Квант
Олимпиады

XLII Турнир городов

Бакаев Е. В. и др.

Квант 2021, №2с. 41, 42, 44, 47, 50, 57Тег H4LX

41

О ЛИМ П И А Д Ы

XLII Турнир городов

Задачи осеннего тура

Базовый вариант

8–9 классы 1.(3)11. (3)^{1} На окружности отмечено 100 точек. Может ли при этом оказаться ровно 1000 прямоугольных треугольников, все вершины которых – отмеченные точки? С.Дворянинов

  1. Группа из восьми теннисистов раз в год разыгрывала кубок по олимпийской системе (игроки по жребию делятся на 4 пары; выигравшие делятся по жребию на две пары, играющие в полуфинале; их победители играют финальную партию). Через несколько лет оказалось, что каждый с каждым сыграл ровно один раз. Докажите, что а) (2) каждый побывал в полуфинале более одного раза; б) (3) каждый побывал в финале. Б.Френкин

  2. (5) В куче n камней, играют двое. За ход можно взять из кучи количество камней, либо равное простому делителю текущего числа камней в куче, либо равное 1. Выигрывает взявший последний камень. При каких n начинающий может играть так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл его соперник? Ф.Ивлев

  3. (5) Дан равносторонний треугольник со стороной d и точка P, расстояния от которой до вершин треугольника равны положительным числам a, b и с. Докажите, что найдется равносторонний треугольник со стороной a и точка Q, расстояния от которой до вершин этого треугольника равны b, с и d. А.Эвнин

  4. (5) Директор зоопарка приобрел восемь слонов с номерами 1, 2, …, 8. Какие у них были массы, он забыл, но запомнил, что

1 В скобках после номера задачи указано число баллов, присуждавшихся за ее полное решение. Итог подводился по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты (баллы за пункты одной задачи суммируются).

масса каждого слона, начиная с третьего, равнялась сумме масс двух предыдущих. Вдруг до директора дошел слух, что один слон похудел. Как ему за два взвешивания на чашечных весах без гирь найти этого слона или убедиться, что это всего лишь слух? (Ему известно, что ни один слон не потолстел, а похудеть мог максимум один.) А.Грибалко

10–11 классы 1. (3) Каждый из квадратных трехчленов P x, Q x и P x Q x с действительными коэффициентами имеет кратный корень. Обязательно ли все эти корни совпадают? Б.Френкин

  1. (4) На прямой отметили точки X1X_{1}, … ,X10, X_{10} (именно в таком порядке) и построили на отрезках X1X2,X2X3X_{1} X_{2}, X_{2} X_{3}, … ,X9X10, X_{9} X_{10} как на основаниях равнобедренные треугольники с углом D при вершинах. Оказалось, что все эти вершины лежат на полуокружности с диаметром X1X10X_{1} X_{10}. Найдите D. Е. Бакаев

  2. (5) Натуральное число N кратно 2020. В его десятичной записи все цифры различны, причем если любые две из них поменять местами, получится число, не кратное 2020. При каком количестве цифр в десятичной записи числа N такое возможно? С.Токарев

  3. (5) Стороны треугольника разделены основаниями биссектрис на два отрезка каждая. Обязательно ли из шести образовавшихся отрезков можно составить два треугольника? Л.Емельянов

  4. По кругу лежит 101 монета, каждая массой 10 г или 11 г. Докажите, что найдется монета, для которой суммарная масса k монет слева от нее равна суммарной массе k монет справа от нее, если а) (3) k 50; б) (3) k 49. А.Грибалко

42

К В А Н T 2021/№2

Сложный вариант

8–9 классы 1. (4) Для всякого ли выпуклого четырехугольника найдется окружность, пересекающая каждую его сторону в двух внутренних точках? А.Перепечко

  1. (7) См. задачу М2630 «Задачника «Кванта». 3. Петя и Вася играют в такую игру. Каждым ходом Петя называет какое-то целое число, а Вася записывает на доску либо названное число, либо сумму этого числа и всех ранее написанных чисел. Всегда ли Петя сможет добиться того, чтобы в какой-то момент на доске среди написанных чисел было а) (3) хотя бы сто чисел 5; б) (4) хотя бы сто чисел 10? А.Аржанцев

  2. (7) Пентамино «крест» состоит из пяти квадратиков 1 u 1 (четыре квадратика примыкают по стороне к пятому). Можно ли из шахматной доски 8 u 8 вырезать, не обязательно по клеткам, девять таких крестов? (На рисунке показано, как можно вырезать три креста.) А.Грибалко

  3. (8) Существуют ли 100 таких натуральных чисел, среди которых нет одинаковых, что куб одного из них равен сумме кубов остальных? М.Евдокимов

  4. (10) См. задачу М2633а «Задачника «Кванта». 7. 6 6 См. задачу М2631 «Задачника «Кванта».

10–11 классы 1. (4) Даны n натуральных чисел. Боря для каждой пары этих чисел записал на черную доску их среднее арифметическое, а на белую доску – их среднее геометрическое, и для каждой пары хотя бы одно из этих двух средних было целым. Докажите, что хотя бы на одной из досок все числа целые. Б.Френкин

  1. (5) Барон Мюнхгаузен придумал теорему: если многочлен xnaxn1bxn2x^{n} ax^{n} 1 bx^{n} 2 … имеет n натуральных корней, то на плоскости найдутся a прямых, у которых ровно b точек пересечения друг с другом. Не ошибается ли барон? Ф.Ивлев

  2. (6) Окружности D и E с центрами в точках A и B соответственно пересекаются в точках C и D. Отрезок AB пересекает окружности D и E в точках K и L соответственно. Луч DK вторично пересекает окружность E в точке N, а луч DL вторично пересекает окружность D в точке M. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырехугольника KLMN совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC. К.Кноп

  3. (7) См. задачу М2633а «Задачника «Кванта». 5. (7) Существует ли прямоугольник, который можно разрезать на 100 прямоугольников, которые все ему подобны, но среди которых нет двух одинаковых? М.Мурашкин

  4. (10) См. задачу М2632 «Задачника «Кванта». 7. (12) Белая фигура «жук» стоит в угловой клетке доски 1000 u n, где n – нечетное натуральное число, большее 2020. В двух ближайших к ней углах доски стоят два черных шахматных слона. При каждом ходе жук или переходит на клетку, соседнюю по стороне, или ходит как шахматный конь. Жук хочет достичь противоположного угла доски, не проходя через клетки, занятые или атакованные слоном, и побывав на каждой из остальных клеток ровно по одному разу. Покажите, что количество путей, по которым может пройти жук, не зависит от n. Н.Белухов

Материал подготовили Е. Бакаев, А. Грибалко, С. Дориченко, А. Заславский, П. Кожевников, А. Кушнир, Л. Медников, В. Ретинский, Е. Рябов, М. Скопенков, А. Тертерян, И. Фролов, Б. Френкин, Е. Хинко, А. Шаповалов

44

КВАНТ 2021/№2

8 класс Задача 1. Часы (10 баллов) На часах в некоторый момент времени угол между часовой и минутной стрелками составил D 60 q. Определите, через сколько минут угол между стрелками в следующий раз может снова оказаться равным D. Положение стрелок на рисунке 4 – условное. В.Яворский Рис. 4

Задача 2. Соревнование калориметров (10 баллов) В два калориметра положили по куску льда и в течение Wк10W_{к} 10 мин стали нагревать их содержимое с одинаковой мощностью. Известно, что первый кусок льда легче второго на ’ m 100 г. На рисунке 5 приведена

Рис. 5

зависимость разности температур t в калориметрах от времени W. К сожалению, шкала оси разности температур не сохранились, а изломам графика соответствуют времена W1,W2,W3,W4W_{1}, W_{2}, W_{3}, W_{4}. Объясните, какие физические процессы соответствуют каждому линейному участку графика. Определите: 1) мощность P нагревателя; 2) массы m1m_{1} и m2m_{2} кусков льда; 3) начальные и конечные температуры кусков льда; 4) разность температур ’ t в момент времени W1W_{1}. Справочные данные: удельная теплоемкость льда cл2100c_{л} 2100 Дж к㠘 qC, удельная теплоемкость воды cв4200c_{в} 4200 Дж к㠘 qC, удельная теплота плавления льда O 330 кДж кг. А.Евсеев

Задача 3. Неразрывность (10 баллов) При каких значениях массы груза M возможно равновесие системы, приведенной на рисун-

ке 6, если m 4,0 кг? Горизонтальный рычаг массой 2m разделен на 8 одинаковых участков. Нить выдерживает макси- Рис. 6 мальное натяжение T025T_{0} 25 Н. Ускорение g 10 Н кг. М.Замятнин

Задача 4. Физика в медицине (20 баллов) Для измерения некоторых технических характеристик медицинского шприца экспериментатор Глюк собрал установку, изображенную на рисунке 7. Исследуемый шприц он закрепил в вертикальном положении. Вместо иглы к нему присоединил тонкую гибкую трубку, второй конец которой соединил с отверстием в дне цилиндрического сосуда. Затем Глюк измерил разность уровней ’ h воды в сосуде и шприце, при которой поршень шприца начинал двигаться вверх в процессе плав−Рис.7плав-^{Рис.} 7 ного подъема сосуда. Оказалось, что величина ’ h зависит от массы mгm_{г} груза, закрепленного на верхнем упоре поршня. Результаты измерений зависимости ’ hmгh m_{г} он представил в таблице, в которой также приведена величина ’ hxh_{x} для груза неизвестной массы mxm_{x}. Определите площадь S поршня и силу трения скольжения FтрF_{тр} между поршнем и стенкой шприца. Для этого: 1) выведите теоретическую зависимость ’ hmгh m_{г}; 2) постройте график экспериментальной зависимости ’ hmгh m_{г}; 3) с помощью графика определите FтрF_{тр} и S; 4) найдите, чему равна неизвестная масса mxm_{x} груза в шестой строке таблицы.

Примечание. Массой поршня можно пренебречь; воздушная прослойка между поршнем и водой в шприце отсутствует; плотность воды U 1,0 ˜ 10310^{3} кг м3м^{3}; ускорение g 10 Н кг.

М.Чжан, С.Кармазин

47

О ЛИМ П И А Д Ы

сы конуса внутрь него помещают небольшие кусочки пластилина.

Рис. 13

положным стенкам которого изнутри приклеены плоские зеркала. На боковой стенке ящика закреплен лазер, луч которого, многократно отразившись от зеркал, попадает на фотоэлемент, двигаясь все время в одной горизонтальной плоскости. При падении конуса внутрь ящика луч лазера гарантированно перекрывается и напряжение на фотоэлементе изменяется. Расстояние от луча верхнего лазера до плоскости, образуемой лучами нижнего лазера, равно 23,0 r 0,5 см. Фотоэлементы соединены в электрическую цепь последовательно друг с другом и подключены к USB-осциллографу, который преобразует значение суммарного напряжения на фотоэлементах в цифровой вид и передает в ноутбук. На ноутбуке установлена программа, отображающая график зависимости напряжения от времени с точностью до 0,5 мс. С помощью полученногоРис.14полученного^{Рис.} 14 графика можно определить время движения конуса между двумя пересечениями лучей лазеров. Для определения массы конуса 9 используются электронные весы 1. Для изменения мас-

Порядок проведения измерений 1. Внутрь конуса помещается некоторое количество пластилина и на электронных весах определяется общая масса конуса с пластилином. 2. Конус размещают острием вниз на расстоянии примерно 60–70 см над верхним лазером и отпускают. Расстояние в 60–70 см гарантирует, что при подлете конуса к верхнему лазеру его движение будет практически равномерным. 3. В окне программы по зависимости суммарного напряжения от времени (рис.14) определяются и заносятся в таблицу: T1,T2T_{1}, T_{2} – времена начала и окончания первого провала; T3,T4T_{3}, T_{4} – времена начала и окончания второго провала; U0U_{0} – постоянный уровень напряжения; U1,U2U_{1}, U_{2} – уровни напряжений, соответствующие первому и второму провалам.

50

К В А Н T 2021/№2

трудное, травматичное для ледяного покрова. Лед примерзает к берегу – земля по мере наступления зимних холодов остывает быстрее, чем вода, и лед в контакте с ней схватывается быстрее. Здесь он неподвижен. А вдали от берега продолжаются приливноотливные колебания льда вместе с поднимающейся и опускающейся по два раза в сутки водой. Правда, сплошной ледовый покров немного сковывает эти движения: в большинстве районов Белого моря, где сделаны фотографии, представленные в статье и на четвертой странице обложки журнала, размах колебаний снижается на десяток-другой сантиметров, но при высотах приливов 1,5– 2 м это снижение почти незаметно. А дальше судьба льда может складываться очень поразному, в зависимости от множества местных условий: от высоты прилива, рельефа прибрежного морского дна, морских течений, температуры воздуха и т.д. Относительно тонкий лед может проявлять некоторую эластичность, но более толстый лед будет ломаться под давлением приливной волны, образуя трещины, идущие вдоль берега. Через эти трещины вода может заливать поверхность прибрежного или, как его называют, припайного льда. Если же напор приливной волны достаточно сильный, то лед начинает крошиться вблизи разлома, образуются льдины, которые могут быть выброшены на поверхность припайного льда, загнаны под нее или встать дыбом, образуя так называемые ропаки (отдельные льдины, стоящие вертикально или наклонно) или же целые береговые гребни. В некоторых случаях (например, при наличии течений) вдоль берега образуются незамерзающие полыньи. Наверное, эти процессы можно в какой-то мере сравнить с формированием рельефа

Рис. 2

Рис. 3

земной поверхности, только происходящим за гораздо более короткие времена. Но самые интересные формы зимнего морского рельефа образуются вокруг камней, лежащих на мелководье, обнажающихся в малую воду и скрывающихся под ее поверхностью во время подъема уровня моря. При наступлении сильных морозов, когда лед успевает замерзнуть за те несколько часов, пока камни скрыты под водой, с наступлением отлива он будет опускаться и ломаться о макушки камней. Лед словно раскроется лепестками вокруг камня (рис. 2). Через образовавшиеся вокруг камня трещины на поверхность льда будут заливаться новые порции воды, создавая вокруг камня прекрасный «каток». При сильных морозах вода, испаряющаяся из этих трещин, будет конденсироваться на камне и окруживших его ледяных лепестках, приводя к нарастанию слоя льда (так называемый сублимационный лед). Высота такого шатра может достигать человеческого роста (рис. 3) или даже больше. А в ледяных пещерках в стенах-лепестках шатра встречаются вмерзшие в них водоросли (рис. 4). И вот вся поверхность морского залива покрывается этими гигантскими «кротовинами», сверкающими на зимнем солнце…

Рис. 4

57

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

XLII ТУРНИР ГОРОДОВ Задачи осеннего тура

Базовый вариант

8–9 классы

  1. Не может. Треугольник прямоугольный тогда и только тогда, когда некоторые две его вершины – диаметрально противоположные точки его описанной окружности. Каждой паре диаметрально противоположных точек соответствуют ровно 98 прямоугольных треугольников, для разных пар они различны. Поэтому общее количество прямоугольных треугольников делится на 98, но 1000 не делится на 98. 2. По условию каждый сыграл 7 партий, а всего было сыграно 8 ˜ 7: 2 28 партий. Поскольку каждый год играется 7 партий, кубок разыгрывался 4 раза. а) Игрок, сыгравший в полуфинале не более одного раза, за 4 года сыграл не более 3 3 ˜ 1 6 партий, что противоречит условию. б) Всего в четырех финалах было 2 ˜ 4 8 мест. Если кто-то не играл в финале, то кто-то другой должен был сыграть в финале как минимум дважды. Но тогда он сыграл не меньше 2 ˜ 3 2 ˜ 1 8 партий, что противоречит условию. 3. При n, не кратном 4. Стратегия: каждый раз оставлять в куче кратное 4 число камней. При n 4k 1 надо взять один камень, при n 4k 2 – два камня; при n 4k 3 надо взять p камней, где p – простой делитель числа n вида 4q 3 (такой есть, иначе все простые делители n имеют вид 4m 1, а произведение чисел такого вида тоже имеет такой вид и не равно 4k 3). Противник из кучи с кратным 4 числом камней не может взять число камней, кратное 4 (это будет не простое число), поэтому начинающий и дальше может играть по стратегии. 4. Пусть A, B, C – вершины данного треугольника такие, что AP a, BP b, CP c. Пусть F – образ точки P при повороте вокруг A на 60q, переводящем C в B. Тогда треугольник APF – равносторонний со стороной a, и отрезок FB является образом отрезка PC при этом повороте, откуда FB PC c. При этом AB d, PB b, а значит, треугольник APF вместе с точкой B образуют нужную конфигурацию. 5. Мысленно расположим слонов в виде таблицы, как на рисунке 22. Первым взвешиванием сравниваем друг с другом две первые строки, вторым – два первых столбца. За первое взвешивание мы найдем строку, где должен быть похудевший Рис. 22

РЕШЕНИЯ

слон, если он есть, а за второе – столбец. На пересечении этих строки и столбца и будет похудевший слон (если в пересечении окажется пустая клетка, то никто из слонов не похудел).

10–11 классы

  1. Обязательно. Предположим противное: P x и Q x имеют кратные корни a и b соответственно, a z b. Если ветви графиков y P x и y Q x направлены в одну сторону, то трехчлен P x Q x не имеет корней (все его значения одного знака и ненулевые). Если ветви графиков y P x и y Q x направлены в разные стороны, то в точках a и b трехчлен P x Q x принимает значения разных знаков, что невозможно для трехчлена с кратным корнем. Противоречие. 2. 18q. Пусть построены треугольники X1A1X2X_{1} A_{1} X_{2}, … ...,X9A9X10..., X_{9} A_{9} X_{10} (рис.23), а точки1Bточки_{1}^{B}, … ,9B,_{9}^{B} симмет-

Рис. 23

ричны точкам A1A_{1}, … ,A9, A_{9} соответственно (относительно прямой X1X10).X_{1} X_{10} ). Очевидно, точка XiX_{i} лежит на хорде Bi1AiB_{i} 1 A_{i} и на хорде BiAi1(i2,B_{i} A_{i} 1 (i 2, …, 9), поскольку при отражении возникают вертикальные углы (угол при основании равнобедренного треугольника и такой же угол отраженного соседнего треугольника). Поэтому

‘ X1B1A2X_{1}^{B} 1 A 2

‘ A23BA4A 2_{3}^{B} A_{4}

‘ A4B5A6A_{4}^{B} 5 A_{6}

‘ A6B7A8A_{6}^{B} 7 A_{8}

‘ A8B9X10A_{8}^{B} 9 X_{10}

D.

Следовательно, 5D равно половине дуги X1X10X_{1} X_{10}, т.е. 90q. 3. При 6 цифрах. Если в числе седьмая цифра справа – это a, а третья справа – это b, то, меняя их местами, мы изменим число на b ˜ 106a10^{6} a ˜ 106a10^{6} a ˜ 102b10^{2} b ˜ 102ba10^{2} b a ˜ 104110^{4} 1 ˜ 100. Значит, при такой замене делимость на 2020 20 ˜ 101 не испортится, по-