Задачи М2738—М2741; Ф2745—Ф2748

Задачи по математике и физике

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2738 – М2741 предлагались на региональном этапе XLIX Всероссийской олимпиады школьников по математике. Задачи Ф2745 – Ф2748 предлагались на региональном этапе LVII Всероссийской олимпиады школьников по физике.

Задачи М2738–М2741, Ф2745–Ф2748 М2738. Даны различные вещественные числа $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ и b. Оказалось, что уравнение

$x a_{1} x a_{2}$

$x a_{3}$ b имеет три различных вещественных корня $c_{1}, c_{2}, c_{3}$. Найдите корни уравнения

$x_{1}^{c} x_{2}^{c}$

$x_{3}^{c}$ b.

А.Антропов, К.Сухов

M2739. Дан остроугольный треугольник ABC, в котором AB BC (рис. 1). Пусть M и N – середины сторон AB и AC соответственно, а H – основание высоты, опущенной из вершины B. Вписанная окружность касается стороны AC в точке K. Прямая, проходящая через K и парал-

лельная MH, пересекает отрезок MN в точке P. Докажите, что в четырехугольник AMPK можно вписать окружность. П.Бибиков

M2740. Даны натуральные $числа^{a,} b, c$ такие, $что^{a}$! 1, b! c! 1, а $число^{abc} 1$ делится на $ab^{b} 1$. Докажите, что b делится $на^{a.}$ М.Антипов

M2741. Дано натуральное число k. Вдоль дороги стоят n столбов через равные промежутки. Миша покрасил их в k цветов и для каждой пары одноцветных столбов, между которыми нет других столбов того же цвета, вычислил расстояние между ними. Все эти расстояния оказались различны. При каком наибольшем n так могло оказаться? М.Тихомиров, Ф.Петров

Ф2745. На отдельно стоящих роликовых легких опорах, оси которых находятся на расстоянии l 9 м, лежит однородный рельс постоянного сечения. Ролики начинают вращаться, в результате чего рельс движется горизонтально с некоторой постоянной скоростью, как показано на рисунке 2 (масштаб не выдержан). Под опорами находятся динамометры. Зависимости по-

Рис. 1

Рис. 2

31

ЗАДАЧНИК

волны распространяются в каждом из материалов примерно в два раза медленнее продольных. Таким образом, в материале пластины даже поперечные волны распространяются быстрее продольных волн в стали примерно в полтора раза. Сначала рассмотрим модельную ситуацию, когда стальной предмет ударяется об абсолютно твердую поверхность. В этом случае сразу после соприкосновения с поверхностью возникает ударная волна, которая создает давление в стали, равное примерно $U uv_{cт} | 18$ ГПа. Эта величина меньше, чем микротвердость карбида бора, примерно в три раза и сопоставима с прочностью на сдвиг. Следовательно, при ударе пули о поверхность из карбида бора материал защитной пластины может раскалываться на части, но эти части приобретают примерно одинаковые скорости, а поскольку материал пластины (карбид бора) придет в движение в направлении движения пули, то относительная скорость движения пули и пластины становится меньше, поэтому и давление в ударной волне станет меньше, чем приведенная оценка 18 ГПа. Распространение и продольных и поперечных волн в материале пластины ведет к тому, что вовлеченная в движение масса материала пластины будет сопоставима и даже больше массы стали, которая уже «почувствовала» удар. Оценка этого соотношения масс основывается на предположении, что толщина пластины должна быть примерно такой же, как и продольный размер пули, т.е. L | 1 см. При этом за время полной остановки (по отношению к пластине) пули продольные волны в пластине успевают трижды пройти расстояние, равное толщине пластины, а поперечные волны успевают распространиться на расстояние, в 1,5 раза больше размера пули. Таким образом, за время остановки пули в движение приходит объем пластины, равный примерно $1,5^{2} S L^{3}$. Этот объем карбида бора имеет массу примерно в два раза большую, чем масса пули. Скорость движения такой суммарной массы уже в 3 раза меньше скорости пули. А если пластина имеет размеры 5 u 5 u 1 см, то ее масса равна примерно 320 г, и в таком случае

«КВАНТА»

после вовлечения в движение всей массы пластины скорость движения системы «пуля–пластина» уменьшается до величины 10 ˜ 500 320 м с | 15 м с. Эффект от такого удара сопоставим или просто такой же, как от попадания камня массой 320 г, летящего со скоростью 15 м с, на площадку размерами 5 u 5 см. Конечно, такой удар будет чувствительным, но не смертельным.

Ф2736. Замкнутая в кольцо веревка охватывает шкивы двух блоков с горизонтальными и параллельными друг другу осями симметрии. Сбоку веревка выглядит симметричной, повернутой на 90q восьмеркой ( f ). Оси расположены на расстоянии 2 метра друг от друга на одном горизонтальном уровне и радиусы шкивов одинаковы. В канавки шкивов сверху (над тонкой веревкой) положен длинный, длиной 3 метра, однородный прямой стержень круглого сечения. При медленном движении веревки (с постоянной по величине скоростью каждой ее точки в каждом месте на веревке) стержень смещается от одного положения до другого, причем по одному из шкивов стержень проскальзывает, а по другому шкиву стержень движется без проскальзывания. В момент остановки расстояния от концов стержня до ближайших точек касания стержня и шкива отличаются в полтора раза. После остановки стержень меняет направление скорости, и ситуация с проскальзыванием и непроскальзыванием по отношению к шкивам изменяется на противоположную. В некоторый момент скорость движения веревки увеличилась, и теперь стержень, двигаясь поступательно, совершает гармонические колебания с периодом 3 секунды. Каков коэффициент трения при скольжении стержня по шкиву? Каков максимальный коэффициент трения покоя?

При медленном движении веревки в момент остановки стержня силы трения, действующие на стержень со стороны шкивов, таковы, что одна из сил соответствует силе трения скольжения, а другая – силе трения покоя. Поскольку они (силы трения) в этот момент одинаковы, отношение ко-