Kvant
Olympic

Giải đấu thành phố XLII

Бакаев Е. В. и др.

Kvant 2021, số 2tr. 41, 42, 44, 47, 50, 57Thẻ H4LX

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

41

Ô L I P I A D S

Giải đấu thành phố XLII

Bài toán chuyến du lịch mùa thu

Tùy chọn cơ bản

Lớp 8–9 1.(3)11. (3)^{1} Có 100 điểm được đánh dấu trên một vòng tròn. Có thể có chính xác 1000 hình tam giác vuông, tất cả các đỉnh đều được đánh dấu là điểm? S. Dvoryaninov

  1. Nhóm 8 tay vợt quần vợt thi đấu cúp mỗi năm một lần theo hệ thống Olympic (các tay vợt được chia bốc thăm thành 4 cặp; đội thắng được chia làm 2 cặp thi đấu ở bán kết; đội thắng sẽ chơi trận chung kết). Vài năm sau hóa ra mọi người đều chơi với nhau đúng một lần. Chứng minh rằng a) (2) mọi người đã nhiều lần vào bán kết; b) (3) mọi người đều vào chung kết. B.Frenkin

  2. (5) Trong đống n viên đá có hai người đang chơi. Trong khi di chuyển, bạn có thể lấy một số viên đá từ đống, bằng ước số nguyên tố của số viên đá hiện tại trong đống, hoặc bằng 1. Người lấy được viên đá cuối cùng sẽ thắng. Người mới bắt đầu có thể chơi theo cách nào để luôn giành chiến thắng, bất kể đối thủ chơi như thế nào? F.Ivlev

  3. (5) Cho một tam giác đều cạnh d và một điểm P, khoảng cách từ đó đến các đỉnh của tam giác bằng các số dương a, b và c. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác đều cạnh a và một điểm Q, các khoảng cách từ đó tới các đỉnh của tam giác này là b, c và d. A. Evnin

  4. (5) Giám đốc vườn thú mua 8 con voi có số 1, 2, …, 8. Ông ấy quên mất khối lượng của chúng nhưng lại nhớ rằng

1 Số điểm được trao cho toàn bộ lời giải được ghi trong ngoặc đơn sau số bài toán. Kết quả được tổng hợp cho ba nhiệm vụ đạt được kết quả tốt nhất (điểm của một bài toán được tổng hợp).

khối lượng của mỗi con voi, bắt đầu từ con thứ ba, bằng tổng khối lượng của hai con trước đó. Đột nhiên giám đốc nghe được tin đồn rằng một con voi đã sụt cân. Làm thế nào anh ta có thể tìm thấy con voi này trong hai lần cân trên cân cốc mà không có quả cân hoặc chắc chắn rằng đó chỉ là tin đồn? (Anh ấy biết rằng không một con voi nào tăng cân và nhiều nhất là một con có thể giảm cân.) A. Gribalko

Lớp 10–11 1. (3) Mỗi ​​tam thức bậc hai P x, Q x và P x Q x có hệ số thực có nghiệm bội. Có phải tất cả những gốc này nhất thiết phải trùng khớp? B.Frenkin

  1. (4) Trên đường thẳng, chúng ta đánh dấu các điểm X1X_{1}, … ,X10, X_{10} (theo đúng thứ tự này) và dựng các tam giác cân có góc D tại các đỉnh trên các đoạn X1X2,X2X3X_{1} X_{2}, X_{2} X_{3}, … ,X9X10, X_{9} X_{10} như trên các đáy. Hóa ra tất cả các đỉnh này đều nằm trên một hình bán nguyệt có đường kính X1X10X_{1} X_{10}. Tìm D. E. Bakaev

  2. (5) Số tự nhiên N là bội số của 2020. Trong ký hiệu thập phân của nó, tất cả các chữ số đều khác nhau và nếu bất kỳ hai chữ số nào trong số chúng bị hoán đổi cho nhau thì kết quả là một số không phải là bội số của 2020. Điều này có thể xảy ra với bao nhiêu chữ số trong ký hiệu thập phân của số N? S. Tokarev

  3. (5) Các cạnh của tam giác được chia bởi đáy của các đường phân giác thành hai đoạn. Có cần thiết phải tạo thành hai hình tam giác từ sáu đoạn kết quả không? L. Emelyanov

  4. Có 101 đồng xu trong một vòng tròn, mỗi đồng có khối lượng 10 g hoặc 11 g. Chứng minh rằng tồn tại một đồng xu mà tổng khối lượng của k đồng xu ở bên trái nó bằng tổng khối lượng của k đồng xu ở bên phải nó, nếu a) (3) k 50; b) (3) k 49. A. Gribalko

42

K V A N T 2021/No. 2

Tùy chọn phức tạp

Lớp 8–9 1. (4) Với mọi tứ giác lồi, có một đường tròn cắt mỗi cạnh của nó tại hai điểm trong không? A.Perepechko

  1. (7) Xem bài toán M2630 “Bài toán Kvant”. 3. Petya và Vasya chơi một trò chơi như vậy. Mỗi nước đi, Petya đặt tên cho một số nguyên và Vasya viết lên bảng số đã đặt tên hoặc tổng của số này và tất cả các số đã viết trước đó. Liệu Petya có luôn có thể đảm bảo rằng tại một điểm nào đó trên bảng trong số các số được viết có a) (3) ít nhất một trăm số 5; b) (4) ít nhất một trăm số 10? A. Arzhantsev

  2. (7) “Chữ thập” pentomino bao gồm năm ô vuông 1 u 1 (bốn ô vuông liền kề với ô thứ năm). Có thể cắt chín hình chữ thập như vậy từ một bàn cờ 8 x 8, không nhất thiết phải là hình vuông? (Hình vẽ cho thấy ba cây thánh giá có thể được cắt ra như thế nào.) A. Gribalko

  3. (8) Có 100 số tự nhiên không có số nào giống nhau sao cho lập phương của một số bằng tổng lập phương của các số còn lại? M. Evdokimov

  4. (10) Xem bài toán M2633a “Bài toán Kvant. 7. 6 6 Xem bài toán M2631 “Bài toán Kvant.

Lớp 10–11 1. (4) Cho n số tự nhiên. Đối với mỗi cặp số này, Borya viết giá trị trung bình số học của chúng lên bảng đen và giá trị trung bình hình học của chúng lên bảng trắng, và đối với mỗi cặp, ít nhất một trong hai giá trị trung bình này là số nguyên. Chứng minh rằng trên ít nhất một bảng tất cả các số đều là số nguyên. B.Frenkin

  1. (5) Nam tước Munchausen đưa ra một định lý: nếu đa thức xnaxn1bxn2x^{n} ax^{n} 1 bx^{n} 2 … có n nghiệm tự nhiên thì trong mặt phẳng có một đường thẳng có đúng b điểm giao nhau. Nam tước có nhầm không? F.Ivlev

  2. (6) Đường tròn D và E có tâm lần lượt tại các điểm A và B cắt nhau tại các điểm C và D. Đoạn AB cắt đường tròn D và E lần lượt tại các điểm K và L. Tia DK cắt đường tròn E lần thứ hai tại điểm N và tia DL cắt đường tròn D lần thứ hai tại điểm M. Chứng minh rằng giao điểm các đường chéo của tứ giác KLMN trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. K.Knop

  3. (7) Xem bài toán M2633a “Bài toán Kvant. 5. (7) Có hình chữ nhật nào có thể cắt thành 100 hình chữ nhật, tất cả đều giống nhau nhưng không có hai hình nào giống nhau không? M. Murashkin

  4. (10) Xem bài toán M2632 “Bài toán Kvant. 7. (12) Quân bọ cánh cứng màu trắng đứng ở ô vuông góc của bàn cờ 1000 u n, trong đó n là số tự nhiên lẻ lớn hơn 2020. Ở hai góc bàn cờ gần nhất có hai quân cờ đen. Với mỗi nước đi, con bọ hoặc di chuyển đến một ô liền kề hoặc di chuyển như một quân cờ. Bọ cánh cứng muốn đến góc đối diện của bàn cờ. bảng mà không đi qua các ô bị chiếm đóng hoặc tấn công, và đã ghé thăm từng ô khác đúng một lần. Chứng minh rằng số đường đi mà một con bọ có thể đi không phụ thuộc vào N. Belukhov.

Tài liệu được chuẩn bị bởi E. Bakaev, A. Gribalko, S. Dorichenko, A. Zaslavsky, P. Kozhevnikov, A. Kushnir, L. Mednikov, V. Retinsky, E. Ryabov, M. Skopenkov, A. Terteryan, I. Frolov, B. Frenkin, E. Khinko, A. Shapovalov

44

KVANT 2021/№2

Lớp 8 Bài toán 1. Đồng hồ (10 điểm) Trên đồng hồ tại một thời điểm nào đó, góc giữa kim giờ và kim phút là D 60 q. Xác định xem sau bao nhiêu phút góc giữa các mũi tên có thể lại bằng D vào lần sau. Vị trí của các mũi tên trong Hình 4 là có điều kiện. V. Yavorsky Hình 4

Bài toán 2. Cuộc thi đo nhiệt lượng (10 điểm) Một cục nước đá được đặt vào hai nhiệt lượng kế và chất chứa trong chúng được đun nóng với công suất bằng nhau trong Wк10W_{к} 10 phút. Biết rằng mảnh băng thứ nhất nhẹ hơn mảnh thứ hai 100 g. Hình 5 cho thấy

Hình 5

sự phụ thuộc của chênh lệch nhiệt độ t trong nhiệt lượng kế vào thời gian W. Thật không may, thang đo của trục chênh lệch nhiệt độ không được bảo toàn và các điểm ngắt trong biểu đồ tương ứng với thời gian W1,W2,W3,W4W_{1}, W_{2}, W_{3}, W_{4}. Giải thích những quá trình vật lý nào tương ứng với từng phần tuyến tính của đồ thị. Xác định: 1) công suất lò sưởi P; 2) khối lượng m1m_{1} và m2m_{2} mảnh băng; 3) nhiệt độ ban đầu và nhiệt độ cuối cùng của các tảng băng; 4) chênh lệch nhiệt độ tại thời điểm W1W_{1}. Số liệu tham khảo: nhiệt dung riêng của nước đá cл2100c_{л} 2100 J kg qC, nhiệt dung riêng của nước cв4200c_{в} 4200 J kg qC, nhiệt dung riêng của nước đá O 330 kJ kg. A. Evseev

Bài toán 3. Tính liên tục (10 điểm) Tại giá trị nào thì khối lượng M của hệ có thể cân bằng?

ke 6 nếu m 4,0 kg? Một đòn bẩy nằm ngang có khối lượng 2m được chia thành 8 phần giống nhau. Sợi chỉ có thể chịu được tối đa. Hình 6 độ căng thấp T025T_{0} 25 N. Gia tốc g 10 N kg. M. Zamyatnin

Bài toán 4. Vật lý trong y học (20 điểm) Để đo một số đặc tính kỹ thuật của ống tiêm y tế, người thực nghiệm Gluck đã lắp ráp thiết bị như trong Hình 7. Ông cố định ống tiêm đang nghiên cứu ở vị trí thẳng đứng. Thay vì một chiếc kim, một ống mềm mỏng được gắn vào nó, đầu thứ hai của ống này được nối với một lỗ ở đáy của một chiếc bình hình trụ. Sau đó, Gluck đo sự khác biệt về mức độ nước trong bình và ống tiêm, tại đó pít-tông của ống tiêm bắt đầu di chuyển lên trên trong quá trình dâng lên плав−Рис.7плав-^{Рис.} 7 của bình. Hóa ra giá trị của ’ h phụ thuộc vào khối lượng mгm_{г} của tải trọng tác dụng lên điểm dừng trên của piston. Ông trình bày kết quả đo sự phụ thuộc ’ hmгh m_{г} trong một bảng cũng cho thấy giá trị ’ hxh_{x} đối với một tải có khối lượng chưa biết mxm_{x}. Xác định diện tích S của piston và lực ma sát trượt FтрF_{тр} giữa piston và thành ống tiêm. Để làm điều này: 1) rút ra sự phụ thuộc lý thuyết ’ hmгh m_{г}; 2) vẽ đồ thị sự phụ thuộc thực nghiệm ’ hmгh m_{г}; 3) sử dụng biểu đồ để xác định FтрF_{тр} và S; 4) tìm khối lượng chưa biết mxm_{x} của tải ở hàng thứ sáu của bảng.

Ghi chú. Khối lượng của piston có thể bỏ qua; không có khe hở không khí giữa piston và nước trong ống tiêm; mật độ nước U 1,0 10310^{3} kg м3м^{3}; gia tốc g 10 N kg.

M. Zhang, S. Karmazin

47

Ô L I P I A D S

Khi đã vào trong hình nón, những mảnh nhựa nhỏ được đặt bên trong nó.

Hình 13

Gương phẳng được dán vào các bức tường đối diện từ bên trong. Một tia laser được gắn vào thành bên của hộp, chùm tia này bị phản xạ nhiều lần từ gương sẽ chạm vào tế bào quang điện, luôn chuyển động trong cùng một mặt phẳng nằm ngang. Khi hình nón rơi vào bên trong hộp, chùm tia laser đảm bảo sẽ bị chặn lại và điện áp trên tế bào quang điện thay đổi. Khoảng cách từ chùm tia laser phía trên đến mặt phẳng tạo bởi chùm tia laser phía dưới là 23,0 r 0,5 cm. Các tế bào quang điện được nối thành mạch điện nối tiếp với nhau và được kết nối với máy hiện sóng USB, giúp chuyển đổi giá trị của tổng điện áp trên các tế bào quang điện thành dạng kỹ thuật số và truyền đến máy tính xách tay. Máy tính xách tay được cài đặt chương trình hiển thị biểu đồ điện áp theo thời gian với độ chính xác 0,5 ms. Sử dụng biểu đồ полученногоРис.14полученного^{Рис.} 14, bạn có thể xác định thời gian chuyển động của hình nón giữa hai giao điểm của chùm tia laze. Để xác định khối lượng của hình nón 9 người ta sử dụng cân điện tử 1. Để thay đổi khối lượng

Quy trình thực hiện các phép đo 1. Một lượng nhựa dẻo nhất định được đặt bên trong hình nón và tổng khối lượng của hình nón bằng nhựa dẻo được xác định trên cân điện tử. 2. Đặt hình nón, hướng xuống, cao hơn tia laser trên cùng khoảng 60–70 cm và thả ra. Khoảng cách 60–70 cm đảm bảo khi hình nón tiếp cận tia laser phía trên, chuyển động của nó sẽ gần như đồng đều. 3. Trong cửa sổ chương trình, dựa trên sự phụ thuộc của tổng điện áp vào thời gian (Hình 14), các thông số sau được xác định và nhập vào bảng: T1,T2T_{1}, T_{2} – thời gian bắt đầu và kết thúc của lần nhúng đầu tiên; T3,T4T_{3}, T_{4} – thời gian bắt đầu và kết thúc của lần nhúng thứ hai; U0U_{0} – mức điện áp không đổi; U1,U2U_{1}, U_{2} – mức điện áp tương ứng với lần sụt giảm thứ nhất và thứ hai.

50

K V A N T 2021/No. 2

khó khăn, đau thương cho băng phủ. Băng đóng băng trên bờ - khi cái lạnh mùa đông tràn vào, đất nguội nhanh hơn nước và băng tiếp xúc với nó đông cứng nhanh hơn. Ở đây anh bất động. Và cách xa bờ biển, thủy triều vẫn tiếp tục dao động trong băng, cùng với mực nước lên xuống hai lần một ngày. Đúng vậy, lớp băng phủ liên tục hạn chế một chút những chuyển động này: ở hầu hết các khu vực của Biển Trắng, nơi chụp những bức ảnh được trình bày trong bài báo và trên trang thứ tư của bìa tạp chí, phạm vi dao động giảm đi hàng chục hoặc hai cm, nhưng ở độ cao thủy triều 1,5–2 m, mức giảm này gần như không thể nhận thấy. Và khi đó số phận của băng có thể phát triển rất khác nhau, tùy thuộc vào nhiều điều kiện địa phương: độ cao của thủy triều, địa hình đáy biển ven biển, dòng hải lưu, nhiệt độ không khí, v.v. Lớp băng tương đối mỏng có thể biểu hiện một số độ đàn hồi, nhưng lớp băng dày hơn sẽ vỡ dưới áp lực của sóng thủy triều, tạo ra các vết nứt chạy dọc bờ biển. Thông qua những vết nứt này, nước có thể tràn vào bề mặt ven biển hay còn gọi là băng nhanh. Nếu áp lực của sóng thủy triều đủ mạnh thì băng bắt đầu vỡ vụn gần đứt gãy, các tảng băng được hình thành, có thể bị ném lên bề mặt băng nhanh, bị đẩy xuống dưới hoặc đứng trên đầu, tạo thành cái gọi là ropakas (tảng băng riêng lẻ đứng thẳng đứng hoặc xiên) hoặc toàn bộ các rặng ven biển. Trong một số trường hợp (ví dụ, khi có dòng chảy), các polynya không đóng băng được hình thành dọc theo bờ biển. Có lẽ, ở một mức độ nào đó, những quá trình này có thể được so sánh với sự hình thành của sự nhẹ nhõm

Hình 2

Hình 3

bề mặt trái đất, chỉ xảy ra trong thời gian ngắn hơn nhiều. Nhưng các địa hình biển mùa đông thú vị nhất hình thành xung quanh những tảng đá nằm ở vùng nước nông, lộ ra ở vùng nước thấp và ẩn bên dưới bề mặt khi mực nước biển dâng cao. Khi sương giá nghiêm trọng xảy ra, khi băng đóng băng trong vài giờ trong khi những viên đá ẩn dưới nước, khi thủy triều xuống, nó sẽ chìm và vỡ ra trên đỉnh của những viên đá. Băng dường như sẽ mở ra thành những cánh hoa xung quanh hòn đá (Hình 2). Thông qua các vết nứt hình thành xung quanh viên đá, những phần nước mới sẽ được đổ lên bề mặt băng, tạo nên một “sân trượt băng” tuyệt đẹp xung quanh viên đá. Trong những đợt sương giá nghiêm trọng, nước bốc hơi từ những vết nứt này sẽ ngưng tụ trên đá và các cánh băng xung quanh, dẫn đến sự phát triển của một lớp băng (còn gọi là băng thăng hoa). Chiều cao của chiếc lều như vậy có thể đạt tới chiều cao của con người (Hình 3) hoặc thậm chí hơn. Và trong các hang băng trên các bức tường cánh hoa của lều có tảo đông cứng trong đó (Hình 4). Và giờ đây toàn bộ bề mặt vịnh biển được bao phủ bởi những “đụi chuột chũi” khổng lồ lấp lánh dưới nắng mùa đông…

Hình 4

57

ĐÁP ÁN,

HƯỚNG DẪN

GIẢI ĐẤU THÀNH PHỐ XLII Bài toán vòng mùa thu

Tùy chọn cơ bản

lớp 8–9

  1. Nó không thể. Một tam giác là vuông góc khi và chỉ khi một số đỉnh của nó là các điểm đối xứng đường kính của đường tròn ngoại tiếp của nó. Mỗi cặp điểm đối xứng đường kính tương ứng với đúng 98 hình tam giác vuông; chúng khác nhau đối với các cặp khác nhau. Do đó, tổng số tam giác vuông chia hết cho 98 nhưng 1000 không chia hết cho 98. 2. Theo điều kiện mọi người chơi 7 ván, tổng cộng là 8 7: 2 28 ván đã chơi. Vì có 7 trận được diễn ra mỗi năm nên giải đấu được diễn ra 4 lần. a) Cầu thủ vào bán kết không quá 1 lần thi đấu không quá 3 3 1 6 trận trong 4 năm là trái với điều kiện. b) Tổng cộng có 2 4 8 suất vào 4 vòng chung kết. Nếu có người không vào trận chung kết thì có người khác phải vào trận chung kết ít nhất hai lần. Nhưng sau đó anh ta đã chơi ít nhất 2 3 2 1 8 ván, điều này mâu thuẫn với điều kiện. 3. Khi n không phải là bội số của 4. Chiến lược: mỗi lần để lại một số viên đá trong đống là bội số của 4. Khi n 4k 1 bạn cần lấy một viên đá, khi n 4k 2 - hai viên đá; đối với n 4k 3 thì cần lấy p đá, trong đó p là ước nguyên tố của số n dạng 4q 3 (có chuyện như vậy, ngược lại mọi ước nguyên tố của n đều có dạng 4m 1, và tích các số có dạng này cũng có dạng như vậy và không bằng 4k 3). Đối thủ từ một đống có bội số của 4 quân không thể lấy số quân là bội số của 4 (đây sẽ không phải là số nguyên tố), vì vậy người mới bắt đầu có thể tiếp tục chơi theo chiến thuật. 4. Gọi A, B, C là các đỉnh của một tam giác sao cho AP a, BP b, CP c. Gọi F là ảnh của điểm P khi quay quanh A một góc 60q, biến C thành B. Khi đó tam giác APF đều cạnh a, và đoạn FB là ảnh của đoạn PC dưới phép quay này, từ đó FB PC c. Trong trường hợp này, AB d, PB b và do đó tam giác APF cùng với điểm B tạo thành hình dạng mong muốn. 5. Hãy tưởng tượng sắp xếp những con voi theo dạng một cái bàn, như trong Hình 22. Lần cân đầu tiên so sánh hai hàng đầu tiên với nhau, lần cân thứ hai – hai cột đầu tiên. Trong lần cân đầu tiên, chúng ta sẽ tìm thấy đường nơi Hình mỏng hơn. 22

GIẢI PHÁP

giám mục, nếu có một, và đối với cột thứ hai - một cột. Tại giao điểm của các hàng và cột này sẽ có một con voi gầy hơn (nếu giao điểm có ô trống thì không có con voi nào sụt cân).

lớp 10–11

  1. Cần thiết. Giả sử điều ngược lại: P x và Q x có nhiều nghiệm a và b tương ứng là a z b. Nếu các nhánh của đồ thị y P x và y Q x cùng hướng thì tam thức P x Q x không có nghiệm (tất cả các giá trị của nó cùng dấu và khác 0). Nếu các nhánh của đồ thị y P x và y Q x hướng theo các hướng khác nhau thì tại các điểm a và b, tam thức P x Q x lấy các giá trị khác dấu, điều này là không thể đối với một tam thức có nghiệm bội. Sự mâu thuẫn. 2. 18q. Cho các hình tam giác X1A1X2X_{1} A_{1} X_{2}, … ...,X9A9X10..., X_{9} A_{9} X_{10} (Hình 23) được dựng và точки1Bточки_{1}^{B}, … ,9B,_{9}^{B} đối xứng

Hình 23

tương ứng với các điểm A1A_{1}, … ,A9, A_{9}, tương ứng (so với đường thẳng X1X10).X_{1} X_{10} ). Rõ ràng, điểm XiX_{i} nằm trên dây cung Bi1AiB_{i} 1 A_{i} và trên dây BiAi1(i2,B_{i} A_{i} 1 (i 2, …, 9), vì khi phản xạ sẽ xuất hiện các góc thẳng đứng (góc ở đáy của một tam giác cân và bằng một góc của tam giác phản xạ cạnh đó). Đó là lý do tại sao

‘ X1B1A2X_{1}^{B} 1 A 2

‘ A23BA4A 2_{3}^{B} A_{4}

‘ A4B5A6A_{4}^{B} 5 A_{6}

‘ A6B7A8A_{6}^{B} 7 A_{8}

‘ A8B9X10A_{8}^{B} 9 X_{10}

D.

Do đó, 5D bằng một nửa cung X1X10X_{1} X_{10}, tức là 90q. 3. Với 6 chữ số. Nếu trong một số, chữ số thứ bảy từ bên phải là a và chữ số thứ ba từ bên phải là b, thì bằng cách hoán đổi chúng, chúng ta sẽ thay đổi số đó thành b 106a10^{6} a 106a10^{6} a 102b10^{2} b 102ba10^{2} b a 104110^{4} 1 100. Điều này có nghĩa là với sự thay thế như vậy, khả năng chia hết cho năm 2020 là 20 101 sẽ không giảm, bởi vì