Тепловое расширение

Тепловое расширение

Е.СОКОЛОВ

ПРИ НАГРЕВАНИИ ТЕЛА РАСШИряются, с этим согласны все. (Из этого правила есть важное исключение. Вода в диапазоне от 0 q С до 4 q С при нагревании сжимается. Благодаря этому наши водоемы не промерзают зимой до дна.) Многие даже могут привести формулу для изменения длины стержня при нагревании: $l l_{0} 1 D' t$. Но вот в вопросе о том, как изменяется при нагревании форма тела, единодушия уже нет (рис. 1).

Рис. 1. Тепловое расширение кольца: а) начальная форма кольца; б и в) «разбухание» и «растяжение»

Некоторые представляют тепловое расширение как «разбухание» нагреваемого предмета во все стороны (см.рис. 1,б), а другие – как его «растяжение» во все стороны (см.рис. 1,в). Наверное, первые, когда делают рисунок, представляют себе расплывающееся чернильное пятно, а вторые – растягивающуюся во все стороны резиновую пленку. Возникает вопрос: а какая из этих картинок правильно передает изменение формы тела при тепловом расширении? Общеизвестная формула не дает нам ответа на этот вопрос: она говорит нам только о длинах стержней и ничего не говорит о радиусах и толщинах колец. Чтобы научиться отвечать на подобные вопросы, нам надо постараться сформулировать закон теплового расширения в об-

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210202

щем виде. А именно, надо сформулировать его для такой геометрической фигуры и таким образом, чтобы результаты для колец, окружностей, треугольников и т. д. получались бы из него автоматически, как частные случаи. Сделать это несложно. Обратимся к свойству нагретых тел, которое знакомо каждому, кто выпиливал лобзиком. Если мы в пластине, нагретой до 20 q C, вырежем тонкой-тонкой пилочкой круг, то круг легко выпадет из пластины. Это означает, что, став свободным, круг не увеличил свои размеры. И если, наоборот, мы захотим вставить его назад, то он легко вставится и полностью займет свое старое место. Иными словами, став свободным, круг и не уменьшил свои размеры. Получается, что состояние тела при заданной температуре одинаково независимо от того, было ли оно нагрето как отдельная фигура или в составе пластины. И это будет не только при температуре 20 q C, но и при 37 q C, и при 156 q C и при любых других температурах. Следовательно, все фигуры одинаково расширяются независимо от того, нагреваются они сами по себе или в составе пластины. Это наблюдение позволяет нам в качестве общего случая нагреваемого тела взять бесконечную плоскость: рисуя на ней различные фигуры, мы, зная, как передвигаются точки плоскости, всегда найдем, как передвигаются точки нарисованных фигур и как при этом изменяются их формы. Осталась сделать последний шаг – из общеизвестного закона об увеличении длин стержней получить закон движения точек бесконечной плоскости. Это также делается несложно: любые две точки плоскости мы можем считать концами нарисованного бесконечно тонкого стержня, поэтому расстояние между ними определяется формулой $l l_{0} 1 D' t$.

11

ТЕПЛОВОЕ

Свойство 3. При тепловом расширении фигуры, нарисованные на плоскости, превращаются в подобные им фигуры. Это свойство вытекает из двух первых свойств. Оно говорит нам, что при изменении температуры отдельные области плоскости могут перемещаться и поворачиваться (относительно внешних тел, например поверхности стола), увеличивать и уменьшать свои размеры, но их форма не изменяется. Их этого свойства также следует, что рисунок 1,в правильно иллюстрирует изменение формы кольца при тепловом расширении. Их двух первых свойств вытекает также еще одно, самое демократичное свойство теплового расширения. Свойство 4. Все «внутренние» наблюдатели (наблюдатели, сидящие на нагреваемой плоскости) воспринимают тепловое расширение совершенно одинаково – как изотропное расширение Вселенной. А именно, каждая видимая ими точка плоскости удалятся от них со скоростью, прямо пропорциональной расстоянию до нее. Действительно, если наблюдатель не видит окружающего внешнего мира, например поверхности стола, на котором лежит пластина, то он не замечает ни своего сдвига относительно стола, ни своего поворота. Он видит только удаляющиеся от него точки нагреваемой пластины, углы между которыми остаются постоянными. А это и есть картина изотропного расширения Вселенной. Обсудим теперь «внешнюю» геометрию теплового расширения, т. е. выясним, как видит тепловое расширение плоскости наблюдатель, находящийся вне пластины. Свойство 5 (технологическое). Внешний наблюдатель может восстановить новое положение любой точки нагретого тела, если ему задано новое положение хотя бы одного отрезка. Более обобщенно – по одному отрезку и его образу можно восстановить всю картину теплового расширения. Действительно, пусть на поверхности стола нам задан отрезок AB и его образ A c B c (рис. 4,а). Построим образ произвольной точки C. Для этого соединим ее с

РАСШИРЕНИЕ

Рис. 4

концами исходного отрезка, чтобы получилась единая фигура – треугольник. Коэффициент линейного расширения нам известен (это отношение длины образа отрезка к длине самого отрезка), поэтому мы можем построить «нагретый» треугольник. А так как нам известно положение одной из его сторон (это образ исходного отрезка), то мы можем правильно разместить «нагретый» треугольник на поверхности стола. При этом полностью определяется и новое положение точки C.

Упражнение 2. На рисунке 4,б показано, как относительно поверхности стола расположен отрезок AB и его образ A c B c. Постройте образ отрезка CD.

Свойство 6 (параметры свершившегося теплового расширения). Свершившееся тепловое расширение имеет два универсальных параметра (они одинаковы для всех геометрических фигур): коэффициент линейного расширения k и угол поворота M. Эти параметры однозначно определяются, если для некоторого отрезка задан его образ. Действительно, если картина теплового расширения полностью восстанавливается по известному образу единственного отрезка, то параметры, задающие образ отрезка, являются и параметрами, полностью задающими свершившееся движение. Образ отрезка задается тремя параметрами: вектором смещения одного из концов начального отрезка, растяжением отрезка в k раз и его поворотом на некоторый угол M. Первый параметр, вектор смещения одного из концов, не является универсальным – для каждой точки он свой (см.рис. 4), а вот два последних параметра являются одинаковыми для всех отрезков, поэтому мы можем взять их в качестве параметров свершившегося движения.

Упражнение 3. То, что коэффициент линейного расширения одинаков для всех отрезков, по-

13

ТЕПЛОВОЕ

Рис. 6

ленному перемещению. Если, например, положить на ровный стол вплотную друг к другу квадратную и прямоугольную пластины (рис. 6, а) и нагреть их, то после охлаждения пластин до прежней температуры они оказываются смещенными относительно исходного положения. Определите величину результирующего смещения точки A и величину зазора, образовавшегося между пластинами, в описанном опыте. Для расчетов примите, что сторона квадрата увеличивается при нагреве на ’ a 1 мм. Задача 3. Три диска расположены в одну линию так, что расстояния между соседними дисками равны d 0,5 мм (рис. 6,б). При нагревании радиус каждого диска увеличивается на ’ a 1 мм. На сколько смещается при нагревании крайняя точка A самого правого диска? Вы поняли, в чем состоит «хитрость» этих задач? При тепловых движениях сами тела, а с ними и их неподвижные точки могут изменяться по ходу действия. Так, в задаче 2 квадрат и прямоугольник при нагреве ведут себя как один большой прямоугольник, а неподвижной точкой при нагреве является центр этого большого прямоугольника – точка O (рис. 7,а). При охлаждении квадрат и прямоугольник сжимаются уже как отдельные фигуры, и неподвижными точками являются их индивидуальные центры (рис. 7,б). А в задаче 3, наоборот, диски сначала нагревались «индивидуально», а затем – как одно большое тело.

Рис. 7

РАСШИРЕНИЕ

Но мы возвращаемся к нашему главному вопросу. В рассмотренных трех задачах соображения симметрии сразу указывали нам на неподвижные точки. Это были геометрические центры тел правильной формы. А какое условие определяет неподвижную точку в общем случае?

Общее условие, определяющее неподвижную точку

Кажется, все очень просто – в общем случае слова «геометрический центр системы тел» следует заменить словами «центр масс системы тел». Ведь тепловое расширение тел – это результат взаимодействия его атомов. А из механики известно, что внутренние взаимодействия между частями тела не могут привести к перемещению его центра масс. Таким образом, мы сформулировали условие нахождения неподвижной точки для абсолютно свободных тел, которые при нагревании не взаимодействуют с окружающими телами. Расширение таких тел мы могли бы наблюдать на борту межпланетной космической станции. Но хотелось бы получить аналогичное условие и для более реальных случаев, например для случаев, когда нагреваемое тело лежит на некоторой поверхности, как это было в рассмотренных задачах. Такое тело уже нельзя назвать абсолютно свободным телом – при сдвигах его частей на эти части действуют силы трения. Но у него есть одно свойство, которое делает его очень похожим на абсолютно свободное тело, – оно все-таки может выполнить свободное тепловое расширение (деформацию, подчиняющуюся основному принципу), если выберет подходящую неподвижную точку. Будем называть такие тела $квазисвободными^{1}$.

1 Квази (от лат. quasi) – почти, якобы, словно. Квазитермины – рабочие понятия профессиональных физиков (квазинейтральность, квазиравновесие, квазичастицы и т.д.). У этих понятий есть одна особенность – «они не оченьто по душе уму, воспитанному на математической логике» (М.Планк). Так что работе с такими понятиями надо специально учиться.

15

ТЕПЛОВОЕ

Рис. 9

тальных плоскостей так, что линия раздела плоскостей проходит ровно посередине пластины (рис. 9,а). Левая полуплоскость гладкая $( P_{1} 0 ),$ правая плоскость шершавая $( P_{2}$! 0). Пластину нагревают так, что ее боковой размер (расстояние между точками A и B) увеличивается на ’ a = 1 мм. Найдите смещения точек А и В при условии, что увеличение размеров пластины гораздо меньше ее размеров. А каковы были бы смещения этих точек при фантастическом расширении пластины, например при увеличении ее размеров в 16 раз? Задача 7. На прямой угол, образованный гладкой $( P_{1}$ 0) и шершавой $( P_{2}$! 0) плоскостями, кладут квадратную пластину (рис. 9, б). При нагревании размер пластины увеличивается на ’ a = 1 мм. На сколько смещаются при этом вершины квадрата – точки A и B? Размеры указаны на рисунке. Задачу решите в предположении, что увеличение размеров пластины гораздо меньше ее размеров.

Упоры

Движения тел при тепловом расширении становятся более разнообразными, если на их пути встречаются упоры. Упорами мы будем называть такие преграды, которые некоторым образом ограничивают движение тела, однако оставляют ему возможность выполнить свободное тепловое расширение. Задача 8. Квадратную пластину, лежащую на ровной поверхности стола (рис. 10,а), ограничивают с боков упорами $Г_{1}$ и $Г_{2}$ (гвоздиками). После этого пластину нагревают. Когда пластина остынет до прежней температуры, она оказывается смещенной относительно исходного положения. Определите величину результирующего смещения крайней

РАСШИРЕНИЕ

Рис. 10

точки пластины – точки A. Для расчетов примите, что сторона квадрата увеличивается при нагреве на ’ a = 1 мм и что трение в точках контактов пластины и гвоздиков отсутствует. Задача 9. Решите аналогичную задачу для диска, движение которого ограничено двумя упорами, составляющими угол 60q (рис. 10,б). Считайте, что радиус диска при нагревании увеличивался на ’ a 1 мм. Бывает, что наличие упоров приводит не только к смещению, но и к повороту тела! Задача 10. Квадратную пластину закрепляют на оси $Г_{1}$, проходящей рядом с серединой нижней стороны, а рядом с серединой боковой стороны вбивают упор $Г_{2}$ (рис. 11,а). На какой угол повернется пластина при нагреве, если известно, что ее размеры увеличиваются при нагревании на 0,2%? Трение между пластиной, осью и упором отсутствует. Решение. Упор $Г_{2}$ делает невозможным простое расширение пластины – боковая сторона «наезжает» на него (рис. 11,б). Однако если пластина немного повернется (рис. 11,в), то расширение станет возможным.

Рис. 11

17

ТЕПЛОВОЕ

каждый из упоров с одной и той же силой $F_{1}$ 61H, «прямоугольник» (рис. 13,б) давит на упор AB с силой $F_{2}$ 51H, а на упор BC с силой $F_{3}$ 31H. С какой силой давит на каждый упор «маленький квадрат» (рис. 13,в)? С какой силой давит на каждый упор «двойной квадрат» (рис. 13,г)? Трение между боками пластин и упорами отсутствует.

Неизотропное тепловое расширение

Если вы решили две предыдущие задачи, то, несомненно, вы научились мысленно разрезать геометрические фигуры и складывать из них новые. Это умение вам очень пригодится при решении нашей последней задачи. Задача 14. Квадратная пластинка, сделанная из анизотропного материала, при нагревании до некоторой температуры расширяется в вертикальном направлении на 15,4%, а в горизонтальном направлении на 2,2%. На рисунке 14,а направле-

Рис. 14

ние наилучшего расширения материала показано прямыми линиями. Из этой пластинки вырезают прямоугольную пластину таким образом, что направление наилучшего расширения составляет угол 45q с основанием пластины, и нагревают ее до той же температуры (рис. 14,б). На сколько процентов увеличатся при нагреве длины боковых сторон прямоугольной пластины? На сколько процентов увеличится площадь пластины?

РАСШИРЕНИЕ

Указание. Анизотропными называются материалы, у которых физические свойства разные в разных направлениях.

Заключение

Мы вполне допускаем, что после прочтения статьи у вдумчивого читателя могут возникнуть законные вопросы. –Вы знаете, я не сомневаюсь в правильности полученных выше ответов. Но вот та логика, которую вы использовали при решении задач, кажется очень необычной. В ваших задачах неодушевленные пластины сами выбирают неподвижные точки, неподвижный упор приводит во вращение расширяющийся квадрат, скорости порождают силы и эти силы направлены против скоростей. Все это очень непохоже на наш обычный Мир. Это не Мир Ньютона, в котором силы порождают изменения скоростей. Это и не Мир Аристотеля, в котором силы порождают скорости, направленные по силам. Это совсем иной Мир. – Вы правы, в наших рассуждениях многое было непривычным. Но в них нет ошибок. Представьте себе механический кукольный театр, сделанный искусным механиком. Куклы в этом театре движутся, танцуют, встречаются и расстаются. Движение кукол управляется десятком пружин и стержней, спрятанных мастером за декорациями. И, конечно, если мы вглядимся в работу механизма, то найдем здесь и законы Ньютона, и закон Гука, и наши обычные рассуждения. Но мы, люди, обладаем и иной способностью. Мы можем забыть о механизмах и видеть перед собой только героев увлекательной пьесы, прекрасных дам и галантных кавалеров, которые живут по своим собственным законам. По законам, которые мы не найдем в механике, но которые мы очень часто находим в жизни.

25

ЗАДАЧНИК

Эта задача совсем простая, и мы оставляем ее решение читателю. Несколько сложнее следующая задача. Задача 2 (С.Токарев). При каком наибольшем n можно $за^{k}$ взвешиваний гарантированно найти среди n весов более легкие неисправные весы? Ответ: $при^{n} 3^{k} 2$. Решение. Пусть при первом взвешивании на каждую чашу весов A ставится по x других весов и еще y весов остается. Тогда если одна из чаш перевесит, то неисправными могут быть либо весы на другой чаше, либо весы A, т.е. всего остается x + 1 подозрительных весов. Аналогично, если в первом взвешивании получено равновесие, то остается y 1 подозрительных весов. Поскольку в обоих случаях появляются заведомо исправные весы, все дальнейшие взвешивания можно проводить на них, как в стандартной задаче поиска фальшивой монеты. Соответственно, необходимым и достаточным условием возможности найти неисправные весы за оставшиеся k 1 взвешиваний будет выполнение неравенств $x 1 d 3^{k} 1, y 1 d 3^{k} 1$, что и дает приведенный выше ответ. Интересно также, что если разрешить сложные взвешивания, при которых на чаши одних весов ставится по несколько других весов, на чаши которых также ставятся весы, и т.д. (в одном сложном взвешивании получаются результаты со всех участвующих в них весов, кроме тех, на чашах которых ничего не стоит), то двух взвешиваний достаточно, чтобы найти одни неисправные весы среди любого количества весов, большего двух. Описание алгоритма для произвольного n довольно сложно, поэтому ограничимся примером для n 15. Поставим на чаши весов A весы $B_{1}$ и $B_{2}$, затем на чаши весов $B_{1}$ поставим весы $C_{1}$ и $C_{2}$, а на чаши весов $B_{2}$ – весы $C_{3}$ и $C_{4}$, наконец, на чаши весов $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}$ поставим соответственно весы $D_{1}$ и $D_{2}, D_{3}$ и $D_{4}, D_{5}$ и $D_{6}, D_{7}$ и $D_{8}$. Очевидно, что если весы A показывают равновесие, то они и будут неисправными. В противном случае все весы на более тяжелой чаше, пусть это чаша с весами $B_{2}$, правильные, тогда по-

«КВАНТА»

смотрим на показания весов $B_{1}$. Аналогично получаем, что все весы на перевесившей чаше (а при равновесии на обеих) этих весов заведомо правильны, и смотрим показания весов на другой чаше, пусть это весы $C_{1}$. Снова получаем, что неисправными могут быть только более легкие из весов $D_{1}, D_{2}$, т.е. после первого взвешивания остается не более четырех подозрительных весов. Определить следующим взвешиванием, какие из них неисправны, не представляет труда.

Решение задачи М2628. Отличие задачи М2628 в том, что неизвестно, в какую сторону вес испорченных весов отличается от веса правильных. Как мы увидим, это делает задачу существенно труднее. Ответ: при n 13. Предположим, что испорченные весы можно найти за три взвешивания при $каком-нибудь^{n} t 14$. Понятно, что при любом взвешивании нет смысла сравнивать разные количества весов, иначе чаша с большим числом весов перевесит и это не даст никакой информации. После каждого взвешивания все весы будут разбиты на две группы: в одной будут заведомо настоящие, во второй – подозрительные, про которые пока непонятно, настоящие они или нет. Докажем, что нет смысла проводить второе и третье взвешивания на подозрительных весах. Допустим, мы сделали такое взвешивание на весах X. Поменяем местами их с какими-нибудь настоящими (не важно, где они находятся, на весах или нет). Если X настоящие, то результат взвешивания не изменится. Если же X испорченные, то они могли показывать такой же результат, как и после замены. Значит, в любом случае набор подозрительных весов либо останется прежним (в том числе не изменится информация, легче или тяжелей могут быть каждые из весов), либо из него будут удалены весы X. Таким образом, можно считать, что второе и третье взвешивания проводились на настоящих весах. Если при первом взвешивании мы положили на каждую чашу не более четырех весов, то рассмотрим случай, когда было

26

КВАН T 2021/№2

равновесие. В этом случае весы на чашах настоящие, а подозрительными являются те, на которых проводили взвешивание, и не менее n – 9 не участвовавших в нем, т.е. всего не меньше шести весов. Значит, есть не менее 12 возможностей того, какие это весы и в какую сторону их вес отличается от настоящих. Во втором и в третьем взвешиваниях должны участвовать все подозрительные весы, кроме, может быть, одних, иначе мы не сможем отличить двое весов, не участвовавших во взвешиваниях, а испорченные могут оказаться среди них. Это значит, что после второго и третьего взвешиваний мы максимум у одних весов не смогли бы узнать, легче или тяжелей они настоящих, т.е. должны уметь различать не менее 11 ситуаций. Однако каждое взвешивание может иметь максимум три исхода, поэтому более девяти различных ситуаций мы различить не сможем. Если же при первом взвешивании мы сравнивали не менее чем по пять весов с каждой стороны, то может оказаться, что одна из чаш перевесила. Тогда число подозрительных весов после первого взвешивания больше девяти и различить их за два взвешивания не получится. Теперь покажем, как за три взвешивания найти испорченные весы при n 13. Как понятно из оценки, первым взвешиванием нужно положить на чаши некоторых весов по четверо весов. Если весы оказались в равновесии, то на них сравнивались настоящие весы, а подозрительными являются те, на которых проводилось взвешивание, и четверо весов, не участвовавших в нем. Для второго взвешивания возьмем настоящие весы, на одну их чашу положим трое настоящих весов, а на другую – трое подозрительных. Если подозрительные оказались легче или тяжелей, то испорченные весы среди них и мы знаем, в какую сторону их вес отличается от настоящих. Тогда, сравнив третьим взвешиванием любые двое из них на настоящих весах, мы выявим испорченные. Если же при втором взвешивании весы показали равновесие, то испорченные весы среди двух оставшихся подозрительных. Тогда сравним на настоящих весах одни из них с

настоящими и выясним, какие именно являются испорченными. Если при первом взвешивании перевесила одна из чаш, то подозрительные весы либо на ней и они тяжелей настоящих (будем называть все весы на этой чаше тяжелыми), либо на другой чаше и они легче (будем называть их легкими), либо те, на которых проводили взвешивание. Для второго взвешивания возьмем настоящие весы, на одну их чашу положим двое тяжелых весов и двое легких, а на другую – одни тяжелые, одни легкие и двое настоящих. Если одна из чаш перевесила, например первая, то подозрительными остаются двое тяжелых весов на ней и легкие на другой чаше. Тогда сравним двое подозрительных тяжелых весов на настоящих весах и либо обнаружим испорченные весы среди них, либо это будут подозрительные легкие. Аналогично разбирается случай, если при втором взвешивании перевесила вторая чаша. Если же весы показали равновесие, то взвешиваемые весы настоящие, а подозрительными остаются трое весов. Третьим взвешиванием сравним на настоящих весах оставшиеся подозрительные тяжелые и легкие весы на одной чаше с двумя настоящими на другой. В случае неравенства в зависимости от результата понятно, какие из них испорченные, а в случае равенства испорченными являются те, на которых проводилось первое взвешивание. Следует, однако, отметить, что, в отличие от большинства задач на взвешивания, в этой задаче число весов ограничено не только сверху, но и снизу. Так, при n 3 никакое число взвешиваний не гарантирует нахождения неисправных весов! Действительно, пусть, например, весы A и B правильные, весы C неисправные и более тяжелые, а при взвешивании на них получилось, что A! B. Сделав взвешивания на других весах (больше делать все равно нечего), мы получим также, что C! A и C! B. Такую же систему неравенств мы могли бы получить, если бы весы B были неисправными и более легкими. Теперь единственное, что нам остается, это повторять взвешивания на подозри-