Về một kỳ thi Olympic Toán quốc tế bài toán LXV ​​​​

39

TOÁN HỌC

Do đó, các điểm P, Q trong bài toán 2 là các điểm Humpty và vì chúng liên hợp đẳng giác nên chúng cũng là các điểm Humpty. Tóm lại, chúng ta lưu ý rằng trên thực tế trong bài toán 1 và 2, sự tương đương của các mệnh đề sau đã được chứng minh: x trong tam giác ABC các đoạn AC và BC bằng nhau; x Điểm Brocard nằm trên đường trung tuyến của đỉnh A và B;

Về một kỳ thi Olympic Toán quốc tế bài toán LXV ​​​​

N. PANYUNIN

Bài viết này sẽ kể cho bạn nghe về một bài toán dễ thương từ Olympic Toán Quốc tế vừa qua. Đây là tình trạng của cô ấy. Snail Turbo chơi trò chơi sau trên một bảng có 2024 hàng và 2023 cột. Có những con quái vật ẩn náu trong 2022 ô vuông trên bàn cờ. Turbo ban đầu không biết bất kỳ con quái vật nào ở đâu, nhưng cô ấy biết rằng có chính xác một con quái vật ở mỗi hàng ngoại trừ con đầu tiên và con cuối cùng, và có nhiều nhất một con quái vật trong mỗi cột. Turbo thực hiện một loạt nỗ lực để đi từ hàng đầu tiên đến hàng cuối cùng. Trong mỗi lần thử, cô ấy có thể chọn bất kỳ ô nào ở hàng đầu tiên làm ô bắt đầu, sau đó thực hiện một loạt chuyển động từ ô này sang ô liền kề có một cạnh chung. (Cô ấy được phép quay lại các ô đã ghé thăm trước đó.) Nếu cô ấy đến thăm một ô có quái vật, thì cô ấy sẽ

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20240805

VÒNG TRÒN

x Điểm Brocard nằm trên đường trung tuyến của đỉnh A và B; x Điểm A của Humpty trùng với điểm B của Dumpty; x Điểm của Brocard là điểm của Humpty; x Điểm Brocard là điểm Dumpty. Có lẽ độc giả sẽ có thể khám phá những đặc tính khác của thiết kế đã được thảo luận.

nỗ lực kết thúc và cô ấy được chuyển trở lại hàng ghế đầu để bắt đầu nỗ lực mới. Những con quái vật không di chuyển và Turbo nhớ xem có quái vật nào trong mỗi phòng giam mà cô đến thăm hay không. Nếu cô ấy đến bất kỳ ô nào ở hàng cuối cùng, nỗ lực của cô ấy sẽ hoàn thành và trò chơi kết thúc. Xác định giá trị tối thiểu của n sao cho Turbo có chiến lược đảm bảo đạt đến hàng cuối cùng sau n lần thử hoặc ít hơn, bất kể vị trí của quái vật. Ngay cả khi bạn là học sinh lớp 8 hoặc lớp 7, trước tiên hãy thử tự mình giải bài toán. Có thể sau khi đọc lời giải hoặc thậm chí nhìn thấy đáp số, bạn sẽ nhận ra rằng mình có thể tự tìm thấy lời giải. Tuy nhiên, hãy lưu ý rằng cả những người tham gia và thậm chí cả lãnh đạo của một số đội mạnh có truyền thống mạnh đều gặp khó khăn với nhiệm vụ này. Tổng số điểm cao nhất cho phần này bài toán – 38 – thuộc về các chàng trai của đội Nga. Trước tiên chúng ta hãy nhìn vào bài toán. Hãy đánh số các hàng từ trên xuống dưới và các cột từ trái sang phải. Ô nằm ở hàng thứ i và cột thứ j sẽ được ký hiệu là i, j. Màu xanh lá cây sẽ biểu thị những cánh đồng chắc chắn không có quái vật, màu đỏ - nơi có quái vật, màu vàng - những cánh đồng đáng ngờ. Thay vì bảng 2023 hoặc 2024, hãy xem xét một trường có 11 cột và 12 hàng. Bản chất của lời giải sẽ không thay đổi nhưng chúng tôi sẽ để lại trường hợp tổng quát cho bạn đọc. Hãy để Turbo khám phá con quái vật ở dòng thứ hai, dành một lần thử cho việc này (Hình 1). Lưu ý rằng trong trường hợp này, tất cả các ô khác ở hàng thứ hai, ở bên trái và bên phải của quái vật, đều không có quái vật và

40

KVAN T 2024/Số 8

Hình 1

cũng như tất cả các ô của cột bên dưới quái vật. Sau đó, sau khi thử thêm một lần nữa để tìm hiểu xem có quái vật nào trong các ô màu vàng hay không, không quá lần thử thứ ba, Turbo sẽ đạt được mục tiêu dọc theo một trong những con đường màu xanh lam. Tuy nhiên, lý do trên không áp dụng được trong trường hợp quái vật Turbo được phát hiện nằm ở rìa của dòng thứ hai, chẳng hạn như bên trái (Hình 2). Trong trường hợp này, nếu Turbo kiểm tra xem ô màu vàng có trống hay không, cô ấy có thể gặp phải một con quái vật, do đó lãng phí lần thử thứ hai. Nhưng bỏ qua ô này, như trong trường hợp

với con quái vật không ở rìa, nó sẽ không hoạt động: có một bức tường ở bên trái. Do đó, có thể phải mất bốn lần thử mới đến được dòng cuối cùng: hai lần đã được sử dụng và Turbo được đảm bảo chỉ đến được dòng thứ ba. Nếu cô ấy tiếp tục hành động theo cách này, thì trong trường hợp quái vật sắp xếp theo đường chéo (Hình 3), số lần thử sẽ tăng lên. Có thể làm điều gì đó khác biệt được không? Việc cân nhắc mang tính quyết định trong trường hợp này là tránh kiểm tra quái vật ở những vị trí cực đoan. Bây giờ chúng ta hãy chuyển thẳng đến phần trình bày về lời giải. Hãy để Turbo hành động như sau. Trong lần thử đầu tiên, Turbo kiểm tra tất cả các ô của hàng thứ hai, ngoại trừ các ô bên ngoài 2,1 và 2,11. Nếu có một con quái vật trong số đó, thì Turbo đã biết cách đạt đến điểm mấu chốt trong không quá ba lần thử. Nếu không, thì để lại các ô ngoài cùng đáng ngờ (Hình 4), Turbo sẽ kiểm tra các ô của hàng thứ ba. Một lần nữa, không phải tất cả, nhưng bắt đầu từ 3,3 và lên đến 3,9. Nếu có một con quái vật trong những ô này, thì Turbo lại biết cách đến vạch cuối cùng trong không quá ba lần thử.

Hình 2

Hình 4

Hình 3

Hình 5