Phát minh ra quy tắc trượt

Phát minh ra quy tắc trượt

DV.KLEPTSYN

Ít nhất là từ những năm 1960, thước trượt đã là một công cụ không thể thiếu đối với một kỹ sư. Nó giúp chúng ta có thể nhanh chóng thực hiện nhiều hành động khác nhau - nhân, lũy thừa và hơn thế nữa, những việc này hiện được thực hiện cho chúng ta bằng máy tính, máy tính hoặc đôi khi thậm chí là ứng dụng trên điện thoại. Nó được sắp xếp như thế nào? Hãy tìm ra nó theo cách đáng tin cậy nhất: chúng ta sẽ tự mình nghĩ ra - đồng thời học cách xử lý nó. Hãy bắt đầu với một câu hỏi đơn giản hơn nhiều: làm thế nào chúng ta có thể tạo ra thứ gì đó cho phép chúng ta cộng các số (nhỏ) trong một chuyển động? Hãy tưởng tượng rằng chúng ta lấy hai thước (thật, bằng gỗ!) Và trên một trong số chúng, thang đo ở giới hạn trên (như thường lệ) và trên thước kia ở giới hạn dưới (và điều này gần như không bao giờ xảy ra, nhưng bạn cũng có thể chuyển các vạch chia từ thước này sang thước khác). Chúng ta hãy áp dụng chúng cho nhau sao cho các số 0 trùng nhau - sau đó các thang đo trên chúng trùng nhau (Hình 1). Bây giờ chúng ta hãy di chuyển một trong số chúng, cái dưới cùng, sang bên phải - giả sử là 2 cm. Khi đó đối diện với vạch 3 cm trên cùng một thước kẻ sẽ như thế nào? Dấu này cách số 0 trên thước dưới cùng 3 cm - bản thân thước này cách số 0 trên cùng 2 cm. Điều này có nghĩa là dấu này nằm ở khoảng cách 2 cm 3 cm 5 cm tính từ điểm 0 trên thước trên cùng và đối diện với dấu 3 cm chúng ta thấy dấu 5 cm. Hoan hô! Chỉ với một đoạn lý luận và hai cây thước, chúng ta đã học được cách cộng 2 3 một cách máy móc và nhận được đáp số 5. Nhưng chặng đường khó khăn chính là sự khởi đầu! Làm thế nào để cộng số có hai chữ số? Vâng, giống hệt nhau. Trên đường dây thường có

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210902

Cơm. 1. Phép cộng sử dụng hai thước kẻ

không chỉ thang đo centimet, mà cả thang đo milimet. Và chúng ta có thể nói rằng 16 27 43, chúng ta có thể nói rằng 16 mm 27 mm 43 mm, hoặc chúng ta có thể nói rằng 1 cm 6 mm 2 cm 7 mm 4 cm 3 mm (xem Hình 1). Được rồi. Chúng tôi đã học cách cộng các số có một và hai chữ số một cách máy móc bằng cách di chuyển thước. Nhưng nhân lên thì khó hơn! Làm cách nào chúng tôi có thể chuyển thao tác này cho trợ lý cơ khí của mình? Trước tiên, hãy tưởng tượng rằng chúng ta không muốn nhân bất kỳ số nào với nhau mà chỉ nhân 10, 100, 1000, v.v. Điều đó không khó lắm: khi chúng ta nhân các số có dạng “một và một số số 0” với nhau, chúng ta chỉ cần cộng số các số 0: chẳng hạn như 100 u 1000 100000. Đợi đã, cộng? Vậy là chúng ta đã biết cách thực hiện việc này rồi! Hãy lấy thước kẻ của chúng ta một lần nữa và thay vì chia “1 cm”, chúng ta đặt 10, thay vì chia “2 cm”, chúng ta đặt 100,

18

KVAN T 2021/№9

Cơm. 2

do đó tứ giác ABEO nội tiếp. Tương tự như vậy, CFOD được ghi. Từ đây, sử dụng phép song song AB P CD, ta thu được OFE ODC OBA OEA. Nhưng từ đẳng thức OFE OEA suy ra đường tròn (EOF) tiếp xúc với đường thẳng AE. Tương tự, chúng ta chứng minh tiếp tuyến của đường tròn (EOF) và đường thẳng DF. Bài toán đã giải quyết. Có thể thực hiện một cách tiếp cận khác đối với lời giải (hoàn toàn không sử dụng điểm B và C), dựa trên các cân nhắc sau: trục đẳng phương của các đường tròn (AOD) và (EOF) là đường trung bình của hình thang AEFD nên đi qua O; mặt khác, trục đẳng phương chia đôi đoạn tiếp tuyến chung giữa các điểm tiếp tuyến. A. Kuznetsov

M2655. Cho một mặt phẳng ca rô vô hạn. Một giáo viên và một lớp gồm 30 học sinh chơi một trò chơi, lần lượt thay phiên nhau - đầu tiên là giáo viên, sau đó lần lượt là tất cả học sinh, sau đó lại là giáo viên, v.v. Trong một động tác, bạn có thể vẽ một đoạn duy nhất, đó là đường viền giữa hai ô liền kề. Bạn không thể vẽ các phần hai lần. Giáo viên thắng nếu sau khi di chuyển một trong 31 người chơi, có một hình chữ nhật ca rô 1 u 2 hoặc 2 u 1 sao cho toàn bộ đường viền của nó được tô màu nhưng đoạn đơn vị bên trong nó không được tô màu. Chứng minh rằng giáo viên có thể giành chiến thắng.

Cho giáo viên chọn một hình vuông K có kích thước 100 u 100 và tô màu lên trên

cắt giảm ranh giới của nó nếu có thể. Hãy để tất cả các phân đoạn này được tô bóng trước khi di chuyển thứ n. Sau đó là nd 401, vì có tổng cộng 400 đoạn trên đường biên. Đến thời điểm này, không quá 30 400 đoạn đã được tô bóng, do đó ít nhất một đoạn bên trong hình vuông K chưa được tô bóng. Với mỗi bước đi tiếp theo, giáo viên sẽ tô màu một trong các đoạn bên trong K. Sau một vài bước di chuyển, tất cả các đoạn bên trong K sẽ được tô màu. Sau đó, trước khi người chơi di chuyển để vẽ phần cuối cùng trong số các đoạn này, hình chữ nhật 1 u 2 mong muốn sẽ được tìm thấy và giáo viên sẽ thắng. M. Didin, A. Kuznetsov

M2656. Dãy số tự nhiên tăng dần $a_{1} a_{2}$ … sao cho mọi n! 100 số $a_{n}$ bằng số tự nhiên nhỏ nhất lớn hơn $a_{n} 1$ và không chia hết cho bất kỳ số nào $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{n} 1$. Chứng minh rằng dãy số này chỉ có hữu hạn số hợp số.

Hãy đặt $A a_{n}$. Hãy chứng minh rằng mọi số $a_{m}$ lớn hơn $A^{2}$ đều là số nguyên tố. Hãy giả sử điều ngược lại. Khi đó $a_{m}$ có ước số d sao cho $a d a_{m}$. Theo định nghĩa, $a_{m}, d$ không phải là một trong $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{m} 1$. Điều này có nghĩa là $a_{k} d a_{k} 1$ đối với một số k ^ 100,101, …, m 1 . Раз d не было выбрано в качестве $a_{k} 1$, оно делится на какое-то $a_{i}, i$  ^ 1,2, …, k . Nhưng khi đó $a_{m}$ cũng chia hết cho $a_{i}$. Sự mâu thuẫn. P.Kozhevnikov

M2657*. Số tự nhiên n! 20 và k! 1 sao cho n chia hết cho $k^{2}$. Chứng minh rằng tồn tại các số tự nhiên a, b, c sao cho n ab bc ca.

Lưu ý rằng đẳng thức $n a^{2} a b a c$ ngụ ý đẳng thức n ab bc ca. Do đó, với lời giải bài toán chỉ cần tìm số tự nhiên a sao cho số $n a^{2}$ phân tách thành tích của hai số tự nhiên x và y lớn hơn a (khi đó ta có thể đặt b x a và c y a ). Theo điều kiện, $n lp^{2}$ đối với một số p nguyên tố và l tự nhiên.

TRÒ CHƠI VÀ CÂU ĐỐ

Tangram vô tận

(xem phần đầu ở trang 2 của khu vực)

Trong «Kvant» tangram đã được thảo luận nhiều lần (ví dụ: xem bài viết “Bài toán để cắt” của A.P. Savin trong «Kvant» số 7 năm 1987 và bài báo “Câu đố về hình số 51” của A. Panov ở số 12 năm 1982), nhưng trò chơi giải đố này phong phú đến mức bạn có thể nói đi nói lại về nó. Tangram không chỉ có bảy yếu tố mà còn là một hệ thống được suy tính kỹ lưỡng bao gồm một số mẫu và bộc lộ nhiều mức độ hiểu biết về mối quan hệ giữa chúng. Diện tích của các phần tử là lũy thừa của hai. Nếu diện tích tam giác nhỏ lấy bằng 1 thì diện tích ba hình ở giữa bằng 2, diện tích tam giác lớn bằng 4 (Hình 1). Tổng diện tích của tất cả các phần tử cũng là lũy thừa của hai - nó bằng 16.

Cơm. 1

Ba phần tử ở giữa - hình vuông, hình bình hành và hình tam giác - đại diện cho tất cả các kết hợp có thể có của hai hình tam giác nhỏ. Nếu chúng ta muốn các cạnh của các hình có độ dài chính xác thì cạnh huyền của tam giác nhỏ phải được áp dụng cho cạnh của tam giác ở giữa, và cạnh huyền của tam giác ở giữa phải được áp dụng cho cạnh của tam giác lớn. Nếu bạn thực hiện việc này một cách tuần tự thì mỗi lần tam giác vuông cân sẽ tăng gấp đôi (Hình 2). Bằng cách kết nối các yếu tố còn lại của tangram, quá trình này có thể được tiếp tục. Làm thế nào để gấp hình tam giác lớn nhất trong Hình 2?

Cơm. 3

Tương tự, bạn có thể xây dựng một chuỗi các ô vuông nhân đôi. Làm cách nào để tạo hình vuông lớn nhất trong Hình 3 trong số tất cả các phần tử tangram? Hình bình hành có trong bộ tangram khác với các phần tử khác: thuộc tính của nó thay đổi khi lật lại (Hình 4). Để đảm bảo điều này,

Cơm. 4

gấp một hình vuông lớn từ tất cả các phần tử, sau đó lấy hình bình hành ra, lật lại và cố gắng đặt lại - nó sẽ không rơi vào vị trí, tức là nó sẽ là một hình bình hành khác. Điều này gây khó khăn khi lắp ráp một số hình, vì đôi khi cần phải lật hình bình hành. Nhân tiện, đây là nơi các nhà sản xuất tangram từ tính đã “đốt cháy”: họ chỉ dán nam châm vào một cạnh của hình bình hành và do đó làm suy giảm khả năng lắp ráp.

Cơm. 5

Hãy thử, bằng cách tương tự với các hàng hình tam giác và hình vuông, để dựng hình bình hành lớn nhất trong Hình 5 từ tất cả các hình tangram.

(Còn tiếp)

A. Kovaldzhi

Cơm. 2