Bài toán 25—28

32

KVAN T 2023/№3

hệ số ma sát tĩnh và hệ số ma sát trượt bằng tỉ số giữa khoảng cách từ giữa thanh đến nơi thanh nằm trên các ròng rọc. Tỷ lệ này là 11 9, tức là thanh di chuyển từ vị trí cân bằng sang bên này hoặc bên kia đến một khoảng cách tối đa

10 cm

50 cm 10 cm 50 cm 10 cm

15 cm.

Độ dịch chuyển này nhỏ hơn nhiều lần so với khoảng cách giữa các trục ròng rọc (2 mét). Do đó, các dao động phát sinh sau khi tăng tốc độ của dây có thể được coi là nhỏ. Khi sợi dây chuyển động nhanh thì nó trượt

Thanh uốn cong so với cả hai ròng rọc nên hệ số ma sát là như nhau: đây là hệ số ma sát trượt. Phương trình mô tả các dao động nhỏ gần vị trí cân bằng cho mối liên hệ giữa chu kỳ dao động và hệ số ma sát trượt: bình phương tần số góc của dao động $Z^{2}$ bằng 2 P g D. Trong trường hợp của chúng ta, Z 2 S T, trong đó T 3 s và D 2 m là khoảng cách giữa các trục của các ròng rọc. Tính toán cho hệ số ma sát trượt xấp xỉ 0,44. Và hệ số ma sát tĩnh lớn hơn giá trị này 11 9 lần, tức là bằng khoảng 0,54.

K O N K URS IM ENI A. P. S AVINA

Chúng tôi tiếp tục cuộc thi dành cho lời giải toán học bài toán. Các nhiệm vụ được thiết kế chủ yếu dành cho học sinh bắt đầu từ lớp 8–9 và chúng tôi khuyên các học sinh nhỏ tuổi hơn nên thử sức mình trong cuộc thi tạp chí «Kvant» (xem trang web kvantik.com). Gửi lời giải bài toán mà bạn có thể xử lý qua email tới: savin.contest@gmail.com. Ngoài họ và tên của bạn, hãy cho biết thành phố, trường và lớp nơi bạn học. Chúng tôi hoan nghênh việc tham gia cuộc thi không chỉ của từng học sinh mà còn của các đội (trong trường hợp này, một tác phẩm sẽ được gửi kèm theo danh sách những người tham gia). Bạn có thể tham gia bắt đầu từ bất kỳ chuyến tham quan nào. Những người chiến thắng sẽ nhận được bằng tốt nghiệp từ tạp chí «Kvant» và các giải thưởng. Bài tập, lời giải và kết quả được xuất bản trên Sites.google.com/view/savin-contest Chúng tôi chúc bạn thành công!

25. Có thể tô màu tất cả các số tự nhiên bằng ba màu sao cho tổng của hai số khác màu bất kỳ được tô bằng màu thứ ba không? F.Nilov

26. Nhiều chiếc bàn hình tứ giác giống hệt nhau được mang đến văn phòng, mỗi chiếc bàn đều có các cạnh có độ dài khác nhau. Hóa ra 3 cái bàn như vậy, 4 và 5, có thể được đặt thành một vòng tròn với các góc bằng nhau ở tâm sao cho không có khoảng cách giữa các bàn liền kề. Có bao nhiêu bàn có thể xếp thành một vòng tròn có các cạnh giống nhau hướng ra ngoài và không có khoảng cách giữa các bàn liền kề? Liệt kê tất cả các lựa chọn và chứng minh rằng không có lựa chọn nào khác. E. Bakaev

27. Số nào lớn hơn - số cách điền vào bảng 2 và 100 các số 1, 2, … …200 (mỗi số xuất hiện một lần) sao cho tổng các số ở mỗi trong số 102 hàng (hàng và cột) là chẵn, hay mỗi tổng đó là số lẻ? E. Bakaev, P. Kozhevnikov

28. a) Với số tự nhiên n nào thì có số tự nhiên k gấp n lần số chữ số của nó? b) Với số tự nhiên n nào thì có hai số k như vậy? c) Có thể có nhiều hơn hai số k như vậy với n bất kỳ không? I. Akulich

36

KVAN T 2023/№3

Olympic Toán dành cho học sinh. Đặc biệt, chú thích cho bộ sưu tập cho biết: “Bài toán Các kỳ thi Olympic, ngoài kiến thức vững chắc về môn toán ở trường, đòi hỏi sự khéo léo và khéo léo. Vì vậy, để chuẩn bị cho Olympic, bộ sưu tập này đang được xuất bản. Nhiều bài toán trình bày trong bộ sưu tập đã được cung cấp tại các kỳ thi olympic trước đây và các cuộc thi toán buổi tối ở trường toán. Bộ sưu tập trình bày cả tương đối dễ và khó hơn bài toán. Bộ sưu tập cũng chứa các ghi chú ngắn về các vấn đề (như một quy tắc, không đầy đủ lời giải, mà chỉ gợi ý ý chính).” Hãy chuyển sang một trong bài toán của bộ sưu tập này. Bài toán 3. Tặng nửa ly nước và nửa ly rượu. Một thìa nước được đổ vào rượu, sau đó một thìa hỗn hợp thu được được đổ vào nước. Cuối cùng cái nào nhiều hơn: nước trong rượu hay rượu trong nước? Xa hơn một chút, chúng ta đọc được lời giải thích: “Lượng rượu được thêm vào ly đầu tiên giống như lượng nước được rót từ ly đó”. Chúng ta hãy đi xa hơn nữa trong thời gian. $В^{1946}$ trong Bản tin Viện Khoa học Sư phạm số 6 đã đăng bài “Nguyên tắc lựa chọn và biên soạn số học bài toán”. Tác giả của nó là I.V. Arnold. Ở đây chúng tôi tìm thấy tùy chọn này bài toán về hỗn hợp của hai chất lỏng. Bài toán 4. Một thìa được rót từ ly rượu vang đỏ vào ly chứa cùng một lượng rượu vang trắng. Sau khi khuấy đều, một thìa hỗn hợp được rót lại vào ly đầu tiên. Câu hỏi đặt ra là nồng độ của rượu trắng trong ly màu đỏ trong ly đầu tiên lớn hơn hay nồng độ của rượu vang trắng trong ly thứ hai? Đối với lời giải bài toán, chỉ cần tự hỏi bản thân câu hỏi: rượu vang đỏ được thay thế bằng màu trắng từ ly đầu tiên đã đi đâu? Câu hỏi này hướng chúng ta xem xét hình ảnh tương ứng. Và bức vẽ khuyến khích những câu trả lời như vậy cho hai câu cuối cùng bài toán. $Задача^{3:}$ lượng rượu trong nước ở ly thứ nhất cũng bằng lượng nước trong rượu ở ly thứ hai. Bài toán4:

Có nhiều rượu vang trắng màu đỏ cũng như có nhiều màu đỏ màu trắng. $В^{2008}$ I.V. Bài viết của Arnold đã được xuất bản dưới dạng một cuốn sách riêng (M.: MTsNMO). Nếu đọc kỹ cuốn sách này, bạn có thể biết điều gì xảy ra với thể tích khi trộn: “Một hỗn hợp gồm hai thể tích bằng nhau của nước và rượu chiếm thể tích nhỏ hơn tổng thể tích của cả hai chất được trộn lẫn. Một lít hỗn hợp như vậy có khối lượng 936 g, trong khi một lít rượu nguyên chất có khối lượng 729 g và một lít nước $–^{1}$ kg. Bạn cần lấy bao nhiêu nước và rượu để có được một lít hỗn hợp? Vậy cả hai đều là bài toán về truyền máu là không chính xác, và hình vẽ dẫn đến câu trả lời sai. Trong điều kiện bài toán không nói gì về thể tích thay đổi như thế nào khi trộn lẫn, và trên thực tế, thể tích của hỗn hợp hai dung dịch không bằng tổng thể tích của các dung dịch ban đầu. Trong toán học có rất nhiều bài toán đẹp mắt theo kiểu “xin đừng tính!” Toán học sẽ không kém hơn chút nào nếu chúng ta loại trừ câu hỏi về cà phê sữa khỏi bộ bài này.

---

Trên thực tế, bài toán về cà phê và sữa là một sự thích nghi dành cho học sinh nhỏ tuổi bài toán, mà tên cướp biển già John Silver trong “Đảo kho báu” của R. L. Stevenson đã hỏi cậu bé phục vụ Jim Hawkins, người đang nhìn vào bếp của mình: “Thuyền trưởng Flint nổi tiếng rót một ly rượu rum và uống một nửa. Đồ uống rất mạnh và Flint đổ đầy nước vào ly.