Задачи 25—28

Квант 2023, №3 с. 32, 36 Тег TD9R

КВАН T 2023/№3

эффициента трения покоя и коэффициента трения скольжения равно отношению расстояний от середины стержня до мест опоры стержня на шкивы. Это отношение равно 11 9, т.е. стержень от положения равновесия смещается то в одну, то в другую сторону на максимальное расстояние

10 см

50 см 10 см 50 см 10 см

15 см.

Такое смещение во много раз меньше расстояния между осями шкивов (2 метра). Следовательно, колебания, которые возникли после увеличения скорости движения веревки, можно считать малыми. При быстром движении веревки проскаль-

зывание стержня происходит относительно обоих шкивов, поэтому коэффициент трения один и тот же: это коэффициент трения скольжения. Уравнение, описывающее малые колебания вблизи положения равновесия, дает связь между периодом колебаний и коэффициентом трения скольжения: квадрат угловой частоты колебаний $Z^{2}$ равен 2 P g D. В нашем случае Z 2 S T, где T 3 c, а D 2 м – расстояние между осями шкивов. Вычисления дают величину коэффициента трения скольжения, равную примерно 0,44. А коэффициент трения покоя больше этой величины в 11 9 раза, т.е. равен примерно 0,54.

К О НК УРС ИМ Е НИ А. П. С АВИНА

Мы продолжаем конкурс по решению математических задач. Задания рассчитаны в основном на учащихся начиная с 8–9 классов, а более младшим школьникам советуем попробовать свои силы в конкурсе журнала «Квантик» (см. сайт kvantik.com). Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу: savin.contest@gmail.com. Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest Желаем успеха!

Можно ли покрасить все натуральные числа в три цвета так, чтобы сумма любых двух чисел разных цветов была покрашена в третий цвет? Ф.Нилов
В офис привезли много одинаковых четырехугольных столов, у каждого стола все стороны разной длины. Оказалось, что и 3 таких стола, и 4, и 5 можно поставить по кругу одинаковыми углами к центру так, чтобы между соседними столами не было зазора. Сколько таких столов можно поставить по кругу одинаковыми сторонами наружу и без зазоров между соседними столами? Укажите все варианты и докажите, что других нет. Е.Бакаев
Что больше – количество способов заполнить таблицу 2 u 100 числами 1, 2, … …200 (каждое число встречается один раз) так, чтобы сумма чисел в каждом из 102 рядов (строк и столбцов) была четной, или так, чтобы каждая такая сумма была нечетной? Е.Бакаев, П.Кожевников
а) Для каких натуральных n существует натуральное число k, которое ровно в n раз превышает количество своих цифр? б) Для каких натуральных n существуют два таких числа k? в) Может ли для какого-либо n существовать больше двух таких чисел k? И.Акулич

КВАН T 2023/№3

математической олимпиаде для школьников. В аннотации к сборнику, в частности, говорилось: «Задачи олимпиады, кроме прочного знания школьного курса математики, требуют смекалки и сообразительности. Поэтому для подготовки к олимпиаде выпускается настоящий сборник. Многие задачи, представленные в сборнике, предлагались на предыдущих олимпиадах и в конкурсах вечерней математической школы. В сборнике представлены как относительно легкие, так и более трудные задачи. В сборнике помещены также краткие примечания к задачам (как правило, не исчерпывающие решения, а лишь указания основной идеи)». Обратимся к одной из задач этого сборника. Задача 3. Даны полстакана воды и полстакана вина. Ложку воды перелили в вино, а затем ложку образовавшейся смеси перелили в воду. Чего в результате оказалось больше: воды в вине или вина в воде? Чуть дальше читаем пояснение: «В первый стакан долили столько же вина, сколько оттуда было отлито воды». Пойдем по времени еще дальше. $В^{1946}$ году в шестом выпуске Известий Академии педагогических наук была опубликована статья «Принципы отбора и составления арифметических задач». Ее автор – И.В.Арнольд. Здесь мы находим такой вариант задачи о смеси двух жидкостей. Задача 4. Из стакана с красным вином перелили в стакан, содержащий такое же количество белого, одну ложку. Перемешав, ложку смеси перелили обратно в первый стакан. Спрашивается, больше ли в итоге концентрация белого вина в красном в первом стакане или красного в белом – во втором? Для решения задачи достаточно задать себе вопрос: куда девалось то красное вино, которое вытеснено белым из первого стакана? Этот вопрос ориентирует на рассмотрение соответствующего рисунка. А рисунок подталкивает к таким ответам на две последние задачи. $Задача^{3:}$ вина в воде в первом стакане столько же, сколько воды в вине во втором стакане. Задача 4:

белого вина в красном столько же, сколько красного в белом. $В^{2008}$ году статья И.В.Арнольда была издана в виде отдельной книжки (М.: МЦНМО). Если внимательно читать эту книжку, то можно узнать, что происходит с объемом при смешивании: «Смесь двух одинаковых объемов воды и спирта занимает меньший объем, чем сумма объемов обоих смешиваемых веществ. Литр такой смеси имеет массу 936 г, между тем как литр чистого спирта имеет массу 729 г, а литр воды $–^{1}$ кг. Сколько нужно взять воды и спирта, чтобы получить литр смеси?» Итак, обе задачи о переливании – некорректны, а рисунок приводит к неверным ответам. В условиях задач ничего не сказано, как меняется объем при смешивании, а на самом деле объем смеси двух растворов не равен сумме объемов исходных растворов. В математике много красивых задач в стиле «пожалуйста, не вычисляйте!» Математика нисколько не обеднеет, если вопрос про кофе с молоком мы исключим из этого множества.

На самом деле задача про кофе и молоко – это адаптированная для младших школьников задача, которую старый пират Джон Сильвер из «Острова сокровищ» Р.Л.Стивенсона задал юнге Джиму Хоккинсу, заглянувшему к нему в камбуз: «Знаменитый капитан Флинт налил стакан рома и выпил половину. Напиток был крепок, и Флинт долил стакан водой.