Góc giữa bán kính và cạnh

Kvant 2025, số 3 tr. 30, 31, 34 Thẻ 106P

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC

Y. BLINKOV, D. SHVETSOV

Sự thật cơ bản

Với kiến thức không vượt quá phạm vi chương trình nửa đầu lớp 8 có giải được Olympic phức tạp bài toán không? Và không biết các sự kiện và kỹ thuật đặc biệt của “Olympiad”? Hóa ra là trong nhiều trường hợp chỉ cần nắm vững tốt các tài liệu học tập thông thường là đủ. Hãy xem xét bài toán đơn giản. Bài toán 0. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Tìm góc ACO nếu $^{ABC} D$ (Hình 1). “Chà, điều gì có thể thú vị ở đây?” – người đọc sẽ hỏi. Thật vậy, góc nội tiếp bằng một nửa góc ở tâm, dựa trên cùng một cung (Hình 2), tức là nếu $^{ABC} D 90 q$ thì $^{AOC} 2 D$ , do đó $^{ACO} 90 q D$ .

Hình 1

Hình 3

Hình 4

hình vuông ABC. Sau đó $^{ACO}$ (Hình 3).

Bài tập

Xây dựng lại một cách chứng minh khác về sự kiện chính từ Hình 4. 2. Sự kiện chính sẽ thay đổi như thế nào trong trường hợp góc tù ABC?

Làm thế nào bạn có thể sử dụng thực tế này? Thực tế là nó chỉ ra vị trí tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Trong các khóa học ở trường, người ta thường chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác cách đều các đỉnh của nó, tức là nằm ở giao điểm của các đường trung trực vẽ các cạnh của tam giác. Nhưng ví dụ, nếu góc B của tam giác ABC cố định thì tâm của đường tròn ngoại tiếp cũng nằm trên một đường thẳng tạo một góc cố định với cạnh AC. Hãy xem xét bài toán sau đây. Bài toán 1. Đường phân giác AL cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác cân ABC (AB = BC) tại điểm W; điểm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBW nằm trên cạnh BC (Hình 5).

Hình 2

Chỉ? Chắc chắn! Nhưng đây là thực tế chính của bài viết của chúng tôi, nhờ đó chúng tôi sẽ có thể giải quyết một số bài toán khó khăn. Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ gọi nó là góc giữa bán kính và cạnh. Thực tế cơ bản. Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp một tam giác nhọn.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20250303

$90 q ^{ABC}$

Hình 5

KVANT 2025/№3

từ đỉnh vẽ một góc cho trước và đường trung trực vuông góc với cạnh đó. Chúng tôi sẽ sử dụng kỹ thuật này một lần nữa.

Đến những đỉnh cao

Chà, chúng tôi đã tìm ra thực tế chính và xem xét các ví dụ đầu tiên. Tiếp theo là gì? Góc nào cũng bù với góc của tam giác bằng 90q? Tất nhiên, góc giữa cạnh của tam giác và đường cao kéo về phía bên kia. Dựa trên điều này, chúng ta có thể xây dựng như sau. Hệ quả 1. Gọi CC c là đường cao của tam giác nhọn ABC $(рис.^{9).}$ Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Khi đó ACO BCC c, tức là các đường thẳng CO và CC c đối xứng qua phân giác góc C của tam giác ABC.

Hình 9

Bằng chứng. Lưu ý rằng nếu ABC D thì BCC c 90 D ACO. Hệ quả 1 cũng đúng trong trường hợp tam giác tù. Bằng chứng sẽ thay đổi như thế nào? Chúng ta hãy xem xét việc áp dụng hệ quả này. Học sinh lớp bảy có quyền truy cập vào bài toán này.

Bài tập 4. Trong tam giác vuông ABC, đường trung tuyến CM và chiều cao CH vẽ cạnh huyền AB (Hình 10). Chứng minh rằng ACM BCH.

Hình 10

Điều ngược lại bài toán, đôi khi xảy ra, hóa ra lại khó hơn nhiều. Bài toán 4. Trong tam giác không cân ABC (Hình 11), vẽ đường trung tuyến CM và chiều cao CH (điểm H nằm trên đoạn AB).

Hình 11

Chứng minh rằng nếu ACM BCH thì ACB 90 q. Lời giải. Chúng ta hãy chứng minh rằng M là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, từ đó suy ra phát biểu bài toán. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó ACO BCH, tức là O nằm trên tia CM. Mặt khác O nằm trên đường trung trực của cạnh AB. Vì tam giác không cân nên chúng không thể trùng nhau và tâm O của đường tròn ngoại tiếp nằm tại giao điểm của chúng - tại điểm M. Bài toán được giải. Trong bài toán tiếp theo, được tổ chức cho học sinh lớp chín tại Giải đấu Trận chiến Toán học $А.П.Савина^{3}$ (theo HMT), ý tưởng về sự đối xứng của chiều cao và bán kính đã được ẩn giấu sâu hơn một chút. Bài toán 5. Cho tam giác nhọn ABC. Trên cạnh AC chọn một điểm K tùy ý và một điểm L sao cho ABK CBL được chọn (Hình 12). Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KBL thẳng hàng. Lời giải. Lưu ý rằng các tam giác KBL và ABC có chung đường cao BH về cạnh AC (Hình 13). Ngoài ra, từ

Hình 12

Hình 13

đẳng thức ABK CBL suy ra rằng các tam giác này cũng có một đường phân giác chung vẽ từ đỉnh B. Khi đó, theo Hệ quả 1, có tia BO cố định mà tâm của đường tròn ngoại tiếp nằm trên đó

tursavin.ru

3 Trang web giải đấu – http:

TOÁN HỌC

tam giác ABC cũng chứa tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KBL. Bài toán đã giải quyết.

Bài tập 5. Tìm GMT của các trung tâm đó.

Chúng ta hãy xem xét một hệ quả quan trọng khác đặc trưng cho hướng của bán kính. Hệ quả 2. Gọi $AA_{1}$ và $BB_{1}$ là đường cao của tam giác nhọn ABC, điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (Hình 14). Sau đó $CO A A_{1} B_{1}$ .

VÒNG TRÒN

Ứng dụng đơn giản nhất của hệ quả này là bài toán, được đề xuất tại Cuộc đua thuyền toán học. Bài toán 6. Gọi $AA_{1}, BB_{1}$ và $CC_{1}$ là đường cao của tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng các đường vuông góc hạ từ B xuống $A_{1} C_{1}$ , từ A đến $B_{1} C_{1}$ và từ C đến $A_{1} B_{1}$ cắt nhau tại một điểm (Hình 16).

Hình 16

Lời giải. Theo Hệ quả 2, các đường vuông góc đã cho cắt nhau tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. bài toán này có thể được định dạng lại thành $так.^{5}$

Hình 14

Bằng chứng. Vì các điểm $B, A_{1}, B_{1}$ và A nằm trên đường tròn có đường kính AB (tại sao?), nên $CB_{1} A_{1}$ CBA (Hình 15).

Hình 15

Bài tập 8. Chứng minh rằng các đường vuông góc kẻ từ tâm các đường tròn ngoại tiếp của một tam giác tới các cạnh của nó cắt nhau tại một điểm.

Có thể phát triển thêm cốt truyện. Bài toán 7. Gọi $AA_{1}, BB_{1}, CC_{1}$ là các đường cao của tam giác nhọn ABC, điểm O là tâm của đường tròn ngoại tiếp. Qua các điểm $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ các đường thẳng lần lượt được vẽ song song với các bán kính OA, OB và OC (Hình 17). Chứng minh rằng các đường thẳng này cắt nhau tại một điểm.

Ngoài ra, ACO 90 q CBA, do đó cần có $перпендикулярность.^{4}$

Bài tập

Chứng minh khẳng định này cho tam giác tù. 7. Sử dụng ký hiệu tương tự, chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm C với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC song song với đường thẳng A 1 B 1.

4 Hệ quả đã được chứng minh có thể được khái quát hóa như sau. Cho một góc có đỉnh C và các điểm P, Q bên trong góc đó; K và L là hình chiếu của điểm P lên các cạnh của góc. Các đường thẳng CQ và KL vuông góc khi và chỉ khi CP và CQ vuông góc.

Hình 17

Lời giải. Theo Hệ quả 2, các đường thẳng này vuông góc với các cạnh của tam giác.

5 Bạn có thể đọc thêm về nghệ thuật định dạng lại bài toán ở «Kvant» số 5 cho năm 2022 trong bài viết “Cách định dạng lại bài toán?”

(Tiếp theo trang 34)

Coi không khí là một chất khí gồm các phân tử giống hệt nhau: a) ước tính tốc độ chuyển động nhiệt của các phân tử trong điều kiện bình thường; b) tìm số phân tử trên một đơn vị khối lượng khí, tốc độ bình phương trung bình gốc của nó ở nhiệt độ tuyệt đối T bằng $v_{кв}.^{11.}$ Liệu một chất khí giãn nở có thể tự nén và chiếm lại vị trí cũ $объем?^{12.}$ Mạch điện nào trong hai mạch điện trong hình là đáng tin cậy hơn nếu độ tin cậy p của điốt là 0,7, tụ điện là 0,8 và điện trở là 0,9?
Hằng số phân rã của O đối với các đồng vị $радия^{230} Ra$ nếu chu kỳ bán rã là $T_{1} 2 93$ phút? Xác suất w của sự phân rã đồng vị trong một giờ là bao nhiêu?

Kinh nghiệm vi mô

Quan sát hành vi của một giọt mực rơi vào nước. Tại sao đường kính của nó tăng lên?

Thật thú vị rằng…

… từ Pascal và Fermat, những người đã đưa ra những ví dụ rõ ràng và đơn giản về các ứng dụng của lý thuyết xác suất, Huygens đã đứng ra chỉ đạo, đưa ra kết quả của mình vào năm 1657 trong cuốn sách “Về tính toán trong cờ bạc” - chuyên luận đầu tiên theo một hướng khoa học mới. …tại đáp số khi được hỏi về trò chơi xúc xắc mới, Newton đã phải quyết định bài toán để tìm ra trò nào có lợi hơn. Theo những gì được biết, đây là công trình duy nhất của nhà khoa học về lý thuyết xác suất. … trong khi nghiên cứu xác suất của các phán quyết tư pháp, nhà vật lý và toán học người Pháp Poisson đã thiết lập vào năm 1837 một trong những định luật cơ bản - cái gọi là “phân bố”, được đặt theo tên ông và trở thành công cụ nghiên cứu cho các nhà khoa học với lời giải nhiều bài toán đa dạng. … Vào ngày 21 tháng 9 năm 1859, tại một cuộc họp của Hiệp hội vì sự tiến bộ của khoa học Anh, Maxwell lần đầu tiên báo cáo về công trình của mình, công trình đã đặt nền móng cho một bức tranh thống kê hoặc xác suất về thế giới. …các nhà vật lý nghiên cứu chuyển động Brown hoặc sự khuếch tán khí vào đầu thế kỷ 20, chẳng hạn như Einstein và Smoluchowski, đã chuyển sang nghiên cứu các quá trình xác suất trước khi vấn đề này thu hút sự chú ý của các nhà toán học. …đáp số đối với câu hỏi tại sao nhiệt được truyền từ vật nóng sang vật lạnh mà không phải ngược lại, Boltzmann gợi ý: bởi vì nó có nhiều khả năng xảy ra hơn. Ý tưởng này, ban đầu bị các nhà khoa học phản đối, sau đó đã nhận được sự công nhận rộng rãi. …vật lý lượng tử, không giống như vật lý cổ điển, phủ nhận khả năng thiết lập tọa độ hoặc quỹ đạo chính xác của một hạt cụ thể, ví dụ như một electron, mà chỉ hoạt động với xác suất vị trí của nó tại một thời điểm nhất định tại một điểm cụ thể trong không gian. …định luật phân rã phóng xạ về cơ bản có tính chất thống kê do các định luật xác suất ứng xử của các vi hạt; Chỉ sau khi cơ học lượng tử ra đời thì người ta mới có thể xây dựng được lý thuyết về sự biến đổi phóng xạ của hạt nhân nguyên tử.

Những gì cần đọc trong «Kvant» về xác suất trong vật lý

(xuất bản những năm gần đây)

“Lang thang trong xiềng xích” – 2017, số 3, tr. 10; 2. “Sự bất định là nền tảng của vật lý lượng tử” – 2021, số 1, tr. 2; 3. “Sự hỗn loạn phát sinh như thế nào. Định luật hỗn loạn cân bằng của khí lý tưởng” – 2021, số 4, tr. 30; 4. “Động học của bước đi ngẫu nhiên và hành trình khám phá Thiên hà của con người” – 2024, Số 1, tr. 2.

Tài liệu do A. Leonovich chuẩn bị

KVANT 2025/№3

(Để bắt đầu, xem trang 28) tam giác $A_{1} B_{1} C_{1}$ (tam giác trực giao) và tam giác pro-

đi qua các đỉnh của nó, tức là các độ cao của nó và tất nhiên, cắt nhau tại một điểm (trực tâm của tam giác trực giao). Bài toán đã giải quyết. Hóa ra trong số hai bài toán cuối cùng theo sau lời giải bài toán, được đưa ra tại Olympic Oral City về Hình học năm 2010 là khó nhất. Bài toán 8. Trong tam giác ABC, điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Đường thẳng c đi qua trung điểm đường cao của tam giác hạ xuống từ đỉnh C và song song với OC (Hình 18). Tương tự,

Bài tập 9. Viết và chứng minh khẳng định tương tự cho các điểm chia đường cao theo cùng một tỉ số.

Hãy tóm tắt - đơn giản hóa

Sẽ rất hữu ích khi phân tích sau lời giải xem liệu tất cả các điều kiện có quan trọng hay không. Có thể khái quát hóa bài toán bằng cách nào đó không? Hãy quay lại Hệ quả 2. Hóa ra nó có thể được khái quát hóa một cách dễ dàng. Lưu ý rằng trong chứng minh hệ quả tất yếu, $AA_{1}$ và $BB_{1}$ là độ cao không nhất thiết. Đối với chúng tôi, chỉ cần các điểm $B, A_{1}, B_{1}, A$ nằm trên cùng một đường tròn hoặc đẳng thức $CB_{1} A_{1}$ CBA là đủ (xem Hình 15). Tình huống tương tự thường xảy ra trong các vấn đề. Sự định nghĩa. Cho các điểm $B_{1}$ và $A_{1}$ lần lượt nằm trên đường thẳng CA và CB (hoặc cả hai đều nằm trên các tia CA và CB, hoặc cả hai trên các tia bù nhau). Các đoạn thẳng $A_{1} B_{1}$ và AB được gọi là phản song song (đối với cặp đường thẳng CA và CB hoặc đối với góc ACB) nếu $CB_{1} A_{1}$ CBA (Hình 20).

Hình 18

đường thẳng a và b thẳng hàng. Chứng minh rằng các đường thẳng a, b, c cắt nhau tại một điểm. Lời giải. Xét các đường thẳng từ bài toán 6 và từ bài toán 7. Đặt c c và $с_{1}$ là các đường thẳng đi qua điểm C và $С_{1}$ (gốc của đường cao tính từ điểm C) và song song với c (Hình 19).

Hình 20

Bây giờ chúng ta có thể xây dựng một khái quát hóa Hệ quả 2. Hệ quả 2 ¢. Cho đoạn A c B c phản song song với đoạn AB đối với các đường thẳng CA và CB, điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (Hình 21). Khi đó CO A A c B c.

Hình 19

Theo bài toán 6, đường thẳng c đi qua điểm O - tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ngoài ra, theo bài toán 7, đường thẳng $с_{1}$ đi qua điểm R – trực tâm của tam giác trực giao. Khi đó đường thẳng c đi qua chính giữa đoạn OR theo định lý Thales. Cần lưu ý rằng các đường thẳng a và b cũng đi qua điểm này. Bài toán đã giải quyết.

Hình 21

Bài tập 10. Chứng minh hệ quả tổng quát bằng cách xét vị trí khác nhau của các điểm Ac và Bc.