.

Что мы подразумеваем под решением уравнений циркулем и линейкой?

В школьных учебниках геометрии есть какие-то упоминания о возможности построения квадратичных иррациональностей с помощью геометрических инструментов, но в основном не в виде практических алгоритмов построения, а в качестве теоремы существования. Единственный школьный пример конкретного алго-

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200702

Томас Карлейль. Портрет работы Дэниэла Маклиса ритма, как-то связанного с квадратными уравнениями, – построение среднего геометрического. Давайте и мы тоже начнем с этой задачи. Задача 1. Даны отрезки a и b. Построй- те отрезок, равный ab. Решение. Отложим на одной прямой

13

ОК Р УЖНОСТИ

КА Р ЛЕЙЛЯ,

наты cos 72 q; sin 72 q, cos 72 q; sin 72 q, cos144 q; sin144 q и cos144 q; sin 144 q, т.е. углы AOB и AOE равны 72 градусам. а углы AOC и AOD – 144 градусам. А это и означает, что они являются вершинами правильного пятиугольника. Доказательство правильности построения на этом завершено.

О сложности построений и «геометрографии» Эмиля Лемуана

Француз Эмиль Мишель Гиацинт Лемуан по праву считается одним из отцов современной «геометрии треугольника». Вероятно, вы слышали о точке Лемуана в треугольнике или об окружностях Лемуана. Он же в 1892 году опубликовал работу «Геометрография, или искусство геометрических конструкций» («L a Gйomйtrographie ou l’art des constructions gйomйtriques»), в которой впервые предложил сравнивать различные геометрические построения по количеству требуемых элементарных операций (а лучшим построением считать то, на которое тратится меньшее число операций). Оптимальным («геометрографическим») способом Лемуан называет самый экономный из известных алгоритмов построения. Элементарных операций Лемуан насчитал пять: $S_{1}$ – приложить линейку к определенной точке; $S_{2}$ – провести прямую линию; $C_{1}$ – поставить ножку циркуля в определенную точку; $C_{2}$ –изменить радиус циркуля, поставив ножку с карандашом в определенную точку; $C_{3}$ –провести циркулем окружность. При этом Лемуан считал циркуль устойчивым, т.е. после проведения окружности сохраняющим выставленный радиус. Таким образом, следующая окружность того же радиуса, по Лемуану, требует уже не трех операций: $C_{1} C_{2} C_{3}$, а всего двух: $C_{1} C_{3}$. Сосчитаем, например, количество операций в построении корней уравнения с помощью окружности Карлейля, показанном на рисунке 5. Оси координат и точки $A, B_{1}$ и $B_{2}$ заданы. Построение серединного

ИЛИ

КАК

$Р_{ЕШАТЬ}...$

перпендикуляра к отрезку $OB_{1}$ – это две окружности равных радиусов и одна прямая, т.е. $2 C_{1} C_{2} 2 C_{3} 2 S_{1} S_{2}$. Следующий серединный перпендикуляр – это $2 C_{1} 2 C_{3} 2 S_{1} S_{2}$, потому что мы строим его, не меняя радиуса циркуля. Тем самым, мы построили центр, затратив 15 элементарных операций. И наконец, сама окружность Карлейля – это еще $C_{1} C_{2} C_{3}$. Итого «сложность» построения $5 C_{1} 2 C_{2} 5 C_{3} 4 S_{1} 2 S_{2}$ равна 18.

Упражнение 1. Придумайте другой способ построения окружности Карлейля, имеющий сложность 17 или меньше.

Подсказка. Центр этой окружности – середина отрезка, одним из концов которого является $B_{1}$. Постройте сначала второй конец этого отрезка.

Современная компьютерная игра-головоломка Euclidea (www.euclidea.xyz) также требует от решателей задач найти самое экономное построение, но, в отличие от Лемуана, не подсчитывает предварительные операции $S_{1}, C_{1}$ и $C_{2}$, а считает только количество проведенных линий (т.е. $S_{2} C_{3}$ в терминологии Лемуана). С точки зрения Euclidea, построение окружности Карлейля имеет сложность 7.

Можно ли отыскать корни квадратного уравнения с меньшей сложностью? Когда автор начинал писать эту статью, он предполагал, что этот вопрос будет повешен в качестве финальной улыбки Чеширского Кота и оставлен читателю для самостоятельного решения. Однако планы немножко поменялись, и сейчас я хочу показать более экономный способ, а читателям предложить обдумать, нельзя ли найти еще лучший. Во-первых, откажемся от оси ординат. Зачем она нужна, если все корни мы ищем на оси абсцисс? Пусть у нас есть всего одна ось, а на ней – четыре известные точки O 0, E 1, S X Y и P XY. Последние две точки соответствуют коэффициентам того уравнения, которое мы хотим решить. Рисунок 7 соответствует ситуации, когда 0 XY 1 X Y, но это не очень кри-