Задачи М2842—М2849; Ф2849—Ф2856

Задачи по математике и физике

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задача М2842 предлагалась на региональном этапе XVII Олимпиады имени Л.Эйлера, задачи М2844 а,б и М2845 — на XLIV Турнире городов, а задачи М2846–М2849 – на заключительном этапе LI Всероссийской олимпиады школьников по математике. Задачи Ф2849–Ф2856 предлагались на заключительном этапе LVIII Всероссийской олимпиады школьников по физике.

Задачи М2842–М2849, Ф2849–Ф2856

M2842. На доску записали несколько (больше одного) последовательных натуральных чисел. Могло ли так случиться, что и сумма всех четных выписанных чисел равна квадрату натурального числа, и сумма всех нечетных выписанных чисел равна квадрату натурального числа? А.Кузнецов

M2843. Пусть A c, B c, C c – середины сторон BC, CA, AB соответственно в правильном треугольнике ABC (рис. 1). На продолжении отрезка A c B c за B c взята точка D, а на продолжении отрезка A c C c за C c взята точка E так, что отрезок DE проходит через точку A. Отрезки B c E и C c D пересекаются в точке X.

а) Докажите, что точки X, A c, B c, C c лежат на одной окружности. б) Докажите, что отрезки A c X, CE, BD и B c C c пересекаются в одной точке. К.Байрак, ученик 11 класса

M2844. Хозяйка достала кусок мяса из холодильника, вокруг нее собрались котята. Раз в минуту хозяйка отрезает кусочек мяса и скармливает его одному из котят (на свой выбор), причем каждый кусочек должен составлять одну и ту же долю куска, от которого его отрезают. Через некоторое время хозяйка убирает остаток мяса в холодильник. Может ли хозяйка скормить котятам поровну мяса, если всего котят а) двое; б) трое; в*) четверо? А.Кушнир, В.Ретинский

M2845. В трехмерном координатном пространстве рассмотрим множество всех кубов с целочисленными координатами вершин. Докажите, что в этом множестве существует такое бесконечное подмножество K, что любые два разных куба из K не имеют параллельных ребер. М.Малкин, М.Мееров

Рис. 1

M2846. Петя и Вася играют в игру на изначально пустой клетчатой таблице 100 u 100, делая ходы по очереди. Начинает Петя. За свой ход игрок вписывает в

20

КВАН T 2025/№5–6

Рис. 3

одинаковы и равны P. Доска движется с постоянным горизонтальным ускорением a, направленным перпендикулярно линии контакта с цилиндром. Ускорение свободного падения равно g. При каких значениях ускорения a доски цилиндр не будет поворачиваться вокруг горизонтальной оси, если коэффициент трения P может принимать любые значения больше нуля? А.Ившин, Е.Васенин, А.Вергунов

Ф2852. На шероховатой горизонтальной поверхности стола находится система, состоящая из призмы массой m, снабженной легким блоком, и бруска массой M = 2m (рис. 4). Боковая поверхность призмы

Рис. 4

является гладкой, а угол между гранью, на которой находится брусок, и поверхностью стола равен D (sin D 3 5 ). К бруску привязана легкая нерастяжимая нить, перекинутая через блок, к противоположному концу которой приложена горизонтальная сила F. Известно, что ускорение призмы не зависит от величины этой силы. 1) Определите возможные значения коэффициента трения P между призмой и поверхностью стола. 2) Для каждого из полученных в пункте 1 значений P найдите ускорение призмы a. Ускорение свободного падения равно g. Наклонный отрезок нити параллелен левой боковой грани призмы. Трение в оси блока отсутствует. И.Юдин

Ф2853. На рисунке 5 приведен фрагмент графика зависимости от времени W средней мощности $N_{cp}$, равной отношению суммарного количества теплоты, переданного слит-

Рис. 5

ку серебра массой m = 50 г, ко времени его теплообмена с внешними телами. Через некоторое время после начала теплообмена температура слитка в состоянии A увеличилась до $t_{A} 40 q C$, а спустя еще 2,2 мин (в состоянии B) она вновь оказалась равна $t_{A}$. Удельная теплоемкость серебра c 240 Дж к㠘 q С. 1) Восстановите координатные оси графика и их масштаб, если известно, что начало оси времени нагрева совпадает с началом оси $N_{cp}$. 2) Найдите начальную температуру $t_{0}$ слитка серебра (при W 0 ). 3) Найдите температуры слитка, средние и мгновенные мощности теплообмена с внешними телами в состояниях, соответствующих точкам C и D. М.Замятнин, А.Вергунов

Ф2854. Из тонкой непроводящей плоской пластины вырезали пять фигур разной формы и размера. Каждую из них зарядили электрическим зарядом с постоянной, положительной и одинаковой для всех фигур поверхностной плотностью. Первая фигура представляет собой квадрат со стороной 2a, от которого с одного из углов отрезали квадрат со стороной a (рис. 6). Мо- Рис. 6 дуль напряженности электрического поля, созданного в точке O зарядами на поверхности такой фигуры, равен $E_{0}$. 1) Чему равно отношение $E c E_{0}$, где E c – модуль напряженности электрического