Olympic Toán quốc tế LXI

Kvant 2020, số 10 tr. 39, 47, 48, 49, 53 Thẻ RAIT

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

O L IMPIADS

Kỳ thi Olympic Quốc tế (IMO) tiếp theo dự kiến sẽ được tổ chức vào tháng 7 năm 2020 tại St. Petersburg, nhưng do đại dịch, ngày diễn ra Olympic được dời sang ngày 18–28 tháng 9 và thể thức buộc phải thay đổi. Thật không may, không thể tập hợp những người tham gia lại với nhau, vì vậy các trung tâm kiểm tra đặc biệt (được trang bị camera giám sát) đã được tổ chức ở tất cả các quốc gia tham gia IMO, nơi hai vòng thi Olympic được tổ chức vào ngày 21 và 22 tháng 9. Bất chấp sự khác biệt về múi giờ, các chuyến tham quan diễn ra ở tất cả các quốc gia “gần như đồng thời”, do đó, thời điểm bắt đầu chuyến tham quan muộn nhất trước thời điểm kết thúc sớm nhất của chuyến tham quan. Có 616 người tham gia Thế vận hội, từ 105 quốc gia. Ban tổ chức trung tâm của Olympic được đặt tại St. Petersburg trên cơ sở Đại học Sư phạm Nhà nước Nga mang tên A.I. Herzen. Đội Nga năm nay gồm: Danila Demin (Sochi), Alexey Lvov (Novosibirsk), Maxim Turevsky (St. Petersburg), Anton Sadovnichy (Moscow), Danil Sibgatullin (Kazan, Moscow), Ivan Gaidai-Turlov (Moscow). Kết quả của những người tham gia của chúng tôi được hiển thị trong bảng.

Từ trái sang phải. D. Demin, M. Turevsky, A. Lvov, I. Gaidai-Turlov, D. Sibgatullin, A. Sadovnichy

Đội tuyển Nga đứng thứ hai trên bảng xếp hạng toàn đội. Đội Trung Quốc đứng ở vị trí thứ nhất và đội Mỹ ở vị trí thứ ba. Kết quả chi tiết có thể được tìm thấy trên trang web chính thức của Olympic http: imo-official.com Ở giai đoạn chuẩn bị cuối cùng của đội, các nhà toán học và giáo viên đã có đóng góp to lớn: K. Sukhov (dẫn đầu quá trình chuẩn bị), V. Bragin, B. Baev, A. Kushnir, A. Kuznetsov, P. Kozlov, N. Vlasova, M. Pratusevich, K. Knop và nhiều người khác. Chúng tôi xin ghi nhận với lòng biết ơn sự giúp đỡ và hỗ trợ to lớn về mặt tổ chức và nội dung trong việc chuẩn bị cho nhóm do Trung tâm Giáo dục Sirius (Sochi), Trung tâm Sư phạm Xuất sắc (Moscow), Trường Vật lý và Toán học Tổng thống Lyceum số 239 (St. Petersburg) và Viện Toán học của Viện Hàn lâm Khoa học Nga (Moscow, St. Petersburg) cung cấp.

BÀI KIỂM TRA

không. Quả bóng sẽ bay tới độ cao nào $H_{1}$ so với vị trí ban đầu của bệ sau khi nhấc khỏi bệ? Gia tốc trọng trường g, bỏ qua ảnh hưởng của không khí.

lớp 10

Một người nhảy dù hạ xuống với vận tốc không đổi v ném một hòn đá sao cho vận tốc ban đầu của nó nằm ngang và bằng u so với mặt đất. Khoảng cách giữa người nhảy dù và hòn đá sau thời gian t sau khi ném là bao nhiêu, nếu lúc này họ vẫn còn ở trên không? Bỏ qua ảnh hưởng của không khí lên hòn đá, gia tốc rơi tự do g. 2. Trong một bình hình trụ kín, có chất khí ở dưới pít-tông chuyển động và có chân không phía trên pít-tông (Hình 4). Lúc đầu, pít-tông nằm chính giữa tàu. Sau đó, khí bắt đầu rò rỉ vào đỉnh bình qua một lỗ nhỏ trên pít-tông. Trong trường hợp này, piston di chuyển xuống rất chậm. Tìm áp suất ở đáy bình ngay trước khi $поршень^{Рис.} 4$ chạm đáy. Gia tốc trọng trường g, khối lượng piston M, diện tích mặt cắt ngang của bình S. Nhiệt độ của xi lanh, piston và khí là như nhau và được giữ không đổi. Không có ma sát. 3. Một vật đứng yên trên mặt phẳng nằm ngang. Một mảnh nhựa bay về phía nó với vận tốc u và que. Cơ thể bị dịch chuyển một khoảng $l_{1}$ và dừng lại. Sau đó, mảnh nhựa đó bay về phía anh ta với tốc độ như nhau. Cơ thể di chuyển một khoảng $l_{2}$ và dừng lại. Tìm hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng. Gia tốc trọng trường g. 4. Xem bài toán 2 ở lớp 9 (bây giờ chỉ có góc E được đưa ra ở dạng tổng quát).

NGUYÊN VẬT LIỆU

phong cách được mở trong một thời gian rất ngắn và đóng lại ngay lập tức. Sau khi trạng thái cân bằng được thiết lập trong mỗi bình, áp suất trong bình thứ nhất là $p_{1} c$ . Áp suất $p_{2} c$ trong bình thứ hai là bao nhiêu? Nhiệt độ được duy trì không đổi. 2. Một lò xo nhẹ được đặt trên một vòng cố định, mặt phẳng của vòng này thẳng đứng và được cố định tại điểm B (Hình 5). Ở trạng thái không biến dạng

Hình 5

Ở trạng thái yên, đầu tự do của lò xo đặt tại điểm A cùng độ cao với điểm B và tâm của vòng O. Một vòng đệm lớn cũng được đặt trên vòng, gắn nó vào đầu tự do của lò xo (tại điểm A). Tìm khối lượng của vòng đệm m nếu biết vị trí cân bằng của nó có chiều cao R2 thấp hơn đoạn thẳng AB. Gia tốc trọng trường g, bán kính vòng R, độ cứng lò xo k. Bỏ qua ma sát giữa vòng và vòng đệm, vòng và lò xo. 3. Trên mặt phẳng nằm ngang có một cơ thể đồ sộ và gắn hai khẩu súng máy dành cho trẻ em - ở bên trái và bên phải cơ thể (Hình 6). Nòng súng máy được định hướng theo chiều ngang và hướng vuông góc với bề mặt thân súng. Đường thẳng đi qua tâm súng máy cũng vuông góc với bề mặt thân súng. Súng máy bắt đầu bắn đồng loạt. Được biết, khoảng cách $временны_{ѣ}$ giữa lúc phóng đạn của mỗi khẩu súng máy là nhỏ và cố định. Người ta còn biết, súng máy bên trái có tốc độ phóng đạn cao gấp 2 lần so với súng bên phải nhưng khối lượng đạn ít hơn 1,5 lần và khoảng thời gian giữa các viên đạn lớn hơn 30% so với súng máy bên phải. Đường nào?

lớp 11

Hai bình chứa khí lý tưởng được nối với nhau bằng một ống mỏng có van. Trong bình thứ nhất có thể tích $V_{1}$ thì áp suất là $p_{1}$ , và trong bình thứ hai có thể tích $V_{2}$ thì áp suất là $p_{2}$ . Ven-

Hình 6

KV AN T 2020/№10

cơ thể sẽ bắt đầu di chuyển? Bỏ qua ma sát giữa vật và mặt phẳng, coi tác dụng của viên đạn lên bề mặt vật là đàn hồi tuyệt đối. Bỏ qua va chạm giữa viên đạn và sức cản của không khí. 4. Ba hạt được đặt trên một kim đan ngang nhẵn (Hình 7). Khối lượng thứ hai

Hình 7

Hình 8

Hạt thứ nhất có khối lượng gấp 2 lần hạt thứ nhất, hạt thứ ba có khối lượng gấp 3 lần hạt thứ nhất. Các hạt có khoảng cách bằng nhau và có thể di chuyển tự do dọc theo kim mà không bị ma sát. Các hạt có điện tích cùng tên lần lượt là $q_{1}, q_{2}$ và $q_{3}$ . Các hạt được giải phóng và chúng bắt đầu bay ra sao cho hạt thứ hai luôn nằm chính giữa hạt thứ nhất và hạt thứ ba. Tìm điện tích $q_{1}$ nếu biết điện tích $q_{2}$ và $q_{3}$ .

Q. Sau bao lâu thì đầu bên trái thấp hơn bên phải? 4. Tại thời điểm 0, nước nóng từ vòi bắt đầu được đổ vào bồn nước. Nước được khuấy liên tục và nhiệt độ được đo. Đồ thị nhiệt độ theo thời gian được thể hiện trên Hình 9. Xác định nhiệt độ của vật đổ

Vòng thứ hai

lớp 8

Xô được đổ đầy nước đến miệng. Một khối lập phương bằng gỗ đặc có cạnh a được hạ từ từ vào thùng. Đồng thời, nước có thể tích $V_{0}$ được đổ ra khỏi xô. Sau đó, khối lập phương được lấy ra và thay vào đó, không cần thêm nước vào xô, một khối lập phương khác làm bằng chất liệu tương tự nhưng có cạnh 2a được hạ xuống từ từ. Xác định thể tích nước V sẽ đổ ra khỏi thùng. Bỏ qua hiệu ứng căng bề mặt. 2. Một khối lập phương nổi trong chất lỏng có mật độ U. Khi gắn một vật nặng vào nó, khối lập phương bắt đầu nổi, chìm trong 60% thể tích của nó. Khi một vật nặng tương tự thứ hai được gắn vào nó, khối lập phương được ngâm hoàn toàn trong chất lỏng và bắt đầu nổi ở vị trí cân bằng không đổi. Tìm mật độ của vật liệu làm nên khối lập phương đó. 3. Dây đu trong rạp xiếc là một cây gậy dài được treo trên hai sợi dây đàn hồi thẳng đứng (Hình 8). Khi con khỉ treo lên hình thang, nắm lấy giữa thanh thì thanh rơi xuống d 1,5 cm. Sau đó, con khỉ di chuyển đến điểm A, điểm này gần đầu bên trái của cây P hơn hai lần so với đầu bên phải.

Hình 9

nước, nếu dòng nước chảy từ vòi không đổi. Bỏ qua nhiệt dung của bể và trao đổi nhiệt với môi trường.

lớp 9

Hai người đi bộ di chuyển theo chiều kim đồng hồ với tốc độ tuyệt đối không đổi $v_{1} 1,2$ m s $, v_{2} 1$ m s, người thứ nhất đi dọc theo vòng tròn có bán kính $r_{1} 8$ m, người thứ hai đi dọc theo vòng tròn có bán kính $r_{2} 10$ m. Tâm của các vòng tròn trùng nhau. Sẽ mất bao lâu để khoảng cách giữa những người đi bộ thay đổi từ mức tối thiểu có thể với kiểu di chuyển này đến mức tối đa có thể? 2. Một cậu bé đứng trên mặt phẳng nằm ngang ném một hòn đá sao cho nó bay được quãng đường xa nhất. Anh ta ném hòn đá thứ hai với cùng tốc độ tuyệt đối theo phương thẳng đứng lên trên. Nó bị một cậu bé khác bắt được ở đỉnh quỹ đạo và sau đó bị ném từ điểm đó với cùng góc và tốc độ như cậu bé đầu tiên.

BÀI KIỂM TRA

cục đá. Quãng đường mà hòn đá thứ hai đi được theo phương ngang lớn hơn hòn đá thứ nhất bao nhiêu lần? Bỏ qua ảnh hưởng của không khí. 3. Vòng hoa năm mới là một tấm lưới thép hình chữ nhật, được cắm vào các dây nhảy ngang có các bóng đèn giống hệt nhau như trong Hình 10. Điện trở của vòng hoa,

NGUYÊN VẬT LIỆU

Sử dụng thiết bị định vị, họ xác định được khoảng cách giữa chúng là 3,4 km. Vasily vẫn giữ nguyên vị trí, và Alexey bắt đầu đi bộ về phía anh ta qua các con phố dọc theo con đường tối ưu. Không giống như Alexey, chúng tôi không biết chính xác bạn bè mình đang ở đâu. Hãy thử sử dụng thông tin có sẵn để xác định độ dài tối thiểu và tối đa có thể có của đường dẫn tối ưu này. Đáp số làm tròn đến hàng trăm mét gần nhất. 2. Ba bình giống hệt nhau chứa khí lý tưởng được nối với nhau bằng các ống mỏng có van (Hình 12). Áp lực trong

Hình 10

đo giữa cực A và B là $R_{0} 1919$ Ohm. Sau khi một bóng đèn trong vòng hoa bị cháy, điện trở trở thành R 1920 Ohms. Xác định tổng số bóng đèn trong vòng hoa, nếu bạn biết rằng số lượng của chúng chắc chắn lớn hơn 1938 và nhỏ hơn 3838. Điện trở của các bóng đèn là như nhau; bỏ qua điện trở của dây. 4. Một con ếch nhỏ đang nhảy xuống cầu thang có các bậc giống hệt nhau (Hình 11).

Hình 12

Bình thứ 1, thứ 2 và thứ 3 lần lượt là $p_{1}, p_{2}$ và $p_{3}$ . Van giữa bình 1 và bình 2 được mở và đóng sau khi đạt trạng thái cân bằng. Sau đó mở van giữa bình 2 và bình 3. Tìm áp suất $p_{3} c$ ở bình thứ 3 sau khi cân bằng. Nhiệt độ được duy trì không đổi. 3. Ba hình lập phương giống hệt nhau đứng trên một mặt phẳng nằm ngang (Hình 13). Hình khối

Hình 13

Hình 11

Mỗi lần nó được đẩy ra theo cùng một cách và kết thúc từ giữa bước này đến giữa bước tiếp theo. Cô ấy thực hiện cú nhảy cuối cùng trên một bề mặt phẳng, chiều dài của lần nhảy này là d và độ cao là h. Tìm chiều cao của các bậc thang H nếu chiều dài của các bậc thang là L. Bỏ qua ảnh hưởng của không khí.

lớp 10

Trên đảo Manhattan ở New York có nhiều đường phố nằm vuông góc với nhau ở khoảng cách ngắn. Alexey và Vasily, khi đi dọc hòn đảo, tại một thời điểm nào đó được kết nối bằng những lò xo giống hệt nhau, độ căng của chúng là như nhau. Nếu khối thứ 1 được kéo từ từ sang trái thì khi vượt qua khoảng cách $d_{1}$ thì khối thứ 3 sẽ bắt đầu chuyển động. Nếu từ cùng vị trí ban đầu, khối thứ 1 được đẩy từ từ sang phải thì khi vượt qua khoảng cách $d_{2}$ , khối thứ 3 sẽ bắt đầu chuyển động. Bao xa $d_{x}$ Khối thứ 1 và thứ 3 phải được di chuyển sang bên phải từ cùng một vị trí bắt đầu để khối ở giữa bắt đầu di chuyển? Giả sử hệ số ma sát tĩnh và ma sát trượt là như nhau. 4. Biểu tượng có dạng hình tam giác đều, chiều cao và nội dung của nó

BÀI KIỂM TRA

đứng giữa các điểm treo của lò xo rồi thả ra. Hóa ra thanh ở trạng thái cân bằng hoàn toàn song song với đường chân trời. Tìm trọng lượng của thanh. 3. Một hạt nhỏ mang điện tích dương được xâu thành một nửa vòng mỏng làm bằng vật liệu không dẫn điện (Hình 28). Ở cuối nửa vòng, điện tích điểm dương $q_{1}$ và $q_{2} ( q_{1} q_{2} )$ lần lượt được cố định tại các điểm A và B. Nửa vòng cũng được cố định. Sau một thời gian dài hạt dừng lại ở điểm C. Tìm góc D. Không còn lực hấp dẫn.

Hình 28

Hình 29

Một vòng có khối lượng M, tích điện đều dọc theo chu vi với điện tích Q, lăn dọc theo mặt phẳng nằm ngang (Hình 29). Tại một thời điểm nào đó, một từ trường có cảm ứng B được đặt vuông góc với mặt phẳng của vòng. Lực ép của vòng lên mặt phẳng tăng gấp 3 lần. Tìm tốc độ của vòng. Gia tốc trọng trường g. 5. Ước tính chu kỳ dao động dư của xăng trong thùng chứa đầy một nửa do phanh. Giả sử rằng bạn hiểu rõ về hiện tượng này, bạn có thể đặt các đại lượng còn thiếu trong điều kiện bài toán, chọn các giá trị số của chúng và thu được kết quả bằng số. 6. Bài toán-trình diễn (một video được hiển thị). Bên trong một hộp thiếc thông thường có một thiết bị nhỏ được gắn vào giữa nắp, bao gồm một động cơ và một ngăn chứa pin cung cấp năng lượng cho hộp thiếc (Hình 30). Khi bật, động cơ sẽ quay ngăn chứa pin theo hình tròn. Đóng chặt lọ bằng nắp

NGUYÊN VẬT LIỆU

Hình 30

với động cơ được bật và đặt ở bên cạnh. Nó bắt đầu di chuyển và di chuyển dọc theo bàn ngang. Nếu một chướng ngại vật nhỏ được đặt trên đường đi của cô ấy, cô ấy sẽ vượt qua nó, đôi khi trong lần thử đầu tiên, và đôi khi, khi va phải chướng ngại vật, cô ấy sẽ lùi lại và vượt qua chướng ngại vật sau nhiều lần thử. Giải thích hiện tượng quan sát được. Ấn phẩm được biên soạn bởi V. Borovkov, E. Zhdanov, A. Kipriyanov, S. Lezhnin, M. Makhmudian, A. Nenashev, E. Palchikov, A. Pogosov, D. Pokhabov, G. Fedotovich