[Giới thiệu cuốn sách “Bài toán Olympic Ngôn ngữ”]

22

KVANT 2021/№1

Vì vậy, tứ diện đẳng diện là một hình hoàn toàn độc đáo! Trong số tất cả các hình lồi, chỉ có anh ta là có vô số đường trắc địa khép kín.

Bài tập

13. Chứng minh rằng tứ diện đẳng diện chỉ có thể được tạo thành từ một tam giác nhọn. 14. Chứng minh rằng các tính chất sau của một tứ diện tương đương với tính chất là đẳng diện: 1) Các cạnh đối diện trong mỗi cặp đều bằng nhau. 2) Hai góc phẳng đối diện với một cạnh bằng nhau (đối với mỗi cạnh). 3) Tổng các góc phẳng ở mỗi đỉnh là 180q. 4) Tứ diện có trục đối xứng. 5) Các hình cầu nội tiếp và ngoại tiếp có một tâm chung. 6) Tất cả các mặt đều có diện tích bằng nhau. 15. Có bao nhiêu loại trắc địa 40 nút? 16. Đường trắc địa loại (314; 15) có bao nhiêu nút và chiều dài của nó là bao nhiêu? 17. Vẽ hình các đường ray trên mỗi mặt cho một loại trắc địa (22; 17). 18. Độ dài tối thiểu của một đường trắc địa có 1000 nút là bao nhiêu?

Văn học

1. A. Akopyan, A. Petrunin. Đường trắc địa dài trên bề mặt lồi. – Nhà thông minh toán học, 40 (2018), số 3, trang 26–31. 2. L.A. Lyusternik, L.G. Shnirelman. Các phương pháp tôpô trong các bài toán biến phân và ứng dụng của chúng vào hình học vi phân của các bề mặt. – Những tiến bộ trong khoa học toán học, 2 (1947), số 1, trang 166–217. 3. J.Francs. Trắc địa $on S^{2}$ và các điểm tuần hoàn của phép đồng cấu hình vành khuyên. – Inventiones Mathematicae, 108 (1992), số 2, trang 403–418. 4. V. Bangert. Về sự tồn tại của trắc địa khép kín trên hai mặt cầu. – Tạp chí Toán học Quốc tế, số 4 (1993), số 1, trang 1–10. 5. W. Klingenberg. Bài giảng Địa trắc học khép kín. – Springer, New York, 1978. 6. W. Klingenberg. Hình học Riemannian. – de Gruyter Nghiên cứu về Toán học, Berlin: Walter de Gruyter & Co. 1982. 7. G.A. Galperin. Về định lý Lyusternik–Shnirelman cho khối đa diện. – Những tiến bộ trong khoa học toán học, 46 (1991), số 6, trang 207–208. 8. V.Yu.Protasov. Đường trắc địa khép kín trên bề mặt của một đơn hình. – Tuyển tập toán học, 198 (2007), số 2, tr. 103–120. 9. V.Yu.Protasov. Về số lượng đường trắc địa khép kín trên một khối đa diện. – Những tiến bộ trong khoa học toán học, 63:5(2008), tr.197–198. 10. D.B.Fuchs, E.Fuchs. Đường trắc địa khép kín trên khối đa diện đều. – Tạp chí Toán học Moscow, số 7 (2007), số 2, tr. 265–279.

Để thu hút sự chú ý của độc giả của chúng tôi

Bạn có thể nhận thấy rằng trong số tạp chí này, trên trang thứ hai của trang bìa, một phần mới đã xuất hiện - “Ngôn ngữ bài toán”. Chúng tôi lấy bài toán này từ một cuốn sách tuyệt vời (Bài toán Olympic Ngôn ngữ. 1965 - 1975. Tái bản lần thứ 2, sửa đổi/biên tập. V.I. Belikov, E.V. Muravenko, M.E. Alekseev. - M.: MTsNMO, 2020), trong đó có bài toán Olympic về ngôn ngữ học và toán học. Những cuộc thi Olympic như vậy đã được tổ chức ở Moscow từ năm 1965. Một trong những người nhờ đó mà thể loại ngôn ngữ học bài toán đã nảy sinh là học giả A.A. Zaliznyak, nhà ngôn ngữ học vĩ đại người Nga. Và Olympic nảy sinh theo sáng kiến ​​​​của một nhà ngôn ngữ học xuất sắc khác, A.N. Zhurinsky, và đã tiếp tục trong nhiều năm kể từ đó.

Ngôn ngữ học bài toán theo một nghĩa nào đó gần giống với toán học: chúng có thể được giải quyết dựa trên các điều kiện nhất định; tất cả tài liệu cần thiết cho lời giải đều có trong điều kiện bài toán hoặc có thể được người quyết định hoàn thành dựa trên ý tưởng trực quan của mình về cấu trúc ngôn ngữ mẹ đẻ của mình. Giải bài toán là một hoạt động thú vị nhưng người đọc không chỉ thấy thích thú mà còn học được rất nhiều điều mới, độc lập “khám phá” các yếu tố cấu trúc của ngôn ngữ và các quy luật cấu trúc của nó. Ngoài ra, các nhiệm vụ sử dụng nhiều ngôn ngữ khác nhau trên thế giới làm tài liệu mà người đọc có thể chưa từng nghe đến trước đây nhưng những ngôn ngữ này lại được hàng triệu người sử dụng.

27

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

Hình 2

BFO OFE y và DEO OEF z. Trong tam giác BFO ta có BOF 180 q x y z. Điều này hàm ý sự giống nhau của BFO $\sim$ DOE, nên FB BO OD DE hoặc BF DE BO OD. Tương tự, chứng minh BG DH BO OD, từ đó đẳng thức cần tìm (*) được chứng minh và bài toán được giải. Một lời giải khác có thể thu được bằng cách lưu ý rằng tính song song của FG P HE tương đương với tính đồng nhất của các tam giác BGF và DEH, hoặc là giao điểm của các đường thẳng BD, EG, FH tại một điểm. Cái sau tuân theo định lý Brianchon cho hình lục giác BFEDHG được mô tả. V. Eisenstadt

M2623. Trong giải đấu bóng đá diễn ra một vòng, tất cả các đội đều ghi được số điểm khác nhau. Nếu một chiến thắng không được trao ba mà là hai điểm, thì tất cả các đội cũng sẽ có số điểm khác nhau, nhưng vị trí của mỗi đội sẽ khác nhau. Với số lượng lệnh tối thiểu có thể thực hiện được điều này là bao nhiêu?

Đáp số: là 12. Đầu tiên ta giả sử số đội là số chẵn: n 2k. Lưu ý rằng với hai điểm cho một trận thắng, đội có hiệu số trận thắng và số trận thua lớn hơn sẽ chiếm vị trí cao hơn. Vì những khác biệt này là khác nhau đối với tất cả các đội, nên đội đứng đầu có thể có hiệu số (và do đó là số trận thắng) không nhỏ hơn k. Đội dẫn trước khi chuyển sang hệ thống ba điểm phải có thêm ít nhất hai trận thắng nữa (mỗi đội được cộng thêm số điểm bằng số trận thắng của mình) và do đó phải

“QUANTA”

có ít nhất ba trận thua nữa. Do đó k 5 d 2 k 1, tức là n t 12. Tương tự, chúng ta thấy rằng với số lượng lệnh lẻ n t 11. Giả sử trường hợp n 11 có thể xảy ra. Lập luận theo cách tương tự như trước, chúng ta thấy rằng trong hệ thống hai điểm, các đội ghi được từ 15 đến 5 điểm, đội đầu tiên phải có 5 trận thắng và 5 trận hòa, đội thứ hai phải có 7 trận thắng và 3 trận thua, vì vậy khi chuyển sang hệ thống ba điểm, họ sẽ đổi chỗ. Hơn nữa, đội cuối cùng phải có ít nhất hai trận thắng và vì với năm điểm thì không quá hai trận thắng nên đội đó có hai trận thắng và một trận hòa. Khi đó cô chỉ có thể đổi chỗ với người áp chót, người có 6 trận hòa và 5 trận thua. Tương tự, ta thấy đội thứ 3 có 3 thắng 7 hòa hoặc 4 thắng 5 hòa 1 thua chỉ được đổi chỗ với đội thứ 4 có 5 thắng 2 hòa 1 thua hoặc 6 thắng 4 thua. Trong số năm đội còn lại, có ba đội phải luân phiên theo một vòng. Đây có thể là đội thứ năm-sáu-bảy hoặc thứ bảy-tám-chín. Cả hai trường hợp đều được coi là tương tự nhau, vì vậy chúng tôi sẽ giới hạn phân tích trường hợp đầu tiên. Vì đội thứ bảy khi chuyển sang thể thức ba điểm phải vượt đội thứ năm kém hai điểm nên phải có thêm ít nhất ba trận thắng và năm trận thua nữa. Như vậy, đội thứ 5 có 1 trận thắng và 9 trận hòa, còn đội thứ 7 có 4 trận thắng, 5 trận thua và 1 trận hòa. Khi đó, đội thứ sáu có thể có hai lựa chọn: 1 thắng, 8 hòa và 1 thua hoặc 4 thắng, 2 hòa và 4 thua (trong các trường hợp khác, với 3 điểm cho một trận thắng, đội đó sẽ ghi được số điểm bằng với một trong các đội lân cận). Cuối cùng, đối với đội thứ tám và thứ chín, chúng ta cũng có hai khả năng: lần lượt là 0-8-2 và 2-3-5 hoặc 1-6-3 và 3-1-6 thắng-thua. Bây giờ chúng ta hãy xem xét sự phân bố của các trận hòa. Vì đội thứ hai không có trận hòa và đội thứ năm có 9, nên tất cả các đội ngoại trừ đội thứ hai đều hòa với đội thứ năm, điều này đặc biệt có nghĩa là đội thứ ba và thứ tư có