Вспомогательные равносторонние треугольники

Квант 2023, №3 с. 39, 40, 41, 48, 49, 51, 54, 55, 58 Тег 6NFB

ШКОЛА В «КВАНТЕ»

М.ВАСИЛЬЕВ, Т.КОРЧЕМКИНА

разность известных нам углов составляет 100 q 40 q 60 q. Мотивацией к построению вспомогательного равностороннего треугольника также служат равные «неудобно» расположенные отрезки AD и BC. Итак, построим теперь равносторонний треугольник ADE (рис. 1) и получим еще один угол в 40q при вершине A. Тогда

УМЕНИЕ ДЕЛАТЬ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ построения всегда являлось залогом успешного решения сложных геометрических задач. Не секрет, что очень непросто сформулировать точные и четкие инструкции для выбора и применения того или иного построения, однако зачастую в условии задачи присутствуют «маячки» – подсказки, позволяющие догадаться, какие дополнительные линии следует провести. Так, практика показывает, что медиану треугольника бывает полезно продлить на ее длину, а специальное добавление середин отрезков и последующее рассмотрение средних линий соответствующих треугольников помогают решить задачу. К таким типовым дополнительным построениям можно также смело отнести метод «спрямления суммы», стандартные построения в трапеции, метод вспомогательной окружности и др. Более сложным приемом, требующим большей изобретательности и появляющимся в олимпиадных задачах, является поиск и построение правильных многоугольников или их элементов. Эту идею заинтересованные читатели увидят, например, в статье Е.Бакаева и А.Блинкова «Вспомогательные квадраты» («Квант» № 4 за 2016 г.). Ниже мы покажем, в каких случаях равносторонние треугольники помогают решить задачу. Задача 1. В равнобедренном треугольнике ABC угол при вершине A равен 100q. На продолжении стороны AB за точку B отмечена такая точка D, что AD BC. Чему равен угол BCD? Решение. Как догадаться до нужного дополнительного построения? Заметим, что углы при основании BC равнобедренного треугольника ABC равны по 40q, а значит,

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20230305

Рис. 1

треугольники BAC и ACE равны по двум сторонам (AB AC, BC AE) и углу между ними ( ABC CAE ), следовательно, ACE BAC 100 q. Кроме того, по трем сторонам равны треугольники DAC и DEC, откуда ACD ECD 50 q и, наконец,

BCD

ACD ACB

50 q 40 q

10 q.

Как правило, что мы видим и на примере предыдущей задачи, после сделанного дополнительного построения завершающим шагом в решении является поиск равных треугольников. Задача 2. Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием BC отмечена такая точка M, что MBC 30 q, MCB 10 q. Найдите угол AMC, если BAC 80 q. Решение. Поскольку угол при вершине равнобедренного треугольника равен 80q, углы при основании будут равны 50q каждый. Отсюда можно вычислить углы MBA 20 q и MCA 40 q. Тот факт, что в условии дан равнобедренный треугольник, уже намекает на возможную пользу от построения треугольника равностороннего. Действительно, построив равносторонний треугольник ABD так, как показано на рисунке 2, получим CBD 60 q 50 q 10 q и равнобедренный треугольник DAC. В этом треугольнике угол при вершине равен

ШКОЛА

«КВАНТЕ»

Рис. 2

BAC BAD 80 q 60 q 20 q, следовательно, DCA 80 q, и BCD 80 q 50 q 30 q. Таким образом, треугольники BMC и CDB равны по стороне BC и прилежащим к ней углам с градусными мерами 10q и 30q, что означает равенство сторон MC BD AC. Тогда в равнобедренном треугольнике ACM с углом в 40q при вершине искомый угол AMC равен 70q.

Упражнение 1. Найдите другой способ решения задачи 2, использующий равносторонний треугольник, построенный на AC. Не менее красивое решение задачи читатель узнает из статьи В.Прасолова «Диагонали правильного 18-угольника» («Квант» № 5 за 1995 г.).

Зачастую при первом взгляде на чертеж возникает несколько разумных идей для построения вспомогательного треугольника. Любопытно, однако, что почти всегда каждый из пришедших в голову способов позволяет (с разной степенью сложности) прийти к ответу. Это справедливо, например, для нескольких следующих задач. Задача 3. Внутри треугольника ABC отмечена такая точка M, что AM BM, MBA 10 q, MBC 20 q и MAC 40 q. Найдите угол MCA. Решение. Итак, какой же треугольник здесь может оказаться полезным (рис. 3)? С одной стороны, если построить равносторонний треугольник ABK с основанием AB так, чтобы точки M и C были внутри треугольника, то BC окажется биссектрисой, а CAK MAB MBA 10 q. Можно также использовать равные стороны AM и BM, построив равносторонние треугольники AMN или BML. В каждом из случаев помимо сторон, равных AM и MB, появляются и углы, равные данным в условии.

Рис. 3

На самом деле каждое из перечисленных выше построений помогает решить задачу, но мы остановимся подробнее на треугольнике AMN, поскольку попутно он приводит к дополнительным интересным фактам. Действительно, в силу условия и дополнительного построения можно вычислить угол BMN 360 q 180 q 2 10 q – 60q 140 q. Поскольку также MN = AM = BM, треугольник MBN – равнобедренный, причем MBN 20 q MBC. А это означает, что точки B, C и N лежат на одной прямой! Рассмотрим теперь треугольник ANC. В нем ANC ANM MNB 60 q 20 q 80 q и ACN CAB ABC 30 q 50 q 80 q как внешний угол треугольника ABC. Таким образом, треугольник ANC равнобедренный, но тогда равнобедренным будет и треугольник ACM. Отсюда легко вычислить, что MCA 70 q.

Упражнение 2. Решите предыдущую задачу, пользуясь треугольником ABK.

Следующая задача давно уже вошла в математический фольклор и неоднократно появлялась на различных олимпиадах. Речь пойдет о равнобедренном треугольнике с углом при вершине в 20q и углами при основании по 80q. Его интересные свойства послужили источником для множества новых задач и исследований. С одной из таких удивительных задач можно познакомиться в статье К.Кнопа «История с геометрией, или Девять решений одной задачи» («Квант» № 3 за 1993 г.). Задача 4. В треугольнике ABC углы ABC и ACB равны 80q. На стороне AB отмечена

КВАН T 2023/№3

Рис. 4

такая точка P, что BPC 30 q. Докажите, что AP BC. Решение. Подсказкой к построению вспомогательного равностороннего треугольника служит то, что 80 q 60 q 20 q. В зависимости от того, как именно «отнять» угол в 60q, можно построить треугольники ABE, ACD или BCF (рис. 4). Опять же, каждый из этих треугольников приводит к решению задачи. Здесь мы приведем решение с помощью треугольника BCF. По трем сторонам равны треугольники ABF и ACF, значит, BAF CAF 10 q и ABF ACF 80 q 60 q 20 q. По свойству внешнего угла BPC треугольника APC получаем, что ACP 30 q 20 q 10 q. Таким образом, в треугольниках APC и CFA к стороне AC прилегают углы 10q и 20q, откуда следует равенство треугольников APC и CFA и AP CF BC.

Упражнение 3. Проведите до конца рассуждения, связанные с треугольниками ABE и ACD.

Задача 5 (Е.Бакаев, LXXIX Московская математическая олимпиада, 2016). На медиане AM треугольника ABC нашлась такая точка K, что AK BM. Кроме того, AMC 60 q. Докажите, что AC BK. Решение. Наличие угла 60q и множество равных отрезков однозначно намекают на построение вспомогательного равностороннего треугольника. Классическое решение предлагает продлить медиану AM и построить треугольник BMD (рис. 5), но равносторонний треугольник EMC также оказывается полезен. Действительно, вне зависимости от расположения точек K и E на AM, отрезки AE и KM равны либо как сумма, либо как разность длин отрезков ME AK и отрезка EK.

Рис. 5

Кроме того, по построению CE BM. Для равенства треугольников AEC и KMB не хватает только равенства углов AEC и BMK, но оба эти угла – смежные с углами в 60q, откуда ’ AEC ’ BMK и AC BK. Задача 6 (Е.Бакаев, LXXXII Московская математическая олимпиада, 2019). Внутри равнобедренного треугольника ABC отмечена точка K так, что KAC 30 q и AB BC CK. Найдите угол AKB. Решение. В этой задаче, опять же, есть несколько способов найти ответ с помощью равностороннего треугольника. Построение равностороннего треугольника ACL (рис. 6) превратит AK в биссектрису, медиану и высоту, а построение равносторонних треугольников ABP или BMC добавит и равнобедренные треугольники. Первые два способа мы оставляем читателю в качестве упражнения, с ними также можно ознакомиться в книге «LXXXII Московская математическая олим-

Рис. 6

ШКОЛА

пиада. Задачи и решения». Мы же рассмотрим решение, получаемое с помощью треугольника BMC. Пусть BAK D. Тогда в силу AB BC имеем ACB BAC 30 q D, и из треугольника ABC можно вычислить ABM ABC MBC 180 q 2 30 q D 60 q 60 q 2 D. Далее, с учетом того, что треугольник BAM также равнобедренный, получаем

CAM

BAM BAC

1 180 q 60 q 2 D D 30 q 2

30 q

KAC.

Рассмотрим теперь треугольники AKC и AMC. Сторона AC для них – общая, также CK CM и по доказанному выше KAC MAC. Здесь мы воспользуемся известным утверждением, называемым четвертым признаком равенства треугольников или признаком полуравенства треугольников: если две стороны первого треугольника равны двум сторонам второго треугольника и угол, противолежащий одной из сторон первого треугольника, равен углу, противолежащему соответственно равной ей стороне второго треугольника, то либо эти треугольники равны, либо углы, противолежащие другим двум равным соответствующим сторонам, в сумме составляют 180q. Отсюда следует, что либо KCA MCA и ’ AKC ’ AMC, либо KCA MCA 180 q. Последнее невозможно, поскольку KCA MCA KCM MCB 60 q, а значит, ’ AKC ’ AMC и AK AM, откуда, в частности, следует, что треугольник AKM – также равносторонний. Тогда AK KM и треугольники ABK и MBK равны по трем сторонам, значит,

AKB

MKB

1 360 q 60 q 2

«КВАНТЕ»

Точкой Торричелли треугольника называется точка, из которой три луча, направленные в вершины треугольника, образуют между собой углы в 120q. Задача 7 (точка Ферма–Торричелли). Найдите внутри треугольника ABC, у которого все углы меньше 120q, точку M, сумма расстояний от которой до трех вершин минимальна. Решение. Построим на каждой стороне треугольника ABC во внешнюю сторону вспомогательные равносторонние треугольники ACE, BCD и ABF (рис. 7). Пусть M – произвольная точка внутри треугольника ABC. Соединим теперь точку M с вершинами и построим равносторонний треугольник AMN. Покажем, что сумма расстояний от точки M до вершин исходного треугольника равна длине ломаной BMNE. Рассмотрим треугольники ANE и AMC. По построению AM AN, AC AE, а также MAC 60 q CAN EAN, откуда следует равенство рассматриваемых треугольников и их соответственных сторон MC и NE. Таким образом, AM BM CM BM MN NE. Такое построение позволяет также понять, чему равна та самая минимальная сумма расстояний. Действительно, для любой точки M выполнено неравенство BM MN NE t BE, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда точки B, M, N и E лежат на одной прямой (в указанном порядке). Пусть теперь полученная конструкция такова, что точки M и N лежат на отрезке BE

150 q.

Вспомогательный равносторонний треугольник может оказаться полезным не только при решении задач. Так, с помощью этого метода можно обосновать построение точки Ферма–Торричелли, не прибегая к окружностям. Точкой Ферма называется точка плоскости, сумма расстояний от которой до вершин треугольника является минимальной.

Рис. 7

КВ А Н T 2023/№3

комнаты экспериментатора, если известно, что улитки всегда движутся прямолинейно с одинаковой скоростью u 12 см мин, плитки в ванной плотно прилегают краями друг к другу, а коврики одинаковые. А.Евсеев

Задача 2. Стадион МФТИ Беговые дорожки стадиона МФТИ – это 4 дорожки шириной d 1,22 м каждая (рис. 2). Дорожки состоят из двух прямо-

Рис. 2

линейных участков длиной l 84,39 м и двух участков в виде полуокружностей радиусом R. Радиус траектории атлета, или эффективный радиус, на первой дорожке $R_{1} 36,80$ м. 1) Найдите эффективную длину $L_{1}$ одного круга первой дорожки. 2) Определите, на каких расстояниях ’ $l_{12}$ , ’ $l_{23}$ , ’ $l_{34}$ должны располагаться линии стартов на различных дорожках на прямолинейных участках, чтобы длины дистанций в 3 круга совпадали при условии финиша на линии старта первой дорожки. 3) Какие значения может иметь средняя скорость атлета, пробежавшего 6 кругов по первой дорожке, если он определял время своего забега по стадионным часам (с точностью до минуты)? Стартовал атлет в 13:00, а финишировал в 13:13. Выразите максимальную и минимальную средние скорости и в км ч, и в м с. Примечание. Длина окружности радиусом R равна 2 S R, где S 3,1416. Д.Рубцов

Задача 3. Шоколад и карамель При производстве конфет в сосуд объемом V 16,0 л заливают горячий белый шоколад плотностью $U_{1} 1,20$ г $см^{3}$ . Когда сосуд заполняется на 60%, в него вместо шоколада начинают заливать карамель плотностью $U_{2} 1,52$ г $см^{3}$ со скоростью P 0,60 л мин. Автоматика настроена на определение средней плотности содержимого сосуда, и когда средняя плотность превышает $U_{1}$ на 10%, подача карамели в сосуд прекращается. Изменением объема жидкостей при их смешивании можно пренебречь. Сколько минут происходила подача карамели? В.Слободянин

Задача 4. Догонялки Два автомобиля одновременно начинают движение из пункта A в пункт B по прямолинейной дороге. Известно, что первый автомобиль едет с постоянной скоростью $v_{1}$ не останавливаясь до пункта B. В пункте B он останавливается и ждет прибытия второго автомобиля. Второй автомобиль движется с постоянной скоростью $v_{2}$ , меньшей чем $v_{1}$ . Через некоторое время он останавливается и, когда первый автомобиль достигает пункта B, вновь продолжает движение с той же скоростью $v_{2}$ . На рисунке 3 приведен график зависимости расстояния между автомобилями от времени вплоть до момента $t_{1} 4$ мин. В момент времени $t_{2} 14$ мин автомобили встретились. 1) Определите скорости автомобилей $v_{1}$ и $v_{2}$ . 2) В течение какого времени ’ t второй автомобиль покоился? 3) Найдите расстояние L между пунктами A и B. А.Евсеев

Рис. 3

8 класс

ОЛИ МП ИА ДЫ

Задача 1. По трубе Два легких небольших упругих шарика движутся внутри закрытой с обоих концов гладкой массивной трубы, расположенной горизонтально. В тот момент времени, когда шарики находятся посередине трубы, их скорости относительно земли равны v и 2v, а трубу начинают двигать с постоянной скоростью 0,1v, как показано на рисунке 4. Длина трубы 2L.

Рис. 4

Через какой промежуток времени $W_{1}$ левый шарик первый раз столкнется с торцевой стенкой трубы? 2) Через какой промежуток времени $W_{2}$ правый шарик первый раз столкнется с торцевой стенкой трубы? 3) Через какой промежуток времени W шарики в первый раз столкнутся друг с другом? 4) Найдите скорости $u_{1}$ левого и $u_{2}$ правого шариков относительно земли непосредственно перед их первым соударением. Cоударения шариков с торцевыми стенками трубы считайте абсолютно упругими. Примечание. В результате абсолютно упругого удара скорость шарика относительно стенки остается такой же по величине, как до удара, но направленной противоположно. О.Инишева

Задача 2. Изогнутая трубка Изогнутая трубка постоянного сечения заполнена несмешивающимися жидкостями с разными плотностями, как показано на рисунке 5. В левом конце трубки, закрытом пробкой, заперт воздух под давлением $0,8p_{0}$ , где $p_{0}$ – атмосферное давление, которое равно гидростатическому давлению столба жидкости плотностью U высотой 10h. Правый конец трубки открыт в атмосферу, система находится в состоянии равновесия. 1) Определите коэффициент k у плотности жидкости (см. рис. 5). 2) В каком направлении и на сколько сместится свободная поверхность жидкости

Рис. 5

в правом колене трубки в новом состоянии равновесия, если убрать пробку? А.Сеитов

Задача 3. Туда-сюда Экспериментатор Глюк провел эксперимент. Десятилитровую кастрюлю, заполненную наполовину водой комнатной температуры $t_{0} 20 q C$ , Глюк поставили греться на электрической плитке. Через некоторое время в кастрюлю, не снимая ее с плиты, он долил воду комнатной температуры неизвестного объема. А спустя еще какое-то время воду такого же объема из кастрюли, также не снимая ее с плиты, вылил. Затем он дважды измерил температуру воды в кастрюле – через $W_{1} 8$ мин и $W_{2} 9$ мин с момента начала нагрева и получил значения $t_{1} 45 q C$ и $t_{2} 50 q C$ . Всего плитка работала 10 мин. 1) Какую температуру $t_{к}$ имела бы вода в кастрюле к концу эксперимента, если бы по ходу нагрева ее масса не изменялась? 2) Определите наименьшее возможное значение массы $m_{min}$ воды, доливаемой Глюком в ходе эксперимента. 3) Найдите самый ранний от начала нагрева момент времени $W_{min}$ , когда мог происходить забор воды из кастрюли. Тепловые потери и теплоемкость кастрюли пренебрежимо малы. Считайте, что при изменении массы воды ее температура изменяется мгновенно, а при добавлении воды она не выливается из кастрюли. Удельная тепло-

ОЛИ МП ИА ДЫ

Рис. 10

поршень кладут непроводящую гирю массой 1 кг, амперметр показывает силу тока $I_{1} 2,31$ А. Если же 3 таких гири положить на большой поршень, то амперметр покажет силу тока $I_{2} 2,1$ А. 1) Определите сопротивление амперметра $R_{A}$ при условии, что соединительные провода и поршни имеют пренебрежимо малое сопротивление. 2) Определите силу тока, который показывает амперметр, когда на поршнях отсутствуют грузы. 3) В каких пределах может меняться сила тока в собранной установке, если в распоряжении имеется широкий выбор грузов? Можно считать, что соединительная трубка имеет пренебрежимо малое сечение. Проводимость воды также очень мала. Плотность воды U 1000 кг $м^{3}$ . А.Евсеев

Задача 4. Что так, что эдак Ваня и Маша провели 2 эксперимента. В первом эксперименте десятилитровую кастрюлю, заполненную наполовину водой комнатной температуры $t_{0} 20 q C$ , грели на плитке мощностью P 1,4 кВт в течение W 10 мин. При этом через $W_{1} 5$ мин после начала эксперимента в кастрюлю, не снимая ее с плитки, долили некоторое количество воды комнатной температуры, а еще через $W_{2} 3$ мин, также не снимая кастрюлю с плитки, из нее столько же воды отлили. Во втором эксперименте при тех же начальных условиях отлив и долив поменяли местами, не меняя общее время эксперимента, моменты манипуляций и количество доливаемой и отливаемой воды. Конечная температура воды в кастрюле в обоих экспериментах совпала. 1) Какой была масса добавляемой в экспериментах воды?

Какую температуру имела вода в кастрюле в конце экспериментов? 3) Какого максимального значения достигала температура воды в кастрюле в каждом из проведенных экспериментов? Считайте, что долив и отлив воды происходят очень быстро. Тепловые потери и теплоемкость кастрюли пренебрежимо малы, а вода в процессе экспериментов не закипала. Удельная теплоемкость воды c 4,2 кДж кг q С, плотность воды U 1000 кг $м^{3}$ . А.Евсеев

Задача 5. Движение по спице Материальные точки B и C связаны нерастяжимыми нитями AB и BC (рис. 11). Точка C может скользить по неподвижной длинной вертикальной спице, на которой также закреплен конец A нити AB. В момент, показанный на рисунке, нить BC образует угол M 30 q с вертикалью и перпендикулярна нити AB, скорость точки C направлена вниз и равна v, тангенциальное ускорение точки B равно a W и точка B движется в плоскости рисунка. Нити натяну- Рис. 11 ты. Оказалось, что ускорение точки C в рассматриваемый момент равняется нулю. 1) Определите модуль скорости $v_{B}$ точки B в рассматриваемый момент. 2) Определите длину $l_{BC}$ нити BC. 3) Определите модуль ускорения $a_{B}$ точки B в рассматриваемый момент. А.Уймин

10 класс Задача 1. Зонд Экспериментатор Глюк сконструировал атмосферный зонд, состоящий из шара объемом $V 20 м^{3}$ , заполненного гелием при давлении $p_{0} 100$ кПа и температуре $T_{0} 300$ К, и подвешенного к нему набора метеорологических датчиков. 1) При какой максимальной массе датчиков зонд сможет подняться на высоту 4 км? 2) На какую максимальную высоту сможет подняться такой шар без датчиков? График зависимости давления воздуха от высоты над поверхностью Земли представлен на рисунке 12. Считайте, что температу-

КВ А Н T 2023/№3

Зависимость величины показаний вольтметра от массы поставленного на платформу груза с учетом малости деформации балки может быть представлена в виде $U J m^{n}$ , где n – целое число, J – коэффициент пропорциональности. 3) Определите n и J. 4) Теперь предположим, что недеформируемая линия проходит на расстоянии x d 4 от верхней поверхности балки. Рассчитайте в этом случае показания вольтметра при установке на платформу груза массой m. 5) Весы перенесли в более теплое помещение, из-за этого они нагрелись. В процессе нагрева весов балка изменила свою длину, ее относительная деформация составила $H_{3}$ (порядка величин $H_{1}$ и $H_{2} ).$ Изменением толщины и ширины балки можно пренебречь. Рассчитайте в этом случае показания вольтметра при установке на платформу груза массой m. (Недеформируемая линия проходит посередине балки.) При решении задачи считайте известными такие свеличины: E – напряжение источника питания; k – тензометрический коэффициент резисторов №1 и №2; m – масса груза, установленного на весы; D – коэффициент пропорциональности между радиусом кривизны балки в месте крепления резисторов и массой груза в минус первой степени; d – толщина деформируемой балки; $H_{3}$ – относительное удлинения балки при ее нагреве. Величину сопротивления резисторов $R_{0}$ считайте неизвестной. Ю.Черников

прикладывать к невращающейся гильзе для проталкивания ее через отверстие, от величины перемещения представлен на рисунке 20,б. Максимальное значение силы равно $F_{0}$ . Эта сила нужна для преодоления силы сухого трения, причем нормальные силы реакции, действующие на участки поверхности гильзы со стороны стен отверстия, не зависят от скорости и угловой скорости гильзы. Поверхности гильзы и отверстия однородны и одинаковы по всей длине. Координата x 0 отвечает положению гильзы, которая только начала входить в плиту. 1) При каком минимальном значении $v_{0} v_{min}$ гильза пролетит через отверстие (начальная угловая скорость $Z_{0}$ всегда одна и та же)? 2) Чему будет равна при этом (при $v_{0} v_{min} )$ угловая скорость $Z_{1}$ вращения гильзы в момент, когда гильза окажется целиком внутри плиты? 3) Через какое время W от момента влета в отверстие при начальной скорости $v_{0} t v_{min}$ гильза окажется внутри плиты целиком? А.Аполонский

11 класс Задача 1. Вращающаяся гильза Тонкостенная цилиндрическая гильза массой m, вращающаяся с угловой скоростью $Z_{0}$ вокруг своей оси, влетает со скоростью $v_{0}$ в отверстие в стальной плите (рис. 20,a). Оси гильзы и отверстия совпадают, внешний радиус гильзы R равен радиусу отверстия, длина гильзы l равна толщине плиты. График зависимости силы, которую необходимо

Задача 2. Как измерить поверхностное натяжение? В поле тяжести на двух невесомых нерастяжимых нитях к горизонтальному стержню CD подвешена планка AB массой m и длиной L. Нити прикреплены к концам планки и располагаются вертикально (рис. 21,а). После погружения системы в неизвестную жидкость и последующего извлечения ее из жидкости в пространстве между нитями, планкой и стержнем сформировалась пленка жидкости, а сама система приобрела вид, представленный на рис. 21,б. При этом минимальное расстояние между нитями оказалось равным d, а расстояние между планкой и стержнем равным h. 1) Определите коэффициент поверхностного натяжения жидкости V. 2) Вычислите величину V при L 10 см, m 2 г, d 5 см, h 8,7 см. А.Аполонский

Рис. 20

Рис. 21

ОЛИ МП ИА ДЫ

Задача 3. Трапеция Лорда Кельвина В архиве лорда Кельвина была найдена диаграмма циклического процесса, проводимого с постоянным количеством идеального двухатомного газа, представляющая собой в координатах pV трапецию. От времени чернила выцвели и на рисунке 22 осталась видна лишь трапеция. Известно, что Рис. 22 теплоемкость в каждом из процессов ab, bc, cd, da была постоянна, причем $С_{bc} С_{da}$ ! $C_{ab} C_{cd}$ . Также известно, что максимальная температура газа в цикле равна $T_{1} 400$ К, а температуры некоторой пары из точек a, b, c, d были одинаковы и равны $T_{2} 200$ К. 1) Пользуясь только циркулем и линейкой без делений, восстановите положения координатных осей p и V. Примечание. Описывать построение параллельных и перпендикулярных прямых, проходящих через заданную точку, деление отрезка пополам и подобные стандартные геометрические процедуры не обязательно. 2) Определите температуры $T_{a}, T_{b}, T_{c}, T_{d}$ в точках a, b, c, d соответственно. 3) Найдите КПД цикла K. А.Уймин

Задача 4. Цилиндр и нелинейная плотность заряда Диполь – жесткий стержень длиной H с зарядами q и q на концах – находится на оси тонкостенной цилиндрической трубки радиусом R и высотой H (рис. 23). На

трубку нанесен заряд с поверхностной плотностью V, которая зависит от расстояния x до плоскости нижнего основания по закону

V x

$V_{0} sin^{2}$

S x, 2 H где $V_{0}$ ! 0. Найдите направление и величину электростатической силы, действующей на диполь в положении, в котором его заряды q и q находятся в центре нижнего основания (точка O) и в центре верхнего основания (точка B) соответственно. К.Соломатин

Задача 5. Движение в скрещенных полях В скрещенных электрическом и магнитном полях движется маленькая частица массой m с положительным зарядом q. Вектор однородного электрического поля с напряженностью E направлен вдоль оси y (рис. 24).

Рис. 24

Вектор индукции магнитного поля направлен вдоль оси z, перпендикулярной плоскости xy, а его величина зависит только от координаты y по закону B D y. В начальный момент времени частица расположена в начале координат, а ее скорость равна нулю. При дальнейшем движении частица впервые остановилась в момент времени t T после начала движения. Силы тяжести нет. 1) Определите скорость частицы в момент, когда она направлена вдоль оси x. 2) Определите радиус кривизны траектории частицы в точке с координатой y. 3) Изобразите траекторию частицы за время движения T. 4) На каком расстоянии от точки старта окажется частица через время W 3 T 2? Примечание. При малых значениях ’ x справедлива формула ’ $x^{n}$

$nx^{n} 1$ ’ x. А.Уймин

Публикацию подготовил В.Слободянин

Рис. 23

КВАН T 2023/№3

ним из них занимает свое место король, перешедший двумя ходами с клетки c1 на c3), делается последний ход: король, сделавший когда-то самый первый ход, передвигается с клетки b1 на клетку c1. Всего 36 ходов. Эта задача является развитием задачи М2494 «Задачника «Кванта» (ее автор Р.Ефремов).

Региональный этап XLIX Всероссийской олимпиады школьников по математике

9 класс

Они затратили поровну времени. Между двумя моментами встречи каждый мальчик проехал половину асфальтового и половину песчаного участков, и они затратили на это поровну времени. Значит, на всю дорожку каждый из них затратил вдвое больше времени, т.е. тоже поровну. 2. Нельзя. Многоугольник, у которого площадь (измеренная в $см^{2} )$ численно равна периметру (измеренному в см), назовем хорошим. Заметим, что исходный треугольник – хороший: он прямоугольный с катетами 5 см и 12 см, поэтому его площадь равна $30 см^{2}$ и численно совпадает с его периметром, равным 5 12 13 30 см. Если какой-то многоугольник 3 разбит на хорошие многоугольники, то площадь 3, равная сумме площадей всех многоугольников разбиения, совпала бы численно с суммой периметров многоугольников разбиения. Но сумма этих периметров больше периметра 3 (на удвоенную сумму длин общих частей границ многоугольников разбиения). Получаем, что площадь 3 больше его периметра. Значит, никакой хороший многоугольник, в том числе данный треугольник, нельзя разрезать на несколько (больше одного) хороших многоугольников. 3. 2 n 1. Заметим, что в каждой вертикали и каждой горизонтали стоит ровно по одной ладье. Покажем сначала, что все 2n ладей не могли попасть в одну часть. Пусть A, B, C, D – угловые клетки доски (в порядке обхода против часовой стрелки; рис. 9). Из симметрии, A и C должны принадлежать разным частям, как и B и D. Это значит, что либо A и B, либо A и D лежат в одной части, а остальные две клетки – в другой. Пусть для определенности A и B лежат в части I. Тогда все граничные клетки между ними также должны лежать в части I; действительно, если какая-то такая клетка X лежит в части II, то в

Рис. 9

ней же лежит какой-то путь из X в C, а в части I лежит какой-то путь из A в B; но эти пути должны иметь общую клетку, что невозможно. Значит, вся горизонталь между клетками A и B лежит в части I, т.е. в ней должна быть хотя бы одна ладья. Аналогично, в части II тоже есть целая горизонталь (между C и D), а значит, есть ладья. Отсюда и следует требуемое. Осталось привести пример, когда в одной из частей расположено 2 n 1 ладей. Один из возможных примеров устроен так. Рассмотрим диагональ квадрата; в одну часть попадут клетки ниже нее, а также нижняя половина самой диагонали; остальные клетки попадут во вторую часть. Расставим 2 n 1 ладей в клетки непосредственно под диагональю; тогда они окажутся в одной части. Оставшуюся ладью поставим в пересечение оставшихся строки и столбца. На рисунке 8 указан такой пример при n 5. 5. Обозначим окружности с диаметрами AB и CD через $Z_{1}$ и $Z_{2}$ соответственно. Заметим, что точка S лежит на отрезке MN. Пусть прямые CS и DS пересекают l в точках P и Q соответственно (рис. 10). Поскольку CD – диаметр $Z_{2}$ , имеем PSQ CSD 90 q. В прямоугольном треугольнике PSQ отрезок SM – высота, поэтому MSP 90 q SPM SQP. С другой стороны, поскольку NS NC, имеем SCD CSN MSP. Итак, SCD MSP SQP, т.е. точки P, Q, C и D лежат на одной окружности J c.

Рис. 10