Tại sao-điểm, nửa đường tròn và đường thẳng Euler

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC

Tại sao-điểm, nửa đường tròn và đường thẳng Euler

F. BAKHAREV, G. CHELNOKOV

Sự xuất hiện của dấu chấm Tại sao

Trong vài thập kỷ qua, hình học Olympic đã có được nhiều thuật ngữ, một phần quan trọng trong số đó vẫn chưa thể được coi là được chấp nhận rộng rãi. Do đó, một số tên chỉ phổ biến trong không gian nói tiếng Nga (bổ đề về chim sẻ [1], bài toán 255 [2], bổ đề về người đi xe đạp [3]), những cái tên khác - chủ yếu trong văn học nói tiếng Anh (Điểm xếp hàng, bổ đề Iran, bổ đề Shooting Death Star [4, 5]). Trong bài viết này, chúng tôi sẽ nói về một điểm mà tên của nó vẫn chưa được chú ý. Đôi khi nó được gọi là ISL $2011 G4 point^{1}$, và gần đây hơn có một cái tên không quá khó coi nhưng vẫn chưa thành công lắm: Why-dot (ví dụ, xem [6]). Không giả vờ chấp nhận lời giải cuối cùng về cái tên, chúng ta sẽ nói về các cấu trúc liên quan đến những điểm này, một số trong đó là quan sát trực tiếp của các tác giả bài viết. Trước khi chuyển sang các định nghĩa, chúng ta sẽ phân tích hai bài toán, được đưa ra ở giai đoạn cuối của Olympic toàn Nga dành cho học sinh. Tên các điểm đã được thay đổi so với cách diễn đạt ban đầu.

1 ISL - Danh sách ngắn IMO - đã chọn bài toán, từ đó phiên bản Olympic Toán học Quốc tế (IMO) cuối cùng được biên soạn. Số G4 có nghĩa là bài toán là số 4 trong danh sách hình học bài toán. Danh sách rút gọn năm 2011 đưa ra 8 bài toán về Hình học. Bài toán G4 do Nga đề xuất, tác giả - Mikhail Isaev.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20250204

Sự kiện 1 (Olympic toàn Nga, 2015). Tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn: (Hình 1). Gọi G là giao điểm của các đường trung tuyến và AD là chiều cao. Tia GD cắt nhau tại điểm Y. Khi đó đường tròn ngoại tiếp tam giác YDB tiếp xúc với đường thẳng AB. Bằng chứng. Phép đồng nhất có tâm Hình 1 tại điểm G và hệ số 2 biến đường tròn chín điểm của tam giác ABC thành đường tròn ngoại tiếp của nó: do đó, ảnh của điểm D - điểm K - nằm trên: và AK P BC (Hình 2). Hình 2 Như vậy BAKC là hình thang cân và ABC KCB. Sử dụng đẳng thức KCB KYB, ta kết luận rằng ABD DYB và do đó, đường tròn (BYD) ngoại tiếp tam giác BYD tiếp xúc với đường thẳng AB. Nhận xét 1. Trong chứng minh, chúng ta sử dụng ký hiệu (BYD) cho đường tròn ngoại tiếp tam giác BYD. Chúng tôi sẽ tiếp tục sử dụng ký hiệu này mà không cần giải thích thêm. Nhận xét 2. Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ mặc định giả sử rằng tam giác ABC nhọn, AB < AC, và tiến hành mọi chứng minh trong trường hợp này. Lưu ý rằng tất cả các khẳng định cần chứng minh vẫn đúng trong trường hợp tam giác không nhọn.

Bài tập 1. Vẽ một đường thẳng đi qua đỉnh A của tam giác, cắt cạnh BC tại điểm X và đường tròn ngoại tiếp: lại tại điểm Z. Sử dụng ký hiệu đã nêu ở trên, chứng minh rằng đường tròn (XYZ) đi qua điểm D.

Phát biểu tiếp theo có vẻ phức tạp hơn một chút, nhưng sự giống nhau đáng kể trong cả điều kiện và cách chứng minh là điều đáng chú ý. Điều đáng ngạc nhiên hơn là cả hai bài toán đều được đưa vào vòng chung kết Olympic toàn Nga với cách biệt chỉ ba năm.

48

KVANT 2025/№2

Ba điểm Tại sao

Sự thật 6. Các đường Why-Chevians của một tam giác cắt nhau tại một điểm nằm trên đường Euler. Bằng chứng. Hãy xem xét vòng tròn $:_{a}$ xuất hiện trong Sự thật 3 và các vòng tròn tương tự $:_{b}$ và $:_{c}$. Đối với trực tâm của một tam giác, các đẳng thức HD HA HE HB HF HC là đúng, vì các đường cao là trục đẳng phương của các đường tròn dựng trên các cạnh của tam giác dưới dạng đường kính. Do đó, điểm H có cùng bậc đối với cả ba đường tròn $:_{a}, :_{b}$ và $:_{c}$. Ngoài ra, xét rằng OA, OB và OC (O, như thường lệ, tâm của đường tròn: ) lần lượt tiếp xúc với $:_{a}, :_{b}$ và $:_{c}$, ta kết luận rằng bậc của điểm O đối với cả ba đường tròn cũng bằng nhau. Điều này có nghĩa là đường thẳng Euler của tam giác ABC là trục căn chung của các đường tròn này. Do đó, tồn tại một điểm có cùng bậc đối với cả ba đường tròn $:_{a}, :_{b}, :_{c}$ và đối với đường tròn:. Điểm này nằm trên tất cả các Why-cevian và trên đường thẳng Euler.

Bài tập

7. Xác định độc lập rằng điểm G cũng có cùng bậc đối với các đường tròn $:_{a}, :_{b}, :_{c}. 8.$ Chứng minh giao điểm của Why-cevian nằm trên đường thẳng nối điểm D với giao điểm của các tiếp tuyến với: tại điểm B và C.

Nhận xét 7. Bài tập trước cho thấy giao điểm của Whychevian trùng với tâm đồng tính của tam giác trực giao DEF và tam giác tạo thành bởi các tiếp tuyến của đường tròn: tại các điểm A, B và C. Điểm này được các nhà hình học gọi là điểm X(25) trong bách khoa toàn thư về tâm tam giác (ví dụ, xem [11]).

Mối quan hệ với hình bán nguyệt

Đường tròn đi qua hai đỉnh của tam giác và tiếp xúc với đường tròn nội tiếp được gọi là hình bán nguyệt. Hóa ra các điểm Tại sao có liên quan chặt chẽ với các điểm tiếp tuyến được chỉ định của hình bán nguyệt.

Hình 8

Để thấy được mối liên hệ này, chúng ta hãy vẽ các tiếp tuyến với đường tròn theo cấu hình ban đầu: tại các đỉnh của tam giác. Cho chúng bao quanh một tam giác A c B c C c, các đỉnh của tam giác này được đặt tên tương ứng. Dễ dàng nhận thấy các điểm A c, B c và C c lần lượt là ảnh nghịch đảo của trung điểm các cạnh M, L và N so với đường tròn: (Hình 8). Vì đường tròn Why (NLY) tiếp tuyến: tại điểm Y nên ảnh nghịch đảo của nó ( B c C c Y ) cũng tiếp xúc với đường tròn: tại điểm Y. Vì đường tròn: là đường tròn nội tiếp tam giác A c B c C c nên ta kết luận điểm Y là điểm tiếp tuyến của đường tròn nửa ngoại tiếp tam giác A c B c C c. Hãy để chúng tôi xây dựng tuyên bố tương ứng. Câu 7. Điểm Y là điểm tiếp tuyến của các đường tròn nội tiếp và nửa ngoại tiếp của một tam giác tạo bởi các tiếp tuyến tại các điểm A, B, C với đường tròn:. Nhận xét 8. Lưu ý rằng trong trường hợp tam giác tù, theo cách suy luận ở trên, không phải một đường tròn nội tiếp được tạo thành mà là một đường tròn ngoại tiếp, và trong trường hợp tam giác chữ nhật, sự thoái hóa xảy ra hoàn toàn - các tiếp tuyến ở hai đỉnh không cắt nhau. Bản thân điểm tiếp tuyến của hình bán nguyệt có nhiều tính chất đáng chú ý. Hãy để chúng tôi chứng minh một trong những điều quan trọng nhất. Câu 8. Đường thẳng AY đi qua tâm $I_{a}$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác A c B c C c tính từ cạnh B c C c (Hình 9). Bằng chứng. Gọi W là trung điểm của cung B c C c của đường tròn ( YB c C c ). Theo bổ đề

50

KVANT 2025/№2

tâm căn A c. Chứng minh rằng các điểm $A,^{A} c, O$ cùng nằm trên một đường thẳng. Sự thật 10. Tâm đẳng phương của vòng tròn Tại sao nằm trên đường Euler. Bằng chứng. Cho các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vẽ tại các đỉnh cắt nhau tại các điểm A c, B c, C c. Khi đó, theo thực tế 9, tâm triệt phương U của hình bán nguyệt của tam giác $^{A}$ $c^{B} c^{C} c$ nằm trên đường thẳng Euler của tam giác ABC. Khi ngược chiều với đường tròn ngoại tiếp, các nửa đường tròn $треугольника^{A} c^{B} c^{C} c$ biến thành các đường tròn tại sao của tam giác ABC. Theo Bổ đề 2, tâm đẳng phương của U, tâm nghịch đảo và tâm đẳng phương của các vòng tròn Tại sao nằm trên cùng một đường thẳng. Tuy nhiên, hai điểm đầu tiên nằm trên đường Euler nên điểm thứ ba cũng nằm.

Bài tập

11. Cho tam giác ABC vẽ đường cao AD, điểm H là trực tâm của tam giác ABC. Điểm Z đối xứng với điểm H so với D, Y – Tại sao điểm đó ứng với đỉnh A. Chứng minh đường tròn (DYZ) tiếp xúc với đường thẳng BC. 12. Cho tam giác ABC vẽ đường cao AD, điểm Dc trên cạnh BC sao cho BD c CD. Chứng minh rằng BAY CADc, trong đó Y là điểm A-Tại sao. 13. Các đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Chứng minh rằng hình chiếu của H lên EF nằm trên đường thẳng AY, trong đó Y là điểm A-Tại sao. 14. Các điểm $Y_{a}, Y_{b}$ và $Y_{c}$ là các điểm Why của tam giác ABC tương ứng với các đỉnh A, B và C. Đường trung tuyến nối tiếp đỉnh A lại cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm D. Chứng minh rằng đường thẳng $Y_{b} Y_{c}, Y_{a} D$ và BC cắt nhau tại một điểm. 15. Điểm $Y_{b}$ và $Y_{c}$ – Điểm tại sao của tam giác ABC tương ứng với đỉnh B và C. Điểm E và F – đáy đường cao từ đỉnh B và C. Chứng minh rằng $Y_{b}, Y_{c}, E$ và F cùng nằm trên một đường tròn. 16. Điểm $Y_{b}$ và $Y_{c}$ – Tại sao các điểm của tam giác ABC lần lượt ứng với hai đỉnh B và C. Điểm D là đáy đường cao hạ từ đỉnh A. Chứng minh rằng đường tròn $( DY_{b} Y_{c} )$ đi qua trung điểm cạnh BC. 17. Các đường cao AD, BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Các điểm $Y_{a}, Y_{b}$ và $Y_{c}$ – Điểm tại sao của tam giác ABC tương ứng với các đỉnh A, B và C. Chứng minh rằng các đường tròn $(_{a}^{HDY} ), ( HEY_{b} ), ( HFY_{c} )$ có chung một trục căn - đường thẳng Euler của tam giác.

Văn học

1. A. Polyansky. Chim sẻ trên súng! – «Kvant», 2012, số 2. 2. I. Sharygin. Hình học 9-11: Từ giáo dục bài toán đến sáng tạo. – M.: Bustard, 1997. 3. V. Protasov. Về hai người đi xe đạp và một hố anh đào. – «Kvant», 2008, số 3. 4. E. Chen. Hình học Euclide trong các kỳ thi Olympic Toán học. – Nhà xuất bản Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ, Sách giải toán, 2016, tập. 27. 5. E. Chen. Bổ đề trong Hình học AoPS. 2023. 6. Người dùng AoPS i3435. “Cấu hình hình học tam giác Olympic Muricaaaaaaa “Mỹ”, 2021. 7. D. Efremov. Hình học tam giác mới. – Odessa: Nhà in của nhà xuất bản tiêu đề thư của M. Shpentzer, 1902. 8. T.A.Moon. Đường tròn Apollon và các điểm đẳng chấn. – Những phản ánh toán học, 2010, tập. 6. 9. A. Ruinsky. Ghi chú về Vòng tròn Apollonius. – Giáo dục toán học, 1999, số 2. 10. V. Tadeev. Đơn giản, đôi, hài hòa. – «Kvant», 1982, số 7. 11. C.Kimberling. Trung tâm tam giác và tam giác trung tâm. – Congressus numerantium, 1998, tập. 129.

Để thu hút sự chú ý của độc giả của chúng tôi

Bạn có thể đăng ký tạp chí «Kvant» từ bất kỳ số nào tại bất kỳ bưu điện nào. Chỉ mục đăng ký của chúng tôi trong danh mục “Báo chí $России»^{–} 90964.$”. Bạn có thể mua tạp chí «Kvant» trong cửa hàng “Sách toán học” của nhà xuất bản MCNMO (địa chỉ cửa hàng trực tuyến: biblio.mccme.ru), cũng như tại các hiệu sách ở Moscow “Biblio-Globus”, “Young Guard”, “Moscow House of Books” và trong tòa soạn tạp chí. Kho lưu trữ các số đã xuất bản của tạp chí «Kvant» có sẵn trên trang web http://kvant.ras.ru