Thủy ngân và nước - khuếch tán và bay hơi

TÙY CHỌN VẬT LÝ

Thủy ngân và nước – khuếch tán và bay hơi

L.ASHKINAZI

MỌI NGƯỜI ĐÃ BIẾT KHI THỦY NGÂN LÀ CÓ HẠI. Vì vậy, nếu thủy ngân ở trong vật chứa mà từ đó nó có thể bay hơi và xâm nhập vào phòng có người ở, hãy thêm một ít nước vào vật chứa này. Như bạn đã biết, nước nhẹ hơn thủy ngân khoảng 13,6 lần; nó nằm trên thủy ngân và ức chế sự bay hơi. Mọi thứ có vẻ rõ ràng, nhưng chúng tôi đã nói một số điều vô lý. Quả thực nước nhẹ hơn nhưng điều này không có nghĩa là nó “nằm trên”. Rượu và axeton nhẹ hơn nước, nhưng chúng không nằm trên mà hòa tan trong nước. Hơn nữa, độ hòa tan của chúng không bị giới hạn dưới bất kỳ hình thức nào; trong những trường hợp như vậy họ thường nói: “chúng được trộn theo mọi tỷ lệ”. Nhưng xăng nằm ở trên cùng, nhưng không hoàn toàn - độ hòa tan của xăng trong nước ở điều kiện bình thường là khoảng $10^{5}$ (theo trọng lượng). Và theo chiều ngược lại, tức là độ hòa tan của nước trong xăng là khoảng $10^{4}$. Nước và xăng có mối quan hệ phức tạp như vậy. Về độ hòa tan lẫn nhau của nước trong thủy ngân và thủy ngân trong nước, chúng nhỏ: lần lượt là 2 $10^{6}$ và 6 $10^{8}$ (một lần nữa, tính theo trọng lượng). Vì vậy, hoàn toàn có thể nói “trên hết” về nước và thủy ngân, nhưng điều này không tự động xuất phát từ thực tế là nước nhẹ hơn (thậm chí là 13,6 lần). Chúng ta lấy ý tưởng từ đâu cho rằng lớp phủ nước “ức chế sự bay hơi”? Liệu lớp phủ nào có thể không làm chậm lại mà làm tăng tốc độ bay hơi? Ý tưởng này có vẻ kỳ lạ, nhưng, chẳng hạn, đồ lót giữ nhiệt mặc trên người, sự bay hơi của nước (tức là mồ hôi), như người ta nói, có thể tăng tốc. Ở đó, nếu hiệu ứng này xảy ra là do cấu trúc không đồng nhất - các mao mạch đưa nước lên bề mặt nhờ sức căng bề mặt,

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210104

nó bốc hơi từ đâu. Trong trường hợp của chúng tôi, phạm vi bao phủ, tức là. Lớp nước trên thủy ngân là đồng nhất và không có lý do gì để nghi ngờ đó là những thủ thuật như vậy. Hai năm trước, có thông tin cho rằng graphene, tức là lớp carbon đơn (dày một lớp nguyên tử), ngăn chặn sự bay hơi của nước từ các bề mặt ưa nước và tăng tốc độ bay hơi từ các bề mặt kỵ nước. Đúng, coi graphene là một “lớp phủ” thì hơi lạ; phương trình khuếch tán và các nguyên tắc tính toán thông thường không được áp dụng ở đây. Nhưng trong trường hợp của chúng tôi, điều này cũng không quan trọng, vì thủy ngân không được bao phủ bởi graphene hay một lớp nước đơn lớp. Vì vậy chúng ta sẽ cho rằng đây là nước thông thường. Đầu tiên, hãy xem xét một tình huống không có nước, nhưng trong một bình kín: bề mặt thủy ngân mở ra, có một lượng không khí nhất định phía trên thủy ngân, sau đó nắp được đóng lại. Thủy ngân bay hơi thành một thể tích không khí kín, nồng độ thủy ngân trong không khí tăng lên và xuất hiện dòng thủy ngân ngược từ không khí vào pha lỏng. Sau một thời gian, cái gọi là trạng thái cân bằng động đạt được, khi các dòng chảy bằng nhau và nồng độ thủy ngân trong không khí ngừng tăng. Nồng độ cân bằng này đã được biết; ví dụ: ở $температуре^{15} q C$ nó là 2 $10^{5}$ kg $м^{3}$. Nồng độ tối đa cho phép là 3 $10^{10}$ kg $м^{3}$, tức là nhỏ hơn 5 bậc độ lớn. Rõ ràng, ngồi trong một chiếc lọ kín phía trên một lớp thủy ngân là rất nguy hiểm. Nếu thủy ngân được bao phủ bởi một lớp nước và phía sau nó lại có một khối không khí khép kín thì tình hình sẽ trở nên phức tạp hơn. Nồng độ thủy ngân trong nước hoạt động giống như khi bay hơi vào không gian kín - nó tăng lên cho đến khi thiết lập trạng thái cân bằng động. Tuy nhiên, nồng độ cân bằng hóa ra lớn hơn gấp 3 lần so với trường hợp đầu tiên và lên tới 6 $10^{5}$ kg $м^{3}$. Có thể có hai lý do cho hiện tượng này - hoặc các phân tử nước hút các nguyên tử thủy ngân bằng điện trường của chúng (phân cực chúng) và tạo điều kiện cho chúng tách khỏi lớp thủy ngân, hoặc dòng chảy ngược của các nguyên tử thủy ngân từ nước lên bề mặt thủy ngân ở cùng nồng độ (và nhiệt độ) hóa ra là ít hơn so với từ không khí. Chúng ta sẽ sớm cần cả hai quá trình này. Cái nào trong số này

46

KVA NT 2021/№1

(tức là chia điểm thành từng cặp) có tổng lớn nhất; điều này có thể được thực hiện vì có số lượng cấu hình hữu hạn. Lưu ý rằng trong cấu hình như vậy không thể có hai đoạn không giao nhau. Thật vậy, nếu đoạn AB và CD không giao nhau (Hình 3), thì nếu chúng được thay thế bằng đoạn AC

Hình 3

và BD hoặc trên AD và BC thì tổng độ dài các đoạn sẽ tăng lên, điều này không thể xảy ra. Do đó, trong cấu hình có tổng lớn nhất, hai đoạn bất kỳ sẽ giao nhau. Hãy để chúng tôi chỉ ra rằng sau đó tất cả các phân đoạn giao nhau. Để làm điều này, chúng ta chứng minh bổ đề sau. Bổ đề 3. Một đường thẳng có nhiều đoạn, hai đoạn bất kỳ cắt nhau. Khi đó tất cả các phân đoạn đều có một điểm chung. Tuyên bố này không hiển nhiên như vẻ ngoài của nó - trong những tình huống khác tương tự như thế này, một tuyên bố tương tự có thể không đúng. Một ví dụ về tình huống như vậy được đưa ra trong Bài tập 2. Chứng minh Bổ đề 3. Xét phần giữa - khoảng cách giữa các điểm có số n và n 1 (các điểm vẫn được đánh số theo thứ tự từ 1 đến 2n). Hãy để chúng tôi chỉ ra rằng nó được chứa trong tất cả các phân khúc. Chúng ta hãy xem đầu bên trái và bên phải của các đoạn được đặt như thế nào. Nếu ở bên trái của phần giữa không phải tất cả các đầu đều ở bên trái (Hình 4), thì ở bên trái có đầu bên phải của một số đoạn và ở bên phải có đầu bên trái của một số đoạn. Khi đó hai đoạn này không giao nhau. Điều này có nghĩa là ở bên trái tất cả các đầu đều ở bên trái và ở bên phải tất cả các đầu đều ở bên phải (Hình 5). Do đó, tất cả các đoạn đều chứa điểm giữa và Bổ đề 3 được chứng minh và do đó Bổ đề 2 được chứng minh.

Hình 4

Hình 5

Bài tập

1. Chứng minh rằng nếu k đoạn thẳng nằm hoàn toàn bên trái đoạn giữa thì k đoạn thẳng nằm hoàn toàn bên phải đoạn giữa. 2. Các hình chữ nhật được sắp xếp trên một mặt phẳng sao cho hai hình chữ nhật bất kỳ có một điểm chung. a) Có thể nói rằng mọi hình chữ nhật đều có một điểm chung không? b) Nếu ta thêm điều kiện là các cạnh của hình chữ nhật song song với trục tọa độ thì sao?

Tiếp tục chứng minh Bổ đề 2. Phương pháp thứ hai. Hãy xem xét khoảng cách giữa điểm thứ nhất và điểm thứ hai. Nó chỉ được bao gồm trong một phân khúc. Khoảng cách giữa điểm thứ hai và điểm thứ ba được bao gồm không quá hai đoạn, vì chỉ có hai điểm ở bên trái của nó. V.v.: xét khoảng cách giữa các điểm được đánh số k và k 1 (Hình 6). Nó được bao gồm trong tối đa k đoạn, bởi vì chỉ những điểm ở bên trái của nó mới có thể là đầu bên trái của các đoạn chứa khoảng này.

Hình 6

Hình 7

Tương tự, xem xét các đầu bên phải, chúng ta có thể nói rằng khoảng này được bao gồm không quá n k đoạn. (Ví dụ: trong Hình 7, số lượng phân đoạn lớn nhất mà mỗi khoảng có thể bao gồm cho n 5 là bao nhiêu.) Tổng hợp các ước tính về số lần mỗi phân đoạn đơn lẻ này có thể được đếm, chúng ta nhận được 1 2 … n 1 n n n 1 … $2 1 n^{2}$.

Bài tập 3. Hoàn thành chứng minh bằng cách chỉ ra rằng tất cả các bất đẳng thức được thêm vào ở đây đều trở thành đẳng thức trong trường hợp tất cả các đoạn đều chứa trung điểm.

Cách thứ ba. Đặt các số (tọa độ) của các đầu của đoạn thứ i là $a_{i}$ và $b_{i}$, trong đó $a_{i}$! $b_{i}$. Khi đó độ dài của nó bằng hiệu $a_{i} b_{i}$. Hãy cộng tất cả độ dài của các đoạn: $a_{1} b_{1} a_{2} b_{2}$ … a n b n. Tổng này chứa tất cả các số 1, 2, …, 2n một lần, một nửa có dấu cộng, một nửa có dấu trừ. Để tổng lớn nhất, rõ ràng là với dấu cộng bạn cần lấy số lớn nhất

47

TOÁN HỌC

số cao hơn và với số trừ nhỏ nhất! Như vậy, ta hiểu rằng đầu bên trái phải là n điểm bên trái, và đầu bên phải phải là n điểm bên phải. Ở cuối bài viết có thêm một số bài toán về mô đun hiệu và tổng khoảng cách trên một đường thẳng, có thể được giải bằng cách xem xét tương tự.

---

Lưu ý rằng Bổ đề 2 có thể được khái quát hóa như sau. Bổ đề 4. Có 2n điểm được đánh dấu trên đường thẳng (khoảng cách giữa các điểm lân cận có thể khác nhau!). Các điểm được chia thành n cặp và trong mỗi cặp có hai điểm được nối với nhau bằng một đoạn. Khi đó, giá trị lớn nhất có thể có của tổng độ dài của chúng đạt được khi và chỉ khi tất cả các đoạn cắt nhau ở điểm giữa (khoảng cách giữa hai điểm có thứ tự trung bình). Đảm bảo rằng ba cách chứng minh tương tự của Bổ đề 2 cũng áp dụng được cho Bổ đề 4!

Bài tập 4. Có bao nhiêu cách vẽ n đoạn thẳng này sao cho chúng cắt nhau ở điểm giữa?

Chúng tôi sẽ để lại bài toán tiếp theo cho lời giải độc lập. Bài toán 2 (I. Izmestyev, Olympic toàn Nga, 1996). Được đánh dấu trên đường thẳng là $1996 точек.^{1}$ Petya tô màu một nửa trong số đó là màu đỏ và phần còn lại là màu xanh lam. Sau đó Vasya chia chúng thành các cặp màu xanh đỏ sao cho tổng khoảng cách giữa các điểm trong cặp là lớn nhất. Chứng minh rằng mức tối đa này không phụ thuộc vào việc Petya tô màu gì.

---

Bây giờ chúng ta hãy thảo luận về bài toán, trong đó Bổ đề 2 mà chúng tôi đã chứng minh là có ích. Bài toán 3 (A. Gribalko, Giải đấu chiến đấu toán học A.P. Savin, 2018). Xe đi vòng quanh tất cả các ô của bàn cờ một lần, xen kẽ các nước đi ngang và dọc rồi trở về ô ban đầu. Cái nào dài nhất

1 Tại Thế vận hội, trong điều kiện bài toán người ta đã bổ sung thêm rằng các điểm được tính theo các khoảng cách bằng nhau.

$К_{Р} У_{ЖО}$ K

liệu cô ấy có thể đi trên con đường đó không? (Chúng tôi tin rằng nếu một quân xe thực hiện một nước đi, chẳng hạn như từ hình vuông a2 đến hình vuông a5, thì nó sẽ không đi đến các ô a3 và a4. Chúng tôi coi độ dài của bước nhảy đó là khoảng cách giữa tâm của các ô vuông; trong ví dụ này là 3.) Lời giải. Hãy xem xét một hàng tùy ý (hàng hoặc cột). Có chính xác bốn lần nhảy, phần đầu và phần cuối của chúng nằm ở hàng này (Hình 8). Như vậy, tế bào

Hình 8

Ki của hàng này được chia thành các cặp để thực hiện bước nhảy. Theo Bổ đề 2, tổng độ dài của các bước nhảy như vậy không phải là $превышает^{4} 2 16$. Tổng cộng có 16 hàng (8 hàng và 8 cột), độ dài của các bước nhảy trong mỗi hàng không quá 16, nghĩa là tổng chiều dài của các bước nhảy không quá 16 16 256. Vẫn còn phải đưa ra một ví dụ. Trong ví dụ này, tổng độ dài tối đa phải đạt được trong mỗi hàng và để làm được điều này, mỗi lần nhảy phải đi qua giữa hàng tương ứng, tức là qua một trong các đường giữa của bảng (Hình 9). Đây là một sự cân nhắc

Hình 9

Suy nghĩ giúp bạn tìm ra cách đưa ra một ví dụ. Trong mỗi ô, chúng ta viết số của nó theo thứ tự quân xe di chuyển quanh bảng. Trước tiên, bạn có thể điền vào các dòng $1 и^{5}$ (Hình 10), sau đó bạn điền theo cách tương tự.

Hình 10