Tự giống nhau trong hình ảnh

Tự giống nhau trong hình ảnh

Hãy bổ sung bài viết “Sự tự tương tự” bằng một số ví dụ nổi bật.

1. Các vùng đa giác nhiều màu của “tấm thảm” giống nhau trong Hình 1 biến đổi thành nhau khi được phản chiếu

Hình 2

Hình 1

(hoặc, tương tự, khi quay một góc 180q) so với đỉnh thích hợp của hình ngũ giác đều ở tâm. Mỗi khu vực được phản ánh tương ứng với đỉnh ngoài cùng bên phải của hình ngũ giác khi nhìn từ khu vực đó. Fractal này thu được từ một hệ thống động với sự sắp xếp lại các mảnh, hơi giống với hệ thống được hiển thị trong $статье.^{2.}$ Một “tấm thảm” fractal tương tự, nhưng chỉ có đa giác trung tâm - một hình bảy cạnh đều, được hiển thị trong Hình 2. Ở đây cũng có sự tự tương tự, nhưng không thể nhìn thấy nó bằng mắt thường - bạn cần một kính hiển vi có độ phóng đại gấp nghìn lần. $^{3.}$ Hình 3 cho thấy cấu trúc của fractal, mà Hình 3 có thể được coi là cách giải thích hình học của các từ của Fibonacci. Đường gãy đầu tiên tương ứng với $слову_{3}^{w}$, đường thứ hai $–_{4}^{w}, затем_{5}^{w},_{6}^{w},_{7}^{w},_{8}^{w},_{9}^{w}$, sau đó là đường ngoài cùng bên phải ở hàng dưới cùng $–_{12}^{w}$, ở bên trái $–_{15}^{w}$ và $наконец,_{22}^{w}$. Fractal được xây dựng theo quy tắc sau: nếu tìm thấy số 1 trong chuỗi thì chúng ta vẽ một đoạn duy nhất; nếu có số 0 trong dãy thì vẽ một đoạn đơn vị và xoay nó sang trái 90q nếu số 0 ở vị trí chẵn và 90q sang phải nếu số 0 ở vị trí lẻ. Giống như các từ, một fractal thỏa mãn tính chất nối: mỗi

phần tiếp theo của fractal là sự kết hợp của hai $предыдущих.^{4.}$ Hình 4 cho thấy một mặt phẳng có tọa độ x; y (các trục của hệ tọa độ không được hiển thị). Trên mặt phẳng “động” này có một ánh xạ

Hình 5

Hình 4 chuyển động f, điểm tịnh tiến x; y đến điểm $x^{2} y^{2} 1 ; 2 xy$. Quỹ đạo của các chấm đỏ tiến tới vô cùng. Quỹ đạo của các chấm màu xanh lam và xanh lục hội tụ thành một chu kỳ gồm hai điểm: điểm trung tâm của hình có tọa độ 0;0 và điểm trắng ở vùng màu lục bên trái, có tọa độ 1;0. Trong trường hợp này, các chấm màu xanh lam được hiển thị dưới dạng màu xanh lá cây và ngược lại. Các chấm màu xanh lam và xanh lục càng đậm thì quỹ đạo của chúng càng tiến tới chu kỳ 2 tuần hoàn càng chậm, và các chấm đỏ, ngược lại, càng đậm thì chúng càng thoát ra vô tận nhanh hơn. Bức tranh này được gọi là vương cung thánh đường. Vương cung thánh đường chứa các bản sao của chính nó ở mọi tỷ lệ: những bản sao này bảo toàn các góc, mặc dù chúng vi phạm $пропорции.^{5.}$ Mặt phẳng động của màn hình, được xác định rất rõ ràng, nhưng phức tạp hơn một chút so với ví dụ với vương cung thánh đường, được trình bày trong Hình 5. Ở đây cũng có một chu kỳ thu hút của chu kỳ 2 và tập hợp các điểm có quỹ đạo không bao giờ tiếp cận chu trình này biểu thị một hình tự tương tự, giống như tam giác Sierpinski. Chu kỳ bao gồm các điểm 0 và vô cực (đây là những gì bạn nhận được khi chia cho 0), tất cả các điểm màu vàng và màu xanh lá cây đều bị thu hút vào chu kỳ này, và các điểm màu vàng chuyển sang màu xanh lục và ngược lại. Các điểm màu vàng càng nhạt thì chúng càng bị thu hút vào chu trình nhanh hơn và các điểm màu xanh lá cây thì ngược lại, $темнее.^{6.}$ Tập Mandelbrot (Hình 6) bao gồm các điểm $u_{1} ; v_{1}$ trong đó các chuỗi $u_{n}, v_{n}$, được cho bởi các quan hệ truy hồi $u_{n} 1 u_{n}^{2} v_{n}^{2} u_{n}, v_{n} 1 2 u_{n} v_{n} v_{n}$, vẫn bị chặn. Mỗi điểm của tập hợp Mandelbrot có hệ động lực riêng, giống như một vương cung thánh đường.

Hình 6

Các hệ thống tương ứng trải qua những thay đổi đáng kể (phân nhánh) khi vượt qua ranh giới của tập hợp Mandelbrot. Ngoài ra, bộ Mandelbrot còn chứa nhiều bản sao nhỏ hơn của chính nó - theo nghĩa tương tự như vương cung thánh đường. Tài liệu do V. Kirichenko, V. Timorin biên soạn

34

KVAN T 2025/№2

(Phần đầu, xem trang 29) b) Cho một ví dụ: cho 1, 2,…, 9 viên kẹo trong túi. Sau đó, để dễ kiểm tra, người thứ nhất sẽ lấy 0 viên kẹo, người thứ hai lấy 1, người thứ ba 2,…, người thứ mười lấy 9 viên kẹo. A. Glebov

M2820. Hãy gọi các nước đi của hiệp sĩ, trong đó hiệp sĩ di chuyển hai ô theo chiều ngang và một ô theo chiều dọc, chiều ngang và phần còn lại theo chiều dọc. Bạn cần đặt quân mã vào một trong các ô 46 và 46 của bàn cờ, sau đó luân phiên di chuyển theo chiều ngang và chiều dọc. Chứng minh rằng nếu không được phép vào ô nhiều lần thì không được thực hiện quá 2024 lần di chuyển.

Chia bảng thành 23 dải dọc 46 u 2 và sơn các sọc màu đỏ và xanh lam: sơn dải đầu tiên màu đỏ và sau đó sơn các màu xen kẽ (xem hình).

Hãy để hiệp sĩ thực hiện các bước di chuyển theo chiều ngang. Mỗi nước đi ngang xác định một cặp ô (đây là các ô mà quân mã nằm trước và sau nước đi); vậy chúng ta có h cặp ô. Dễ dàng nhận thấy trong một cặp như vậy, một ô có màu đỏ và ô còn lại có màu xanh. Ngoài ra, theo điều kiện bài toán, hiệp sĩ không thể thực hiện hai nước đi ngang liên tiếp, do đó không thể gộp ô thành hai cặp cho hai nước đi ngang khác nhau. Do đó, h không vượt quá số ô màu xanh: h d 11 2 46 1012. Tương tự, chúng tôi chứng minh rằng số lần di chuyển theo chiều dọc không vượt quá 1012. Tổng cộng, không quá 1012 + 1012 = = 2024 bước di chuyển được thực hiện. A. Gribalko

M2821. Đường trên máy bay là một đường thẳng mà bạn chỉ có thể di chuyển theo một hướng.

a) Petya và Vasya thay phiên nhau dẫn đường, Petya bắt đầu. Chỉ được phép đi đường ngang hoặc dọc; Hướng đi trên đường do người vẽ đường chọn (khi tạo đường này). Liệu Vasya có thể luôn hành động theo cách mà sau bất kỳ hành động nào của mình, anh ta có thể đi theo quy tắc từ ngã tư này đến ngã tư khác, bất kể Petya hành động như thế nào? b) Cho có một số đường (tập hữu hạn) trên mặt phẳng, hai đường bất kỳ giao nhau. Với m nhỏ nhất là bao nhiêu, bạn luôn có thể thêm m đường và làm cho nó có thể lái xe từ bất kỳ giao lộ nào đến bất kỳ giao lộ nào khác?

Đáp số: a) luôn luôn; b) 2. a) Trong khi tất cả các đường đã vẽ đều song song, hãy để Vasya tiếp tục vẽ các đường thẳng song song với các đường đã vẽ, sao cho sau khi anh ta di chuyển các đường ngoài cùng sẽ có hướng khác nhau. Khi Petya vẽ một con đường giao nhau với họ, Vasya có thể, ở một bên của nó, vẽ một con đường theo hướng ngược lại sao cho thỏa mãn điều kiện sau (): đường ngoài cùng bên trái l, đường ngoài cùng bên phải r, đường cao nhất t và đường thấp nhất b tạo thành hình chữ nhật 3 với chuyển động tròn (Hình 1). Hãy để chúng tôi chứng minh rằng 1) Vasya sẽ có thể chơi theo cách mà sau mỗi nước đi của anh ấy điều kiện () được thỏa mãn; 2) nếu điều kiện (*) được thỏa mãn thì từ bất kỳ giao lộ nào bạn có thể đến bất kỳ giao lộ nào khác. Từ đây lời giải sẽ theo ngay. 1) Để xác định, ở bước tiếp theo Petya vẽ một đường ngang x. Nếu x vẽ giữa t và b thì Vasya cũng kẻ một đường ngang giữa t và b nên hình chữ nhật 3 không thay đổi. Bây giờ chúng ta giả sử rằng đường thẳng x của Petina nằm phía trên đường thẳng t. Sau đó cho Vasya vẽ một hình ngang. 1