Bài toán M2842—M2849; F2849—F2856

Bài toán trong toán học và vật lý

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: math@kvant.ras.ru và Phys@kvant.ras.ru, tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp cho bản gốc bài toán này, đến cùng các địa chỉ. Bài toán M2842 đã được đưa ra ở giai đoạn khu vực của Olympic XVII mang tên L. Euler, bài toán M2844 a, b và M2845 - tại Giải đấu XLIV của các thành phố, và bài toán M2846–M2849 - ở giai đoạn cuối của LI Olympic toàn Nga dành cho học sinh môn toán. Bài toán F2849–F2856 đã được đưa ra ở giai đoạn cuối của Kỳ thi Olympic Vật lý toàn Nga LVIII dành cho học sinh.

Bài toán M2842–M2849, F2849–F2856

M2842. Một số (nhiều hơn một) số tự nhiên liên tiếp được viết lên bảng. Có thể nào tổng của tất cả các số chẵn được viết ra bằng bình phương của một số tự nhiên và tổng của tất cả các số lẻ được viết ra bằng bình phương của một số tự nhiên? A. Kuznetsov

M2843. Gọi A c, B c, C c lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB trong tam giác đều ABC (Hình 1). Trên phần tiếp theo của đoạn A c B c, điểm D được lấy là B c, và trên phần tiếp theo của đoạn A c C c, điểm E được lấy là C c sao cho đoạn DE đi qua điểm A. Các đoạn B c E và C c D cắt nhau tại điểm X.

a) Chứng minh các điểm X, A c, B c, C c cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh rằng các đoạn thẳng A c X, CE, BD và B c C c cắt nhau tại một điểm. K. Bayrak, học sinh lớp 11

M2844. Người chủ lấy trong tủ lạnh ra một miếng thịt, lũ mèo con vây quanh cô. Mỗi phút một lần, bà nội trợ cắt một miếng thịt và cho một trong những chú mèo con ăn (theo lựa chọn của cô ấy), và mỗi miếng phải có cùng tỷ lệ với miếng được cắt ra. Một lúc sau, bà nội trợ cho phần thịt còn lại vào tủ lạnh. Người nội trợ có thể cho mèo con ăn số lượng thịt bằng nhau không nếu có a) tổng cộng hai chú mèo con; b) ba; c*) bốn? A. Kushnir, V. Retinsky

M2845. Trong không gian tọa độ ba chiều, hãy xem xét tập hợp tất cả các hình khối có tọa độ đỉnh nguyên. Chứng minh rằng tập hợp này chứa một tập con vô hạn K sao cho hai khối lập phương khác nhau từ K không có cạnh song song. M. Malkin, M. Meerov

Hình 1

M2846. Petya và Vasya chơi một trò chơi trên một bàn ca rô ban đầu trống 100 và 100, thay phiên nhau thực hiện các nước đi. Petya bắt đầu. Trong lượt của mình, người chơi bước vào

20

KVAN T 2025/№5–6

Hình 3

bằng nhau và bằng P. Bảng chuyển động với gia tốc không đổi theo phương ngang a có hướng vuông góc với đường tiếp xúc với hình trụ. Gia tốc trọng trường là g. Tại những giá trị nào gia tốc a của tấm ván thì hình trụ sẽ không quay quanh trục nằm ngang nếu hệ số ma sát P có thể nhận giá trị nào lớn hơn 0? A. Ivshin, E. Vasenin, A. Vergunov

F2852. Trên mặt phẳng nằm ngang gồ ghề của bàn có một hệ gồm một lăng kính có khối lượng m, được trang bị một khối sáng và một khối có khối lượng M = 2m (Hình 4). Bề mặt bên của lăng kính

Hình 4

nhẵn và góc giữa mặt đặt khối và mặt bàn bằng D (sin D 3 5 ). Một sợi dây nhẹ không dãn được buộc vào một khối, ném qua một khối, vào đầu đối diện của nó tác dụng một lực nằm ngang F. Biết rằng gia tốc của lăng kính không phụ thuộc vào độ lớn của lực này. 1) Xác định các giá trị có thể có của hệ số ma sát P giữa lăng kính và mặt bàn. 2) Với mỗi giá trị của P thu được ở bước 1, hãy tìm gia tốc của lăng kính a. Gia tốc trọng trường là g. Phần nghiêng của ren song song với mặt bên trái của lăng kính. Không có ma sát trong trục khối. I. Yudin

F2853. Hình 5 thể hiện một đoạn đồ thị về sự phụ thuộc của công suất trung bình $N_{cp}$ vào thời gian W, bằng tỷ lệ giữa tổng lượng nhiệt được truyền bởi chất sáp nhập

Hình 5

ku bạc nặng m = 50 g, tính đến thời điểm nó trao đổi nhiệt với vật bên ngoài. Một thời gian sau khi bắt đầu truyền nhiệt, nhiệt độ của phôi ở trạng thái A tăng lên $t_{A} 40 q C$, và sau 2,2 phút nữa (ở trạng thái B) nó lại trở thành $t_{A}$. Nhiệt dung riêng của bạc c 240 J kg q C. 1) Khôi phục các trục tọa độ của đồ thị và thang đo của chúng nếu biết điểm bắt đầu của trục thời gian gia nhiệt trùng với điểm bắt đầu của trục $N_{cp}$. 2) Tìm nhiệt độ ban đầu $t_{0}$ của thỏi bạc (tại W 0 ). 3) Tìm nhiệt độ của phôi, công suất trao đổi nhiệt trung bình và tức thời với vật thể bên ngoài ở trạng thái tương ứng với các điểm C và D. M. Zamyatnin, A. Vergunov

F2854. Năm hình có hình dạng và kích cỡ khác nhau được cắt ra từ một tấm phẳng mỏng không dẫn điện. Mỗi trong số chúng được tích điện với mật độ bề mặt không đổi, dương và giống hệt nhau đối với tất cả các hình. Hình đầu tiên là một hình vuông có cạnh 2a, từ đó hình vuông có cạnh a được cắt từ một trong các góc (Hình 6). Mo-Hình. 6 cường độ điện trường tạo ra tại điểm O bởi các điện tích trên bề mặt của hình đó bằng $E_{0}$. 1) Tỷ số $E c E_{0}$ là bao nhiêu, trong đó E c là mô đun điện