А так ли хорошо знакомы вам физика × геометрия?

Я надеюсь … побудить геометров ближе подойти к исследованию природы, а жадных до естественной науки – сначала выучиться геометрии. Исаак Ньютон

Книга природы написана треугольниками, окружностями и другими геометрическими фигурами, без которых человек не может понять в ней ни единого слова. Галилео Галилей

История науки дает нам много примеров применения чистой геометрии и пользы, приносимой ею. Пьер Симон Лаплас

…нужно ясно понимать, как геометрия световых лучей связана с создаваемыми ими для наблюдателя изображениями испускающих эти лучи объектов. Владимир Арнольд

А так ли хорошо знакомы вам

?

физика u геометрия

Да-да, не удивляйтесь, что привычный «плюс» заменен на иной математический знак, – ведь разговор пойдет не просто о сложении усилий двух научных областей, а именно об их умножении. Конечно, в школьной практике геометрические построения и формулы часто воспринимаются лишь как полезное подспорье при изучении физических проблем, особенно в кинематике, статике и оптике, да еще, пожалуй, в астрономии. Но даже в этих ограничениях можно заметить, как «оживают» задачи, как их условия становятся более наглядными, а решения – и рациональными и несравнимо изящными. Геометрия, сочетающая живое созерцание и строгую логику, пропитывает физику, порой открывая в ней новое, гармоничное измерение. Эта теснейшая связь длится не одно тысячелетие и блестяще воплощается во множестве научных открытий и инженерных решений. Попробуем и мы выбрать из россыпи примеров те, что отражают эффективное взаимопроникновение наук, прибегая сегодня к помощи ПЛАНИМЕ- ТРИИ. А выход в пространство совершим в следующий раз.

Вопросы и задачи

1. Когда нижний конец вплотную приставленной к стене лестницы отодвинули на 2 м от стены, верхний конец лестницы опустился вниз на 1 5 часть ее длины. Какова длина $лестницы?^{2.}$ В круглом бассейне плавает дельфин. Начав движение от стенки бассейна, он поплыл строго на север. Наткнувшись через 12 м на борт бассейна, он повернул на запад. Проплыв еще 5 м, он вновь наткнулся на стенку. Чему равен диаметр $бассейна?^{3.}$ Как найти угол между часовой и минутной стрелками в 12 ч $20 мин?^{4.}$ Земной шар и апельсин обтянуты обручами по наибольшему обхвату. Если удлинить каждый обруч на 1 м, то они отодвинутся от поверхности тел и образуют зазоры. Какой из них будет $больше?^{5.}$ Диск радиусом R обкатывает изнутри неподвижный обруч радиусом 2R. Пусть центр диска совершит один оборот вокруг оси обруча. Сколько раз обернется диск за это время вокруг своей $оси?^{6.}$ При движении доски на круглых катках она сохраняет горизонтальное положение и остается на одной и той же высоте. Можно ли осуществить такое движение, пользуясь некруглыми $катками?^{7.}$ В условиях предыдущей задачи скорость верхней точки каждого круглого катка равна 1 м с. С какой скоростью перемещаются точки касания доски с $катками?^{8.}$ Совпадает ли центр тяжести контура треугольника с центром тяжести его площади? Для примера рассмотрите равнобедренный треугольник с большой высотой и малым $основанием.^{9.}$ Однородная доска находится в равновесии в прямом двугранном угле с гладкими стенками. Как расположена доска? Устойчиво ли ее $равновесие?^{10.}$ По законам, установленным Кеплером, тело, брошенное с поверхности Зем-

ли, должно было бы двигаться по эллипсу, однако мы считаем его траекторию параболической. $Почему?^{11.}$ Отчего солнечное затмение не наблюдается каждое новолуние, а лунное – каждое $полнолуние?^{12.}$ Диаметр источника света 20 см, расстояние от его центра до экрана 2 м. На каком наименьшем расстоянии от экрана нужно поместить центр мяча диаметром 8 см, чтобы он не отбрасывал тень на экран, а давал только полутень? Прямая, проходящая через центры источника света и мяча, перпендикулярна плоскости $экрана.^{13.}$ В большой комнате в форме правильного шестиугольника с зеркальными стенами находится маленький человек. Постройте геометрическое место точек, из которых человек может видеть свои первые изображения во всех $зеркалах.^{14.}$ Два плоских зеркала составляют двугранный угол 120q. В биссекторной плоскости расположен точечный источник света. Расстояние между первыми мнимыми изображениями источника равно l. Чему будет равно расстояние между изображениями, если двугранный угол уменьшить в два раза?

Микроопыт

Пользуясь только линейкой без делений, найдите построением положение центра тяжести однородной пластинки, изображенной на рисунке.

Любопытно, что…

…названия геометрических фигур первоначально означали конкретные предметы. Так, «ромб» произошел от имеющего некруглую форму бубна, «трапеция» – от стола, «линия» – от льняной нити. …уяснить природу затмений древнему греку Анаксимену помогла догадка, что Луна и Солнце – два шара, движущиеся в одной плоскости. …еще один древнегреческий ученый Фалес придумал геометрический способ измерения расстояний до корабля в море с берега. Сейчас для этой цели используется работающая по тому же принципу стереотруба.

…еще в третьем веке до новой эры Архимед доказывал новые математические факты с помощью свойств центра масс. Например, этим способом им была выведена теорема о пересечении в одной точке трех медиан треугольника. … теория конических сечений, возникшая в рамках «чистой математики» и разработанная в деталях древними греками, нашла важнейшие приложения в XVII веке в трудах Ньютона и Кеплера по небесной механике. …установив закон движения тела, брошенного под углом к горизонту, Галилей его долго не публиковал, понимая, что этот результат получен в приближении «плоской Земли», а какой будет форма траектории в случае достаточно больших скоростей, он не знал. … соотношения между расстояниями в пространстве изучаются в геометрии, а свойства времени – в хронометрии. Поэтому та кинематика, которую начинают изучать в школе, и представляет собой не что иное как объединение этих наук, или «геометрию пространства – времени». … современные средства исследований позволили надежно установить, что огромные постройки давностью в несколько тысяч лет, подобные Стоунхенджу, подчинялись строгим геометрическим соотношениям и использовались нашими предками для астрономических наблюдений.

Что читать в «Кванте» по теме «Физика u планиметрия»

(публикации последних лет)

1. «Геометрия световых лучей» – 2013, №1, с.55; 2. «Оптическое изображение и проективная плоскость» – 2014, Приложение №3, с.90; 3. «Калейдоскоп «Кванта» – 2015, № 2, 4 и 2016, № 5/6, с.32; 4. «Нахождение центра масс проволочного треугольника» – 2018, №1, с.31; 5. «Законы механики и параметры эллипса» – 2018, №5, с.32; 6. «Законы отражения и преломления света» – 2019, №1, с.42; 7. «Квант» для младших школьников», задача 1 – 2020, №2, с.27; 8. «Об укладке блинов, котлет и апельсинов» – 2020, №4, с. 38.

Материал подготовил А.Леонович