Các thử nghiệm cho Nam tước M.

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC

Các thử nghiệm cho Nam tước M.

K.KNOP

TRONG CÂU CHUYỆN TIÊU CHUẨN NHẤT bài toán về cân có cân (hoặc thiết bị khác) và một số thông tin về các vật thể chưa biết (đồng xu) được đưa ra. Ví dụ, nó cho biết có bao nhiêu đồng xu “giả” và cũng cho biết chúng có nhẹ hơn đồng xu thật hay không (hoặc người ta nói rằng chúng có thể không chỉ nhẹ hơn mà còn nặng hơn). Tuy nhiên, có một lớp riêng biệt bài toán, trong đó một công cụ mạnh mẽ nhất được thêm vào tất cả những điều này - chuyên gia trung thực nhất Baron M., người biết mọi thứ cần thiết về tất cả các đồng tiền. Khó khăn chính là nam tước phải chứng minh nghiêm ngặt tất cả những thông tin mà mình biết bằng cách sử dụng cân. Và vì chiếc cân là biểu tượng truyền thống của Themis nên nhân vật thứ hai trong những nhiệm vụ như vậy là người phán xử. Thẩm phán biết một số thông tin trong điều kiện bài toán, nhưng không phải tất cả thông tin mà chuyên gia biết. Nam tước sẽ phải đối mặt với những thử thách gì trong các hoạt động chứng cứ như vậy? Toán học đằng sau điều này là gì? Không giả vờ đề cập đầy đủ tất cả những gì có thể bài toán, chúng tôi sẽ tập trung vào một số trong số chúng.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20250504

Bài kiểm tra 1. Nam tước M. không thú vị có 12 đồng xu. Một nửa trong số chúng nặng 4 g, nửa còn lại nặng 5 g. Thẩm phán biết thông tin này, nhưng không biết đồng tiền nào nặng bao nhiêu. Liệu nam tước có thể chứng minh cho thẩm phán khối lượng của từng đồng xu trong một lần cân không? Gợi ý. Tất cả các đồng xu nhẹ nặng 24 g và năm đồng xu nặng nặng 25 g. Bài kiểm tra 2. Nam tước M. Không quan tâm có 6 đồng 4 g, 5 đồng 5 g và 4 đồng 6 g. Làm thế nào anh ta có thể chứng minh cho quan tòa thấy khối lượng của mỗi đồng xu trong một lần cân? Gợi ý. Phải đặt chính xác 24 g trên mỗi cân. Bài kiểm tra 3. Tám quả cân, một quả cân Nam tước trình bày 8 quả cân trước triều đình. Anh ta biết khối lượng của từng quả cân, nhưng trọng tài chỉ biết khối lượng của các quả cân là các số nguyên liên tiếp từ 1 đến 8. Nam tước chỉ được phép chứng minh một lần cân. Làm thế nào anh ta có thể chứng minh cho quan tòa thấy khối lượng của một vật nặng bất kỳ? Hãy nhường sàn cho chuyên gia - Nam tước M. - Thưa quý tòa, tôi đặt 5 quả cân ở đĩa bên trái của cân, và hai quả cân ở bên phải. Bạn có thấy cái cân có cân bằng không? Điều này có nghĩa là khối lượng của 5 quả cân của tôi bằng khối lượng của hai quả cân còn lại. Nhưng khối lượng của hai quả cân bất kỳ hiện có không quá 7 + 8 = 15 g và năm quả cân bất kỳ không nhỏ hơn 1 + 2 + 3 + 4 + + 5 = 15 g, nghĩa là chỉ có thể bằng nhau khi có chính xác 15 g trên mỗi bát, tức là trên

39

TOÁN HỌC

Bát bên trái thực sự chứa các vật nặng từ 1 đến 5 g, và bát bên phải chứa các vật nặng từ 7 và 8 g. Điều này có nghĩa là quả cân duy nhất không cân phải có khối lượng là 6 g! Bài kiểm tra 4. Sáu quả cân, hai quả cân Nam tước trình bày 6 quả cân trước triều đình. Ông biết khối lượng của mỗi quả cân, nhưng trọng tài chỉ biết khối lượng của các quả cân là các số nguyên liên tiếp từ 1 đến 6. Nam tước phải thực hiện hai lần cân như thế nào để chứng minh cho quan tòa thấy khối lượng của mỗi quả cân? Baron đề xuất hai phép đo này: 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 6 < 3 + 5. Tại sao kết quả của hai phép đo này lại có bằng chứng? Với tư cách là thẩm phán, chúng ta phải đảm bảo rằng không có hoán vị không giống nhau nào của các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể cho hai kết quả giống nhau. Hãy phân tích. Lần cân đầu tiên cho biết khối lượng của một quả cân bằng khối lượng của ba quả cân còn lại cộng lại. Nhưng khối lượng của ba quả cân nhỏ nhất không nhỏ hơn 1 + 2 + 3 g, còn quả cân lớn nhất không quá 6 g. Sự bình đẳng chỉ đạt được khi khối lượng 6 g nằm ở bát bên phải và các khối lượng 1, 2, 3 g theo thứ tự nào đó ở bên trái. Như vậy, kết quả của lần cân này cho phép trọng tài phân phối tất cả các trọng số thành ba bộ {1, 2, 3}, {6} và phần còn lại {4,5}. Hoán vị hiện chỉ có thể thực hiện được trong mỗi bộ chứ không phải giữa các bộ. Điều gì xảy ra ở lần cân thứ hai? Trên đĩa cân bên trái có quả nặng 6 g (đã được xác định) và một trong các quả cân của bộ đầu tiên, và bên phải - mỗi quả cân của bộ đầu tiên và bộ cuối cùng. Bát bên trái nhẹ hơn. Và cái gì? Chúng ta sẽ xem xét tất cả các lựa chọn còn lại chứ? Không. Hãy áp dụng lại phép phân tích dựa trên các bất đẳng thức: ở vế trái có ít nhất 7 g, vì có tổng khối lượng của khối lượng 6 và một khối lượng của khối lượng 1–3. Trên bát bên phải không quá 8 g, vì trên đó là tổng khối lượng của một trong các quả cân 4–5 và một trong các quả cân 1–3. Điều này có nghĩa là bát bên phải chỉ có thể nặng hơn bát bên trái nếu nó có 8 g và bát bên trái có 7 g. Nói cách khác, khối lượng của quả cân chưa biết ở bát bên trái là 1 g, và khối lượng của các quả nặng ở bát bên phải là 3 g và 5 g (rõ ràng quả nặng nào có khối lượng là bao nhiêu, vì chúng thuộc các bộ khác nhau!). Điều này có nghĩa là các khối lượng 1, 3, 5 đã được chứng minh. Nhưng sau đó

VÒNG TRÒN

Khối lượng của hai hạt còn lại cũng đã được chứng minh, vì chúng vẫn là những hạt duy nhất chưa được xác định trong tập hợp của chúng. Bài toán 1. Làm thế nào để chứng minh trước tòa trong hai lần cân khối lượng đúng cho một bộ tám quả cân như vậy: 10, 20, 25, 30, 35, 201, 203, 207 g? Bài kiểm tra 5. Chín quả cân, hai quả cân. Đánh giá Lần này nam tước có tới 9 quả cân, khối lượng mà anh ta biết. Có bộ quả cân nào mà anh ta có thể chứng minh khối lượng của chúng với trọng tài trong hai lần cân không? Bài phát biểu của nam tước trước tòa sẽ được tất cả những người yêu thích lý luận logic ghi nhớ từ lâu. - Thưa ngài! Bạn không chỉ giao cho tôi một nhiệm vụ khó khăn – không, nó không khó. Nó không thể hòa tan được! Hãy tưởng tượng trong đầu những gì tôi có thể làm bây giờ? Vì vậy, tôi đặt một số vật nặng lên cân, cân chúng và chúng tôi xem kết quả. Sau đó, chúng tôi làm tương tự với một bộ trọng số khác. Nói cách khác, tôi gán cho mỗi trọng lượng một “nhãn” gồm hai chữ số từ 00 đến 22, cho biết cân nào tôi đặt nó trên đĩa bên trái (1), trên đĩa bên phải (2) hoặc không sử dụng (0). Để kết quả cân chứng minh được khối lượng của từng quả cân thì tất cả các dấu hiệu phải khác nhau - xét cho cùng thì hai quả cân có cùng dấu hiệu là không thể phân biệt được. Vì vậy, số cân của tôi phải như thế này (tôi chỉ dấu của quả cân chứ không phải khối lượng của chúng!): 10 11 12? 20 21 22, 01 11 21? 02 12 22. Nhưng hãy nhìn vào những kết quả có thể xảy ra. Nếu kết quả cân là hai điểm cân bằng thì khi hoán đổi cặp quả cân 10 với 01, 20 với 02 và 12 với 21, lần cân thứ nhất sẽ “chuyển” sang lần cân thứ hai và ngược lại. Nói cách khác, chúng ta sẽ không thể xác định rõ ràng trọng lượng nào tương ứng với nhãn hiệu nào. Việc trao đổi trọng số giống nhau với việc bảo toàn kết quả sẽ xảy ra ở hai trạng thái mất cân bằng giống hệt nhau. Hơn nữa, nếu chúng ta nhận được hai bất đẳng thức khác nhau, thì chúng ta có thể xem xét việc hoán đổi cặp 01 với 20, 10 với 02 và 11 với 22 - cả hai bất đẳng thức sẽ vẫn giữ nguyên và chúng ta sẽ lại không thể xác định được khối lượng. Nếu ở lần cân đầu tiên có sự bằng nhau và ở lần cân thứ hai có một trong các bất đẳng thức, thì việc đổi 10 với 20, 11 với 21 và 12 với 22 sẽ cho kết quả tương tự. Và cuối cùng, nếu chỉ cân bằng ở lần cân thứ hai thì

40

KVANT 2025/№5–6

việc trao đổi 01 với 02, 11 với 12 và 21 với 22 được sử dụng. Vì vậy, đối với tất cả các kết quả có thể xảy ra, chúng ta không thể đảm bảo xác định được tất cả chín đồng tiền. Bài toán 2. Nếu Nam tước M. có một chiếc cân có con trỏ thay vì cân dạng cốc, liệu Nam tước M. có thể chứng minh trước tòa khối lượng của mỗi quả cân trong ba lần cân không? Bài kiểm tra 6. Bốn mươi lăm quả cân, hai quả cân. “Chia để trị” Ở phiên tiếp theo, thẩm phán nản lòng: Nam tước M. mang cả một hộp tạ. Kiểm kê trong hòm có xác nhận của thư ký tòa án cho biết có một quả cân nặng 9 g, hai quả cân nặng 8 g, ba quả cân nặng 7 g,…, chín quả cân nặng 1 g. “Bạn cần bao nhiêu lần cân để chứng minh tất cả những điều này?” – thẩm phán hỏi. “Chỉ có hai thôi,” Nam tước M trả lời với vẻ trang nghiêm của một nhà quý tộc. Anh ta nên hành động như thế nào? Bí quyết thao tác của nam tước rất đơn giản: k quả cân nặng (10 – k) g có khối lượng bằng (10 – k) quả cân nặng kg g mỗi quả. Do đó, nếu bạn đặt 9 + 8 + 7 quả cân nhẹ nhất trên một đĩa cân và 1 + 2 + 3 quả nặng nhất trên đĩa kia, thì sẽ có sự cân bằng trên cân - và nó sẽ cho phép nam tước chia tất cả các quả cân thành ba bộ {1, 2, 3}, {4, 5, 6} và {7, 8, 9}. Tương tự, nếu ở lần cân thứ hai, chúng ta cân lần lượt 9 + 6 + 3 quả cân có khối lượng 1, 4 và 7 g với 7 + 4 + 1 quả cân có khối lượng 3, 6 và 9 g, thì sự bằng nhau trong lần cân này sẽ cho phép chúng ta thiết lập chính xác khối lượng của tất cả các quả cân trong tất cả các bộ (2, 5 và 8 sẽ được thiết lập bằng cách loại trừ, tương tự như cách xác định 2 và 4 trong bài toán khoảng sáu quả cân). Bài toán 3. Có bộ cân nào thậm chí còn nhiều hơn mà Nam tước M. có thể chứng minh cho quan tòa thấy khối lượng của tất cả các quả cân trong hai lần cân không? Kiểm tra 7. Ba lần cân, 19 quả cân. Bất bình đẳng xuyên suốt Khi thẩm phán và nam tước gặp nhau lần sau, nam tước có trong tay cả một bộ quả cân, kiểm kê trong đó chứng nhận có những quả cân có trọng lượng từ 1 đến 19 g, mỗi khối một quả. “Tôi chỉ cho ngài ba lần cân thôi, Nam tước thân mến!” – ông thẩm phán tuyên bố, dùng búa đập xuống bàn. Nam tước thầm viết lên mỗi quả cân một số từ 1 đến 19 (rất có thể là

lẽ ra có nghĩa là khối lượng của nó), đặt trước mặt anh ta một mảnh giấy có viết các số 12, 7 và 3, cúi xuống và bắt đầu cân:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8 + 10 + 13 = = 16 + 18 + 19,

1 + 2 + 3 + 6 + 9 + 11 + 16 = = 8 + 10 + 13 + 17,

1 + 4 + 6 + 8 + 12 + 18 = = 3 + 7 + 11 + 13 + 15. Thẩm phán và những người khác có mặt đều nín thở nhìn nam tước, nhưng không hiểu gì cả. Cuối cùng, thẩm phán không thể chịu đựng được: “Ông đang làm gì vậy, Nam tước?” Cho đến bây giờ, ít nhất bạn cũng tỏ ra là một người hợp lý - bạn đặt quả nặng nhất lên một cái cân, cái nhẹ nhất ở bên kia. Làm thế nào bạn sẽ chứng minh điều gì đó cho chúng tôi? - Thưa ngài! Hãy đưa thử nghiệm đến cùng. Để làm điều này,” Nam tước nhìn vào mảnh giấy, “chúng ta hãy nhân tất cả các số ở đẳng thức thứ nhất với 12, ở đẳng thức thứ hai với 7, và ở đẳng thức thứ ba với 3 rồi cộng tất cả lại với nhau. - Nói xong, nam tước bắt đầu chậm rãi viết ra biểu cảm

$22 m_{1} 19 m_{2} 16 m_{3} 15 m_{4} 12 m_{5} 10 m_{6} 9 m_{7} 8 m_{8} 7 m_{9}^{5} m_{10}^{4} m_{11} 3 m_{12} 2 m_{13}^{3m} 15 5 m_{16} 7 m_{17} 9 m_{18} 12 m_{19}$.

– Tất nhiên, bạn không thể biết khối lượng của vật nặng mà tôi gọi là “1”, cũng như tất cả các khối lượng khác. Nhưng bạn thấy rằng ở vế trái của đẳng thức, các hệ số giảm đều. Theo $транснеравенству^{1}$, giá trị nhỏ nhất có thể có của vế trái là

22 ˜ 1 19 ˜ 2 16 ˜ 3 15 ˜ 4 12 ˜ 5 10 ˜ 6 9 ˜ 7 8 ˜ 8 7 ˜ 9 5 ˜ 10 4 ˜ 11 3 ˜ 12 2 ˜ 13 634.

1 Thông tin thêm về bất đẳng thức sắp xếp lại có thể tìm thấy ở A.V. Cuốn sách của Arbit “Bất đẳng thức và các phương pháp cơ bản để chứng minh chúng” (bổ sung cho tạp chí «Kvant» số 3, 2016) hoặc từ cuốn sách “Các yếu tố của toán học trong các bài toán. Thông qua các cuộc thi Olympic và câu lạc bộ - đến nghề nghiệp" do A.A. Zaslavsky và những người khác.

41

TOÁN HỌC

Tuy nhiên, ở vế phải các hệ số tăng đơn điệu nên giá trị lớn nhất có thể có của nó bằng

12 ˜ 19 9 ˜ 18 7 ˜ 17 5 ˜ 16 3 ˜ 15

Như trong các bài toán trước, đẳng thức có nghĩa là tất cả các đẳng thức $m_{i} i$ đều đạt được đồng thời. – Vâng, tôi lại thấy ông nói đúng, Nam tước thân mến! Bài toán 4. Nam tước M. có thể chứng minh được bao nhiêu quả cân nếu ông ta cho phép không phải ba mà là bốn quả cân? Nam tước phải đối mặt với ba phiên tòa tiếp theo trong cùng một vụ án nên chúng tôi không đánh số chúng khác nhau. Thử thách $8-1.^{2}$ Mười tám đồng xu có hai khối lượng. Hệ thống bất bình đẳng Dường như không có thủ thuật cân nào có thể khiến ban giám khảo ngạc nhiên. Nhưng… nam tước đưa ra 18 đồng xu, trong đó thẩm phán chỉ biết rằng khối lượng của một số trong số chúng là 10 g, và số còn lại - 11 g, và ông ta tiến hành chứng minh điều này chỉ sau ba lần cân. - Nhưng bằng cách nào, Nam tước?! Được rồi, trong một lần cân bạn sẽ có thể chứng minh cho tôi thấy một đồng xu nặng và một đồng xu nhẹ. Trong lần cân tiếp theo, nếu bạn thêm hai đồng nặng vào một chiếc bát nhẹ và hai đồng xu nhẹ vào một chiếc bát có một đồng xu nặng thì kết quả cân sẽ thay đổi, tức là bạn có thể chứng minh được khối lượng của 2 đồng xu nặng và 2 đồng xu nhẹ. Lần cân thứ ba – 4 + 4 nữa, tổng cộng là 7 nặng và 7 nhẹ. Nhưng bạn không có 7 cái mà là 9 cái mỗi loại! – Không có gì là không thể ở đây, thưa ngài! Đầu tiên chúng ta hãy sắp xếp các đồng xu thành từng đống. Tôi sẽ đặt 2 đồng xu vào hai chồng đầu tiên và chứng minh rằng một chồng chứa 2 đồng xu nặng, còn chồng kia chứa 2 đồng xu nhẹ (tôi sẽ dán nhãn là “2t” và “2l”). Trong hai đồng xu tiếp theo - mỗi đồng xu (“3t” và “3l”), và trong hai đồng xu cuối cùng – 4 đồng xu (“4t” và “4l”) và tôi sẽ thực hiện các phép cân sau: 2t + 3l < 2l + 3t, ​​​​3t + 4l < 3l + 4t, 4t + 2l + 3l < 4l + 2t + 3t.

2 Trong trường hợp đơn giản là 14 đồng xu, bài toán này đã được đưa ra tại Olympic toàn Liên minh lần thứ VII và cũng được đặt trong “Bài toán Kvant (M212). Tác giả của bài toán khoảng 18 đồng xu và bài toán tiếp theo khoảng 12 + 12 đồng xu là S. Tokarev.

VÒNG TRÒN

• Vâng, thưa Nam tước, tôi đã xem kết quả cân. Nhưng chính xác thì họ chứng minh điều gì? “Ngài quá thiếu kiên nhẫn, thưa ngài.” Tôi sẽ chỉ cần một chút đại số. Gọi x là chênh lệch khối lượng giữa các cọc “2t” và “2l”, và y và z lần lượt là chênh lệch giữa các cọc “3t” và “3l” và “4t” và “4l”. Nó không quá khó phải không? - Không. Tiếp tục đi! – Tiếp theo x, y, z là các số nguyên. Lần cân đầu tiên cho thấy x < y, lần cân thứ hai - y < z, và lần cân thứ ba - z < x + y. Có rõ ràng tại sao không? - Đúng. – Thay bất đẳng thức chặt chẽ giữa các số nguyên bằng bất đẳng thức không chặt chẽ: x 1 d y, y 1 d z, z 1 d x y. Tôi muốn suy ra từ điều này rằng x = 2, y = 3, z = 4. Một khi điều này được chứng minh, sẽ thấy rõ rằng khối lượng của mỗi cọc hoàn toàn giống như tôi khẳng định - xét cho cùng, hiệu giữa khối lượng của một cặp đồng xu không vượt quá 1, nghĩa là đối với hai cặp, chênh lệch luôn không quá 2, đối với ba cặp - không quá 3, và đối với bốn - không quá 4, và sự bằng nhau chỉ đạt được nếu trong một số cọc chỉ có đồng xu nặng, và ở những nơi khác chỉ có ánh sáng. Phải? - Đồng ý. - Chà, hãy nhân bất đẳng thức thứ nhất với 2, thứ hai với 4, thứ ba với 3 - và cộng mọi thứ lại. Chúng ta nhận được 9 d x y z. Điều này thực sự có nghĩa là các đẳng thức x = 2, y = 3, z = 4 được thỏa mãn đồng thời. Tôi có mọi thứ, thưa ngài! Kiểm tra 8-2. Hai chục đồng xu. Một hệ bất đẳng thức khác Về 24 đồng xu tiếp theo do Nam tước đưa ra, quan tòa biết rằng khối lượng của 12 đồng trong số đó là 10 g, còn lại là 12 - 11 g. Tuy nhiên, vị nam tước bồn chồn một lần nữa đã chứng minh được khối lượng của mỗi đồng xu chỉ sau ba lần cân! Làm sao? Chúng ta hãy cẩn thận làm theo lý luận của nam tước từ lời giải trước đó. Đầu tiên, ông xếp các đồng xu thành từng chồng, sau đó xem xét sự khác biệt về khối lượng giữa các cọc, chứng minh rằng đối với mỗi cọc thì sự chênh lệch này bằng số lượng đồng xu trong đó. Tất nhiên, từ đây, mọi thứ cần thiết sẽ theo sau. Do đó, chúng ta hãy xem ngay giá trị của x, y, z sẽ thay đổi như thế nào nếu tổng số xu lúc này bằng 24 và các bất đẳng thức

42

KVANT 2025/№5–6

x < y, y < z, z < x + y sẽ được chứng minh bằng cách sử dụng trọng số? Rõ ràng là trong bài toán x y z d 12 này, và mục tiêu của nam tước là chứng minh sự đẳng thức trong bất đẳng thức cuối cùng. Chính xác hơn, nam tước phải chỉ ra rằng x = 3, y = 4, z = 5, tức là chia các đồng xu thành các đống có cùng kích thước. Thật không may, hệ bất đẳng thức trên có lời giải không duy nhất - ví dụ z = 5, y = 4, z = 2 với tổng bằng 11 cũng phù hợp. Làm sao nam tước có thể hành động nếu lời giải trước đó của ông ta không hoạt động? Hóa ra nam tước vẫn hành động như vậy! Rốt cuộc, nếu tổng khối lượng của tất cả các đồng xu là số chẵn thì giá trị x + y + z cũng phải chẵn và do đó không thể bằng 11. Ví dụ: bạn có thể hành động theo tinh thần thay thế các bất đẳng thức nghiêm ngặt trước đó bằng các bất đẳng thức không nghiêm ngặt: x 1 d y, y 1 d z, z 2 d xy y. Trong bất đẳng thức cuối cùng, 2 xuất hiện thay vì 1, bởi vì trong đó tất cả các đồng xu có tổng khối lượng chẵn là 12 11 10 được đặt trên bàn cân, và nếu một cái bát nặng hơn thì hiệu giữa các cái bát ít nhất là 2. Chà, bây giờ nếu chúng ta nhân số thứ nhất với 2, số thứ hai với 4 và số thứ ba với 3, thì sau khi tính tổng, chúng ta sẽ nhận được x y z t 12, đó là số cần thiết. Kiểm tra 8-3. Hai lần ba mươi đồng xu, 4 lần cân Nam tước có thể đưa ra bao nhiêu đồng xu (có bằng chứng) nếu ông ta được phép thực hiện bốn lần cân thay vì ba? Ví dụ, rõ ràng là từ lời giải trước đó, phương pháp tính 20 + 20 đồng xu ngay sau đó: với lần cân thứ tư, nam tước đặt 9 đồng đã được xác định là nhẹ và 11 đồng chưa biết trên một đĩa cân, và mặt khác - 9 được xác định là nặng và 11 chưa xác định. Nếu cái bát đầu tiên nặng hơn thì 11 đồng xu chưa biết ở trên đó sẽ nặng và 11 đồng xu chưa biết ở bát kia sẽ nhẹ, vì chỉ có 20 đồng xu nặng chưa biết - 9 = 11, và nếu chúng bị phân hủy thành các bát khác nhau thì cân sẽ cân bằng. Có thể làm được nhiều hơn nữa? Vâng, khá. Chúng tôi sẽ trình bày phương pháp cho 30 + 30 đồng xu, chúng cần được chia thành các cọc 3 + 3, 7 + 7, 9 + 9 và 11 + 11. Mỗi cặp cọc có cùng số được xếp trên các thang đo khác nhau và nếu có sự khác biệt về khối lượng của chúng

bằng x, y, z, t thì tiến hành lấy trọng số chứng tỏ sự thỏa mãn của hệ bất đẳng thức z < x + y, x + y < t, t < x + z, x + t < y + z. Tương tự như lý luận từ bài toán trước, các bất đẳng thức nghiêm ngặt ở đây có thể được thay thế bằng các bất đẳng thức không nghiêm ngặt và trong bất đẳng thức cuối cùng, chênh lệch tối thiểu có thể có của các phần sẽ bằng 2: x y z t 1, t x z t 1, x z t t 1, y z x t t 2. Nếu bây giờ nhân số thứ nhất với 8, số thứ hai nhân 10, số thứ ba nhân 6, số thứ tư nhân 3 và cộng mọi thứ lên, chúng ta sẽ có bất đẳng thức x y z t t 30, điều đó chứng tỏ mọi thứ đều cần thiết. Bình luận. Tất nhiên, chuỗi các giá trị (10 + 10 và 30 + 30) được nam tước tìm thấy trong các thử nghiệm 8-1 và 8-3 không kết thúc bằng bốn lần cân. Người ta biết (được chứng minh bằng tìm kiếm trên máy tính) rằng nó tiếp tục: 114 + 114 – cho năm lần cân và 454 + 454 – cho sáu lần (https: oeis.org A280432). Chuỗi này liên quan chặt chẽ đến cấu trúc đại số như ma trận Hadamard. Như chúng ta đã thấy trong các ví dụ, bài toán về các lần cân mà một chuyên gia tham gia ít mang tính tổ hợp hơn (về tinh thần và nội dung) và mang tính đại số hơn nhiều so với bài toán cổ điển về việc tìm kiếm tiền giả. Nhưng chúng chứa đựng nhiều bí mật chưa được tiết lộ hơn - ví dụ, đối với hầu như không có bài toán thử nghiệm phức tạp nào trong số các thử nghiệm mới nhất, vẫn chưa thể chứng minh nếu không thử nghiệm toàn diện không chỉ các ước tính chính xác (trên) mà còn cả những ước tính gần với ước tính chính xác.